精品解析：上海市崇明区2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题（五四制）

2023-2024学年上海市崇明区八年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A. 5 B. 6 C. D. 7 6. 在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（　　） A B. C D. 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7. 计算：____________________． 8. 的倒数是________. 9. 方程的根是 _________． 10. 在实数范围内分解因式____________________． 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 一次函数在y轴上的截距_______，它与y轴的交点坐标是___________． 13. 某县为做大旅游产业，在2018年投入资金3.2亿元，预计2020年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为，则可列方程为____． 14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的度数之比为2：1，其最短边为1，射线CP交AB所在的直线于点P，且∠ACP＝30°，则线段CP的长为_____． 15. 如图，在中，O是三条角平分线交点，过点O作交于点D，交于点E，若，，则的周长为____________． 16. 点P的横坐标是1，纵坐标比横坐标小2，则点P的坐标是___________． 17. 在平面直角坐标系中，若函数（a为常数）的图象经过其中的两点，则______． 18. 如图，一张矩形纸片的长，宽，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长是________________． 三．解答题（共9小题，满分58分） 19. 计算：． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． （1）已知是方程的根，求证：是等腰三角形； （2）如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 22. 如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 23. 求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 24. 如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知面积为平方厘米，求的长度． 25. 某商店以元/千克单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示． （1）求与函数关系式； （2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？ 26. 已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是． （1）写出此正比例函数和反比例函数的表达式． （2）求当时，x，y的值． （3）求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？ 27. 如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． （1）若，，求的度数； （2）当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市崇明区八年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方式不含开得尽方的数，分母不带根号或根号下不含分母的二次根式是最简二次根式直接判断即可得到答案； 【详解】解：，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 故选：C； 【点睛】本题考查最简二次根式的定义：被开方式不含开得尽方的数，分母不带根号或根号下不含分母的二次根式是最简二次根式． 2. 要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求解即可． 【详解】由题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数必须是非负数． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】因为， 所以， 所以方程有两个不相等的两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键． 4. 已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与系数间的关系，解题的关键是熟练掌握函数的性质． 先由函数中y随x的增大而减小得到，且函数的图象经过第二、四象限，然后可知函数的反比例系数大于零，从而得知反比例函数图象经过第一、三象限，即可得到结果． 【详解】解：函数中y随x的增大而减小， ，且函数的图象经过第二、四象限， 函数的反比例系数大于零， 反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：B． 5. 在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A. 5 B. 6 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，掌握应用等积变换可求得边之比是解题的关键．根据三角形的等积变换，可得出，则结合已知可得，，根据平行线的性质及等量代换可得，代入解答出即可． 【详解】解：如图，延长交于G，连接， ，， 平分 到、的距离h相等， 设点A到距离为y 则，， ， 又， ，， 又， ， ， ， 垂直平分线段，得， 同理， 即， ； 故选：B． 6. 在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的定义，三角形内角和定理，只要证明有一个角等于即可得该三角形是直角三角形；三条边满足勾股定理的逆定理的三角形是直角三角形． 【详解】解：A．，假设，则，解得：，即：，，，不能判定是直角三角形，本选项符合题意； B．，则， ∴，能判定是直角三角形，本选项不符合题意； C．，化简后得：，可以判定是直角三角形，本选项不符合题意； D．，假设，∵，∴可以判断是直角三角形，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，可以利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理；关键是证明三角形中有一个角等于，即可判定为直角三角形． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7. 计算：____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8. 的倒数是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数进行计算，注意将分式的分母有理化进行化简即可. 【详解】解： ∴的倒数是 故答案为. 【点睛】本题考查倒数的定义及对分式的分母有理化，掌握利用平方差公式进行分母有理化是解题关键. 9. 方程的根是 _________． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：0或． 10. 在实数范围内分解因式____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用乘法公式分解因式，先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】x≠2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x−2≠0，解可得自变量x的取值范围． 【详解】根据题意，有x−2≠0， 解可得x≠2； 故自变量x的取值范围是x≠2． 故答案为：x≠2． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件：分母不等于0．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 12. 一次函数在y轴上的截距_______，它与y轴的交点坐标是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点，一定满足该函数的关系式．一次函数在y轴上的截距是，当时，所求得的y值即为所求的交点的纵坐标． 【详解】解：， ∴一次函数在y轴上的截距； 当时，， ∴它与y轴的交点坐标是； 故答案为：、． 13. 某县为做大旅游产业，在2018年投入资金3.2亿元，预计2020年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为，则可列方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，找出题目中的等量关系，列出一元二次方程即可. 【详解】解：根据题意，设旅游产业投资的年平均增长率为，则 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是熟练掌握增长率问题的等量关系，正确列出一元二次方程. 14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的度数之比为2：1，其最短边为1，射线CP交AB所在的直线于点P，且∠ACP＝30°，则线段CP的长为_____． 【答案】或1 【解析】 【分析】先根据题意得出两个锐角的度数，再分两种情况：（1）∠A＝60°，∠B＝30°，CA＝1；（2）∠A＝30°，∠B＝60°，CB＝1．分别画图并求解即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的度数之比为2：1 ∴两锐角的度数为：60°，30°. 分两种情况：（1）∠A＝60°，∠B＝30°，CA＝1, ∵∠ACP＝30°， ∴∠APC＝90°， ∴PA＝， ∴CP＝＝ ； （2）∠A＝30°，∠B＝60°，CB＝1， ∵∠ACP＝30°， ∴∠BCP＝60°， 又∵∠B＝60°， ∴△BCP为等边三角形， ∴CP＝CB＝1. 故答案为：或1． 【点睛】此题考查直角三角形的定义，等边三角形的判定及性质，30角所对的直角边等于斜边的一半，根据两个角度的比求得度数后要分为两种情况解答，这是此题解题的关键. 15. 如图，在中，O是三条角平分线的交点，过点O作交于点D，交于点E，若，，则的周长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，先证明，同理可得，利用等量代换进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案：10． 16. 点P的横坐标是1，纵坐标比横坐标小2，则点P的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面内点坐标的表示方法，根据题意求出纵坐标，再将点P的坐标表示出来即可． 【详解】解：点P的横坐标是1，纵坐标比横坐标小2，则纵坐标为， 所以点P的坐标是． 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，若函数（a为常数）的图象经过其中的两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质可得点在该函数图象上，然后代入求解即可． 【详解】解：∵函数（a为常数）中，<0， ∴函数图象在二、四象限，即点在该函数图象上 ∴-2×3=，-4m= ∴-2×3=-4m，即m=． 故填：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，判定点在该函数图象上是解答本题的关键． 18. 如图，一张矩形纸片的长，宽，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据题意，证明四边形是平行四边形，作于，设，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：如图所示，作于，连接； 由翻折可知，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设， 在中，则有， 解得：， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为： 三．解答题（共9小题，满分58分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法；因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解； （1）利用因式分解法求解可得答案； （2）利用因式分解法求解可得答案． 【小问1详解】 ∵， 或 【小问2详解】 则或 21. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． （1）已知是方程的根，求证：是等腰三角形； （2）如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）方程有两个相等的实数根，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）代入，找出；（2）牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”． （1）将代入原方程，可得出，进而可证出是等腰三角形； （2）利用勾股定理，可得出，结合△，可得出△，进而可得出原方程有两个相等的实数根． 【小问1详解】 证明：∵是一元二次方程的根， ∴． ∴． ∴是等腰三角形； 小问2详解】 解：方程有两个相等的实数根，理由如下： ∵是直角三角形，其中， ∴． ∴， ∴方程有两个相等的实数根 22. 如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 23. 求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】证法一：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，由三线合一定理得到AD＝AB，∠BAC=∠DAC=30°，则∠BAD＝60°．即可证明△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，则，即； 证法二：如图所示，取AB的中点D，连接DC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有． 【详解】证明：已知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°， 求证：． 证法一：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD， ∵∠ACB=90°，BC=CD， ∴AD＝AB，∠BAC=∠DAC=30°， ∴∠BAD＝60°． ∴△ABD为等边三角形， ∴AB＝BD， ∴，即． 证法二：如图所示，取AB的中点D，连接DC，有， ∴∠DCA＝∠A＝30°， ∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝60°． ∴△DBC为等边三角形， ∴． 证法三：如图所示，在AB上取一点D，使得BD=BC，连接CD， ∵∠A=30°，∠ACB=90°， ∴∠B=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°，BC=CD ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°， ∴∠A=∠ACD， ∴AD=CD， ∴BC=AD， ∴； 证法四：如图所示，作△ABC的外接圆圆D，连接CD， ∵∠ACB=90°， ∴AB为圆D的直径， ∴BD=DC， ∴∠BDC=2∠A=60°， ∴△BDC是等边三角形， ∴BC=BD=CD， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三线合一定理，直角三角形斜边上的中线，圆周角定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24. 如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 25. 某商店以元/千克单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示． （1）求与函数关系式； （2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？ 【答案】（1）； （2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用数形结合的思想解答即可； （1）根据函数图像可以设出函数解析式，函数图像过点，，从而可以求出函数的解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 则， 解得，， 即与函数关系式是； 【小问2详解】 商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，设销售单价应定为元/千克， ， 解得，或， 又， 解得，， 故， 即商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元． 26. 已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是． （1）写出此正比例函数和反比例函数的表达式． （2）求当时，x，y的值． （3）求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？ 【答案】（1），； （2）x，； （3），这个函数是反比例函数． 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的定义，求解自变量或函数值，理解题意是关键． （1）根据定义直接写出函数解析式即可； （2）利用函数解析式分别求解即可； （3）消去变量即可得到函数解析式，再进一步解答即可； 【小问1详解】 解：∵y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得x， ； 【小问3详解】 解：∵，； ∴，这个函数是反比例函数． 27. 如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． （1）若，，求的度数； （2）当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 【答案】（1）； （2），3； 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）证明，进而解答即可． （2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：在和中， ， ， ， ， ， ，， ． 【小问2详解】 解， ， ，，， ， 当时，x最小，最大，， ，， ， ， 时，有最大值，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$