基础知识与专题知识清单-2025届高三数学一轮复习

目录 （一）基础知识： 1.集合与常用逻辑用语 ............2 2.不等式 ............4 3.复数 ............6 4.平面向量 ............7 5.计数原理 ............10 （二）专题知识 专题一：三角函数与解三角形 ............14 专题二：数列 ............21 专题三：立体几何 ............24 专题四：统计与概率 ............35 专题五：函数与导数 ............46 专题六：圆锥曲线 ............56 集合 1.元素与集合的表示 2.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. 3.元素与集合的关系 4.常用数集 名称 自然数集 正整数集 整数集 实数集 有理数集 符号 5.集合与集合的关系： 关系 相等 子集 真子集 符号 含义 元素相同 中的元素都能在中找到 中的元素都能在中找到,且中至少有一个元素是没有的 不含任何元素的集合 6.集合间的运算 名称 符号 文字 交集 集合与的公共元素组成 并集 集合与的所有元素组成 补集 集合相对于集合没有的元素组成 7.若集合含个元素，则 ①子集有个 ②真子集有个 ③非空真子集有个 命题及条件 8.命题形式 命题 形式 原命题 若，则 逆命题 若，则 9.充分必要条件 充分不必要条件 借助原命题判断：充分性 借助逆命题判断：必要性 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 判断条件的方法： 注意“是的充分不必要条件”与“的充分不必要条件是”不同. 10.含量词的命题及其否定 量词 符号表示 语言表示 全称量词 任意一个、每一个、所有...... 存在量词 存在一个、某一个、至少一个...... 含量词的命题的否定步骤： ①改量词；②否定结论. ①全称量词命题的真假判断： 要判断全称量词命题是真命题，必须每一个元素都满足； 要判断全称量词命题是假命题，只需有一个元素不满足. ②存在量词命题的真假判断： 要判断存在量词命题是真命题，只需有一个元素满足；否则这一命题就是假命题. 不等式 1.不等式的性质 性质1 如果那么 性质2 如果那么 性质3 如果那么 性质4 如果那么 ； 如果那么 性质5 如果那么 性质6 如果那么 性质7 如果那么 性质8 如果那么 2.重要不等式 有 当且仅当时等号成立. 3.基本不等式 如果则有 当且仅当时等号成立. 其中，叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数. 即：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数. 基本不等式变形：① ② ③ 基本不等式求最值步骤： 1.正 2.定 3.取等 4.解一元二次不等式的步骤（三个二次的关系） 形式： ①解出方程的根 ②画出函数图象 ③找出不等式的解 5.一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的关系 判别式 二次函数 （）的图象 一元二次方程 （）的根 有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根 （）的解集 （）的解集 6.一元二次不等式恒成立问题 恒成立 恒成立 图象 满足 条件 复数 1.复数的概念 形如的数叫做复数. （规定：） 2.虚数单位的次幂的周期性 ① ② ③ ④ 3.数的分类 4.复数相等 即：实部相等且虚部相等. 5.共轭复数 与互为共轭复数. 即： 复数的共轭复数记作： 6.复数的模（长度） 若，则 7.复数的几何意义 复数复平面内的点向量 8.复数的运算 设则 （除法关键：“分母实数化”即：分子、分母同乘分母的共轭复数） 平面向量 1.向量及相关概念 向量的概念：既有大小又有方向的量. 向量的表示： 向量的模：向量的大小（长度）. 记作 或 零向量：长度为的向量. 记作 单位向量：长度为个单位长度的向量. 记作 且 平行向量：方向相同或相反的向量（又称为共线向量）. 规定：零向量与任意向量平行. 相等向量：长度相等且方向相同的向量. 记作 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 与互为相反向量. 互为相反向量. 2.向量的线性运算 （1）向量的加法、减法运算 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 首尾相加，首尾连 共起点相加，对角线 共起点相减，后指前 （2）向量的数乘 我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作. 的关系： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.线性运算的结果仍是向量. 3.共线向量定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 即： ①要证明三点共线，只需证或. ②在△中，点是的中点，则 4.投影向量（在上的投影向量） （其中是与方向相同的单位向量） 注意： 5.平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 6.三点共线定理 ，且 三点共线 平面向量的坐标表示 1.已知两点求向量（终点坐标减起点坐标） 若点、点，则 ； 设 2.向量的坐标运算 3.向量的模 ① ②若那么有 4.向量平行 若，则 即：“内项积外项积” （注意： ） 5.向量垂直 若，则 即：“横乘横纵乘纵” （注意： ） 6.数量积（两向量相乘又称内积） （已知向量的模和夹角时） （已知向量的坐标时） 7.夹角公式（记作或，其中夹角） （已知向量的数量积和模时） （已知向量的坐标时） 计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有类不同的方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，......在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事有个步骤，做 第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，......做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法. 3.排列的定义 一般地，从个不同元素中取出（）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 两个排列相同的充要条件： 4.排列数的概念 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. 5.全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，用符号表示. 6.阶乘：正整数到的连乘积，叫做的阶乘，用符号表示. 即： 7.排列数公式： （乘积式） （阶乘式） 性质： ； ； ； ； 8.组合的定义 从个不同元素中取出（）个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 两个组合相同：只需元素相同 9.组合数的概念 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. 10.组合数公式： （乘积式） （阶乘式） 性质： ； ； ； 11.排列与组合的共同点和区别 排列 组合 共同点 从个不同的元素中取出个元素 区别 排列与元素的顺序有关 组合与元素的顺序无关 注意：解决排列、组合问题，前提元素，且. 12.排列组合典型方法 ①优先法： ②捆绑法：求解“相邻问题”，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列. ③插空法：求解“不相邻问题”，把其他元素先排列，再让不相邻的元素插空. ④除序法：求解“定序问题”，先不考虑顺序，全排列后，再除以定序元素的全排列. ⑤隔板法：把个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题，把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有种方法. ⑥直接法、间接法等. ⑦分组分配问题： 解题思路：先分组、后分配 （1）完全平均分组 （2）部分平均分组 （3）非平均分组 注意：完全平均分组和部分平均分组后一定要除以（为均分的组数）避免重复计数. 13.二项式定理 对于任意正整数，都有，此公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式. 二项展开式的特征： ①展开式有项； ②每项次数为； ③字母按降幂排列，次数由递减到；字母按升幂排列，次数由递增到； ④系数（）叫做（第项的）二项式系数，它们依次为 二项式系数： 二项展开式第项的通项： 14.二项式系数的性质 ①对称性 与手摸两端“等距离”的两个二项式系数相等. 即： ②最大值 当为偶数时，中间项最大； 当为奇数时，中间两项与最大. ③各二项式系数的和 （1） 即：所有二项式系数和等于 （2） 即：奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且等于. 15.二项展开式中系数和的求法 ①赋值法 1.对形如（其中，）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可. 2.对（其中，）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 即可. ②系数求和结论 1.若，则展开式中各项系数之和为； 2.奇数项系数之和为； 3.偶数项系数之和为 ③系数的最大项 设二项展开式中各项系数分别为，且最大项为第项. 利用解出，即得出系数的最大项. 三角函数 1.角的三要素：顶点、始边和终边. 2.任意角的概念 3.直角坐标系内角的分类 4.终边相同的角的集合 即 ：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 5.弧度制 若弧长为，半径为，圆心角的弧度数为（单位），则： 弧度公式： 弧长公式： 扇形面积公式： 6.角度制与弧度制的互化 ， ； 7.任意角三角函数的概念（单位圆定义法） 设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点. 则：﹒ 8.任意角三角函数的概念（终边定义法） 设是一个任意角，，它的终边上任意一点. （设） 则： （其中） 9.特殊角三角函数值 角度 弧度 不 存 在 不 存 在 10.三角函数值在各象限的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦 11.同角三角函数的基本关系（注意同角，“知一求二”） （1）平方关系： （2）商数关系： 12.诱导公式 公式一 公式二 公式五 公式三 公式四 公式六 口诀：“奇变偶不变，符号看象限” “奇”、“偶”指中的是奇数还是偶数； “符号看象限”指将看成锐角时，终边所在象限决定正负. 13.正弦、余弦、正切两角和与差公式 正弦两角和与差公式 余弦两角和与差公式 正切两角和与差公式 14.二倍角公式 15.降幂公式 16.辅助角公式（合一公式） （注意：借助来确定角） 辅助角公式的意义：将两个三角函数名化为一个三角函数名. 三角型函数化简原则： “三个一” ①次数化为一次 ②统一角 ③化为一个三角函数名 17.正、余弦型函数、 影响最值 影响周期 影响左右平移（向左，向右） 解决正、余弦型函数性质问题，借助正、余弦函数性质，进行“整体替换”思想 18.三角函数到的图象变换（类比） 先平移后伸缩 先伸缩后平移 19.三角函数的图象及性质 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期 单 调 性 增区间 减区间 对 称 性 对称轴 对称 中心 最 值 最大值 当时 当时 最小值 当时 当时 零点 重要思想： “整体替换”、“数形结合”思想. 解三角形 一般地，三角形的三个角和它们的对 边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元 素求其他元素的过程叫做解三角形. 1.内角和定理 2.正弦定理及变形公式 文字叙述：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等. 符号表达： （其中为△外接圆半径） 变 形 公 式 ①边化角 ； ； ②角化边 ； ； ③边角比 3.余弦定理及变形公式 余弦定理： 余弦定理变形： ； ； 4.三角形面积公式 （1）初中： （2）高中： （3）其他面积公式： ①（其中为△外接圆半径） ②（其中为△内切圆半径） 5.角的转化公式 数列 1.数列表示 数列 ： 数列 ： 其中第一项又叫做首项 2.数列的通项公式：序号与项间的关系式. 3.数列的递推公式：相邻两项或多项之间的关系式. 4.数列的前项和 数列的前项和，记作 即： 5.通项与前项和关系 （已知求） 一、等差数列 （基本量 “知三求二”） 等差数列定义 一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差. 或 等差数列通项公式 等差中项公式 若成等差数列，那么 等差数列前项和 等差数列性质 ①等差数列下标和公式：若，则 ②等差数列通项公式推广： 变形： ③等差数列前项和性质： 若数列为等差数列，前项和为. 那么也是等差数列，公差为. 二、等比数列（基本量） 等比数列定义 一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比. 或 等比数列通项公式 等比中项公式 若成等比数列，那么 等比数列前项和 （） （） （） 等比数列性质 ①等比数列下标公式： 若，则 ②等比数列通项公式推广 变形： ③等比数列前项和性质： 若数列为等比数列，前项和为. 那么也是等比数列. 三、数列求和方法（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法等） （1）公式法 已知数列为等差或等比数列时，直接使用前项和公式求和. （2）分组求和 将数列的项进行适当的拆分，分成等差、等比或常数列，然后求和. （3）裂项相消法 求分式数列的前项和，可先把通项公式拆成两项的差的形式再求和. 常用裂项公式： = 若数列是公差为的等差数列，则有 （1）当时，是递增数列；当时，是递减数列； （2）每隔项取出一项，组成一组新的数列仍为等差数列，且公差为. 即：新数列 公差为. （3）是公差为的等差数列；是公差为的等差数列. （4）若为等差数列，则和也是等差数列 （5）若等差数列有偶数项项，则①；②. 若等差数列有奇数项项，则①；②. （6）设分别是两个等差数列和的前项和，则. 立体几何 多面体：由若干个平面多边形围成. 旋转体：由平面图形旋转形成. 柱体 锥体 台体 球体：球 1.空间几何体的结构特征 棱柱 棱锥 （1）特征 （1）特征 （2）特殊棱柱 ①直棱柱：侧棱垂直于底面. ②正棱柱： （2）特殊棱柱 ①正棱锥：底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形. ②正四面体：四个面是全等的等边三角形. 2.空间几何体的表面积、体积 表面积 （1）多面体的表面积：围成多面体各个面的面积之和. （2）旋转体的表面积： ① （其中是底面半径，是母线的长） ② （其中是底面半径，是母线的长） ③ （其中是球的半径） 体积 ① （其中为底面积，为柱体的高） ② （其中为底面积，为锥体的高） ③ （其中是球的半径） ④=（++）h(其中分别是上下底面的面积） ⑤=h 3.常用求体积的方法： 4.空间几何体的内切、外接球 外接球：球心到多面体各顶点的距离相等且等于球的半径. 内切球：球心与各面切点的连线垂直于切面. 结论： （1）设正方体棱长为，则 ①外接球半径 ②与其各棱相切的球半径 ③内切球半径 （2）设长方体长、宽、高为，则它的外接球半径 （注意：长方体、正方体的外接球，球心在体对角线的中点.） 5.平面的基本性质及推论 公理 文字 图形 符号 事 实 1 过不共线的三个点，有且只有一个平面 三点不共线，那么存在唯一的平面，使在平面内 事 实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ， 那么 事 实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ， 那么，且 事 实 4 平行于同一条直线的两条直线平行 那么 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 6.空间两直线的位置关系 位置关系 特点 共面直线 相交 在同一平面内，有且只有一个公共点 平行 在同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 7.空间直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线在平面内 无数个 直线在 平面外 直线与平面相交 一个 直线与平面平行 无 8.空间两平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 两平面平行 无 两平面相交 有一条 公共直线 9.等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 图形语言 符号语言 或 作用 判断或证明两个角相等或互补 10.异面直线所成角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，， 我们把直线与所成的角，叫做异面直线与所成的角（或夹角）. 范围 空间两条直线所成角. 特别地，当时，. 注意：求异面直线所成角时，通过平移直线构造三角形计算求值. 11.直线与平面所成角定义 定义 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 图形 范围 线面所成角，其中.特别地， 注意：求线面角时，构造直角△进行计算求值 12.二面角的定义 （1）定义：如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）记法：或或或 13.二面角的平面角 定义 如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在平面和内 分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角. 图形 范围 二面角. 特别地，平面角为直角的二面角叫做直二面角. 注意：求二面角时，先构造它的平面角所在三角形△，再进行计算求值 （平行问题） 1.常见证明线线平行的方法： （1）出现中点，利用三角形中位线与底边平行，得到线线平行. （2）构造四边形，证明（一组对边平行且相等）四边形为平行四边形，得到线线平行. （3）将三角形中位线与平行四边形结合，进而得到线线平行. （4）由线段等比例平行定理，得到线线平行. （5）由基本事实4，平行线的传递性，得到线线平行. （6）垂直于同一平面的两条直线互相平行，得到线线平行. 2.线面平行判定定理 文字 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 图形 符号 证明过程 线线平行线面平行 3.面面平行判定定理 文字 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 图形 符号 证明过程 线线平行线面平行面面平行 4.线面平行性质定理 文字 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交， 那么该直线与交线平行 图形 符号 作用： 证明两条直线平行 5.面面平行性质定理 文字 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 图形 符号 （垂直问题） 1.常用证明线线垂直的方法： （1）四边形为正方形或菱形，则它的对角线垂直且平分，得到线线垂直. （2）等边、等腰三角形的三线合一，得到线线垂直. （3）三角形为直角三角形，则两直角边相互垂直，得到线线垂直. （4）由线面垂直，进而得到线线垂直. （5）由题目已知条件，得到线线垂直. （6）直径所对圆周角为直角，得到线线垂直. （7）由面面垂直的性质定理，进而得到线面垂直、线线垂直. 2.直线与平面垂直的定义 直线与平面内的任意一条直线都垂直 3.线面垂直判定定理 文字 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 图形 符号 证明过程 线线垂直线面垂直 4.面面垂直判定定理 文字 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形 符号 证明过程 线线垂直线面垂直面面垂直 5.直线与平面、两个平行平面间的距离定义 直线与平面 的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离. 平面与平面 的距离 两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等. 6.线面垂直性质定理 文字 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形 符号 7.面面垂直性质定理 文字 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 图形 符号 8.空间四点共面定理 ，且四点共面. 9.向量共面定理 共面 平面、空间向量的坐标运算 平面 空间 表示 加法 减法 数乘 模 平行 垂直 数量积 夹角 公式 两点间 距离 中点坐标公式 向量法研究平行、垂直、距离、夹角问题 1.平行问题 位置 关系 向量表示 图示 线线 平行 设分别是直线的方向向量，则 线面 平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则 面面 平行 设分别是平面的法向量，则 2.垂直问题 位置 关系 向量表示 图示 线线 垂直 设分别是直线的方向向量，则 线面 垂直 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则 面面 垂直 设分别是平面的法向量，则 3.距离问题 向量表示 图示 点到直线 的距离 设，直线的单位方向向量为， 则点到直线的距离为，那么 （其中） 两条平行直线之间的距离 点到直线的距离 点到平面 的距离 设平面的法向量为，则 点到平面的距离为，那么 线面、面面间的距离 平面外一点到平面的距离 4.夹角问题 向量表示 图示 直线与直线 所成角 设直线所成角为，方向向量分别是则 直线与平面 所成角 设直线与平面所成角为，直线的方向向量为平面的法向量为，则 平面与平面 所成角 设平面所成角为，其法向量分别是，则 统计 1.全面调查与抽样调查的含义 调查方法 2.简单随机抽样 （1）定义：从个总体中，逐个不放回的抽取个个体作为样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等. （2）常用的简单随机抽样的方法：（1）抽签法 （2）随机数法 （3）总体平均数（总体均值） 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称 为总体均值，又称为总体平均数. （4）样本平均数（样本均值） 从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称 为样本均值，又称为样本平均数. （5）样本平均数与总体平均数的关系 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数. 注意：为求和符号，主要用于多项式求和. 例如 3.分层随机抽样 （1）定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成正比，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. （2）分层抽样中的总体平均数与样本平均数： 在分层随机抽样中，如果层数分为层， 第一层包含的个体数为，抽取的样本量为，样本平均数为. 第二层包含的个体数为，抽取的样本量为，样本平均数为. 则有 ①总体平均数 ②样本平均数 （3）抽样比： 在比例分配的分层随机抽样中， 抽样比 注意：在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. （4）分层抽样中总样本方差的计算： 第一层抽取的样本量为，样本平均数为，方差为. 第二层抽取的样本量为，样本平均数为，方差为. 若总体平均数为，则有： 或 4.具体样本数据中的参数： 假设一组样本有个数据，分别为，那么 平均数： 中位数： 众数：出现次数最多的数 方差： 或 标准差： 方差（标准差）越大，越不稳定相对分散；反之越小，越稳定相对集中. 第百分位数： 5.频率分布直方图 意义 性质 ①各长方形的面积表示各组的频率 （即 “面积频率”） ②各长方形面积总和为1 （即：各组频率之和为1） 众数 最高矩形底边中点横坐标 中位数 （第50百分位数） 面积一半处的横坐标 ， 即频率为0.5处的横坐标 补差法：①确定范围 ②补差求宽 ③求中位数 平均数 各组的频率乘以各组底边中点横坐标之和 1.相关关系 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关.而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 2.样本相关系数 （1） 我们称为变量和变量的样本相关系数. （2）当时，称成对样本数据正相关 ； 当时，称成对样本数据负相关. （3）样本相关系数的范围为： 当越接近时，样本的线性相关程度越强；当越接近时，样本的线性相关程度越弱. 特别地，当时，样本点在一条直线上. 3.线性（经验）回归方程 （1）回归方程： 回归方程必过回归中心点 由最小二乘法可求 当 （2）回归分析：决定系数 称为残差 越大，拟合效果越好 ； 越小，拟合效果越差. 4.独立性检验（卡方检验） （1）列联表 设分类变量为 变量 变量 合计 合计 随机变量 （其中） （2）独立性检验（卡方检验）步骤： ①完成列联表 ②提出零假设：与之间无关联 ③计算的值，并与临界值比较 ④下结论 当时，推断不成立，即：认为与有关联，该推断犯错误的概率不超过； 当时，没有充分证据推断不成立，即：认为与无关联. （3）检验中常用小概率值和相应的临界值： 概率 1.随机试验与随机事件 随机试验：对随机现象的实现和对它的观察. 样本点：随机试验的每个可能的基本结果. 样本空间：全体样本点组成的集合，记作. 样本空间的表示方法 基本事件：只包含一个样本点的事件. 事件分类 2.事件的关系及运算 事件的关系及运算 含义 符号表示 包含 事件发生导致事件发生 相等 事件与事件样本点相同 并事件（和事件） 事件与事件至少有一个发生 （或） 交事件（积事件） 事件与事件同时发生 （或） 互斥事件 事件与事件不能同时发生 对立事件 事件与事件有且仅有一个发生 且 注意：①事件的对立事件记作. ②互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件. 3.概率的概念 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率. 概率范围： 记作等 注意：在试验中，我们常用频率估计概率. 4.古典概型及古典概型的概率公式 （1）古典概率模型的特征： （2）古典概型的概率公式： 5.概率的基本性质 性质1 对任意的事件，都有. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在之间 性质3 如果事件与事件互斥，那么 如果事件，事件，事件两两互斥，那么 性质4 如果事件与事件互为对立事件，那么 性质5 如果事件事件，那么 性质6 设事件，事件是一个随机试验中的两个事件，我们有 6.事件与事件相互独立的含义 （1）定义：对任意两个事件与，如果，则称事件与事件相互独立. （2）性质： ①必然事件，不可能事件，任意随机事件之间相互独立 ②若事件与事件相互独立，则事件与事件，事件与事件也都相互独立. 1.条件概率 一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. 特别地，当事件相互独立时，有. 注意：对条件概率求解时，所有条件概率均可运用公式；当问题属于古典概型时，还可以通过缩小样本空间的方法求解. 2.概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件，若，则. 特别地，当事件独立时，有. 3.条件概率的性质（设） ①. ②如果是两个互斥事件，则. ③设互为对立事件，则. 4.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.我们称公式为全概率公式. 全概率公式的基本思想： 利用一组两两互斥的事件，将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件. 全概率公式的数学本质： 利用一组两两互斥的事件分割事件，再由概率的加法公式和乘法公式求事件的概率. 5.概率的加法公式 ①对于任意事件，有. ②对于互斥事件，有. 6.离散型随机变量 （1）概念：可能取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量. （2）分布列：将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示： ...... ...... 我们称这个表为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列. （3）性质： （4）离散型随机变量的均值与方差： ①称为随机变量的均值或数学期望. ②称 为随机变量的方差，也记为，并称为随机变量的标准差，记为. 方差计算简化： 结论 ： ； 7.两点分布（或0 - 1分布）还称这种分布为伯努利分布 （1）两点分布的分布列 （2）两点分布的期望与方差： ①在一次两点分布实验中，离散型随机变量的期望 . ②在一次两点分布实验中，离散型随机变量的方差 . 8.二项分布 ①伯努利试验：只包含两个可能结果的试验. 我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 特征 ②二项分布： 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则事件发生次的概率为 ，于是的分布列为 此时称随机变量服从二项分布，记作 ③二项分布的均值与方差： 若，则 ； 9.超几何分布 ①超几何分布： 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则时概率为. 于是的分布列为 此时称随机变量服从的超几何分布. ②超几何分布的均值： 若随机变量服从的超几何分布，则 10.正态分布 （1）正态密度函数： 若函数，.其中为参数，我们称为正态密度函数，称它的图象（如图）为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为 特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布. （2）正态曲线的性质 ①曲线与轴之间的面积为； ②曲线是单峰的，它关于对称； ③曲线在处取得最大值； ④曲线位于轴上方，与不相交； ⑤当一定时，曲线随着的变化而沿着轴平移，所以称为位置参数； ⑥当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，所以称为形状参数. （3）正态分布的均值与方差 若，则 ； （4）正态分布的三个常用数据（3原则） ① ② ③ 函数与导数 1.函数的概念 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数. 记作： 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域. 与的值相对应的值叫做函数值，所有函数值组成的集合叫做函数的值域. 2.函数的三要素： 定义域、值域、对应关系. 3.区间的表示 不等式 区间 不等式 区间 4.求函数定义域常见限制 ①分式分母不能为； ②偶次根式下的式子大于等于； ③对数的真数大于，底数大于且不等于； ④指数为时，底数不能为. 5.两函数相同的条件 6.函数的表示法：解析法、图象法、列表法. 7.分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. 8.函数的单调性的定义 设函数的定义域为，区间，，且，那么： 如果都有，那么就说函数在区间上单调递增； 如果都有，那么就说函数在区间上单调递减. （特别地，如果函数在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数；如果函数在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数） 9.判断函数单调性的方法 （1）图象法：看图象从左到右是上升还是下降. （2） 用定义证明函数单调性的步骤： ①取值 ②作差 ③变形（通分、提公因式） ④定号（正还是负） ⑤结论. 10.函数的奇偶性判断 判断方法一（图象法） 判断方法二（定义法） 偶函数 图象关于 轴对称 奇函数 图象关于 原点 轴对称 11.奇偶函数的性质 函数 性质 偶函数 ①定义域关于原点对称； ②图象关于轴对称； ③对称区间单调性相反. 奇函数 ①定义域关于原点对称； ②图象关于原点对称； ③对称区间单调性相同； ④定义域含时，则一定有. 12.幂函数的定义 形如，叫做幂函数；其中是自变量，是常数. 13.常见的五个幂函数 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在区间上单调递增 上 单调递减， 上 单调递增 在区间上单调递增 在区间 上 单调递增 上 单调递减， 上 单调递减 幂 函 数 的性质 （1）所有的幂函数图象都过点； （2）若，则在区间上单调递增； （3）若，则在区间上单调递减； 指数函数与对数函数 1.次方根的概念 若，则叫做的次方根. 即 （其中叫做根指数，叫做被开方数） 2.结论 （1） （2） 3.分数指数幂 正分数指数幂： 负分数指数幂： 负指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 4.指数幂的运算 前提： （1） （同底数幂相乘，底数不变指数相加） （2）（同底数幂相除，底数不变指数相减） （3） （幂的乘方，底数不变指数幂相乘） （4） （积的乘方，等于乘方的积） 5.指数函数的概念 形如的函数叫做指数函数 （其中指数是自变量，定义域为，底数） 6.指数函数的图象及性质 形如 （） 底数 图象 定义域 值域 性质 1.在区间内单调递增 2.过定点 3. 1.在区间内单调递减 2.过定点 3. 7.对数的概念 一般地，如果（），那么数叫做以为底的对数，记作. 即： 注意： 8.对数的分类 一般对数 （以为底） 记作 常用对数 （以为底） 记作 自然对数 （以为底，其中） 记作 9.对数的性质 （1） （2） （3）对数恒等式 10.对数的运算 前提：那么 （1） （同底对数相加，底数不变真数相乘） （2） （同底对数相减，底数不变真数相除） （3） （真数的指数可提前） （4） （真数的指数提前作分子，底数的指数提前作分母） 换底公式： 补充结论： （1） （2） （3） 11.对数函数的概念 一般地，函数（）叫做对数函数，其中是自变量，定义域是 12.对数函数的图象及性质 形如 （） 底数 图象 定义域 值域 性质 1.在区间内单调递增 2.过定点 3. 1.在区间内单调递减 2.过定点 3. 13.反函数的概念 一般地，像指数函数与对数函数这样，它们的定义域与值域正好互换，我们称这两个函数互为反函数. 结论： 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称. 14.函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 结论： 方程有实数根函数有零点函数的图象与有交点 15.函数零点存在性定理 函数在区间上的图象是一条连续不断的的曲线，且有，则在区间内至少存在一个零点. 函数知识点补充 1.函数图象平移问题 图象左右平移 （对自变量，左“＋”右“－”） 图象上下平移 （对函数值，上“＋”下“－”） 2.复合函数的概念 设函数是的函数，是的函数，这样.我们称为由函数与复合而成的复合函数. 3.复合函数的单调性： 同增异减 . 导数 1.导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率. 即： 切线方程： 2.常用导数公式 原函数 导函数 ① 若 （为常数） 则 ② 若 则 ③ 若 则 ④ 若 则 ⑤ 若 则 ⑥ 若 则 ⑦ 若 则 ⑧ 若 则 3.导数的运算法则 加、减法 乘法 特别的， 即： 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积. 除法 4.复合函数求导法则 对于由函数和复合而成的函数，它的导数为 即：对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 5.函数的单调性与导数的关系 设函数在内可导，那么 在内单调递增 在内单调递减 在内为常数函数 6.函数的极值点与极值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且；而且在点的左侧，右侧.我们称为极小值点，为极小值. 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且；而且在点的左侧，右侧.我们称为极大值点，为极大值. 极值点 极值 注意： （1）若为极值点，则；反之不成立。 即：极值点的导数一定为0，导数为0的点不一定是极值点. （2）极大值不一定大于极小值. 7.考点一：（1）曲线在某点处的切线方程；（2）过某点的切线方程. 利用切点满足的三个关系： 1.切点坐标满足曲线方程；2.切点坐标满足切线方程；3.切线的斜率是曲线在切点处的导数. 8.复合函数的求导“三步曲” 1.分解：函数由复合 2.求导：分别求对的导数与对的导数，并相乘 3.回代：回代 9.函数单调性问题 单调性问题解题方法：数轴穿根法. （1）不含参数问题解题步骤： ①写出函数定义域，并求导； ②令，解出导数的根（零点）； ③画数轴穿根，由图像得到（或）的解集. （2）含参数问题解题步骤： ①写出函数定义域，并求导； ②分类讨论参数三种情况，令，解出导数的根（零点）； ③画数轴穿根，由图像得到（或）的解集. 注意：解决含参数的函数的单调性问题常见的分类讨论标准： （1）方程是否有根； （2）若有根，求出根后判断其是否在定义域内； （3）若根在定义域内且有两个，比较根的大小分类讨论. 10.求函数极值解题步骤： ①写出函数定义域，并求导； ②令，解出导数的根（零点）； ③画数轴穿根，并列出表格； ④判断并求出极值情况. 11.求函数在区间的最值的步骤： ①写出函数定义域，并求导； ②求出函数在区间内的极值； ③将函数的极值与端点值和比较大小，其中最大的是最大值，最小的为最小值. 解析几何 1.直线的倾斜角 定义：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 记作： 范围： 2.斜率公式 ①已知直线的倾斜角时，斜率 ②已知直线上两点，时，斜率 （注意：） ③已知直线一般式方程时，斜率 （注意：） 3.倾斜角与斜率的关系 图象 倾斜角 斜率 不存在 4.两条直线平行和垂直的判定 ①斜率存在时 ②斜率不存在时 平行： 平行：两条直线斜率都不存在 垂直： 垂直：一条直线斜率不存在，另一条斜率为零 结论： ； 5.直线方程的五种形式 点斜式 已知直线上一点和斜率时 斜截式 已知直线斜率和在轴上的截距时 两点式 已知直线上两点，时 其中， 截距式 已知直线在轴、轴上的截距和时 其中， 一般式 （其中斜率，当时斜率不存在） 6.直线与的位置关系 方程组的解 一组 无解 无数组 直线和公共点的个数 一个 零个 无数个 直线和的位置关系 相交 平行 重合 7.三个距离公式 ①两点间的距离 平面内两点的距离 ②点到直线的距离 点到直线的距离 ③两平行线间的距离 两平行线与的距离 8.中点坐标公式 已知点，点，则中点坐标为. 9.三角形重心坐标公式 设△三顶点坐标为，，，则重心坐标为 圆的方程 1.圆的标准方程 ①以为圆心，为半径的圆的标准方程为 ②以原点为圆心，为半径的圆的标准方程为 2.圆的一般方程 关于的二元二次方程 （其中） 表示以为圆心，为半径的圆. 3.求解圆的方程的方法：1.几何法；2.待定系数法. 4.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 （记：） 位置 关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 图示 几何法 代数法 5.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系及判断方法 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点个数 个 个 个 ①几何法：设圆心到直线的距离为 ②代数法：联立 6.圆与圆的位置关系 ①几何法判断两圆位置关系：两圆的圆心距 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 几何法 ②代数法判断两圆位置关系：联立两圆的方程得方程组 方程组的解 组 组 组 两圆的公共点 个 个 个 两圆的位置关系 相交 外切 或 内切 外离 或 内含 结论：求两圆的公共弦所在直线的方程，将两圆方程相减既得. 7.弦长公式 ①几何法：弦心距为，半径为，则 ②代数法（设而不求）： ③代数法：直线与圆的交点，，则 弦长 结论： 过圆内一定点最长最短弦问题 圆锥曲线 1.椭圆 定义 文字 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹 符号 椭圆上任意一点都有 图 象 方程 （） （） 焦距 焦点坐标 范围 对称性 关于轴、轴和原点对称 轴长 长轴： 短轴： 顶点坐标 离心率 （） 关系 韦达定理（根与系数关系）： ，则 弦长公式： 椭圆二级结论： 1.焦点三角形面积 ① ② ③ （当点在短轴端点时，焦点三角形面积最大） 2.（中点弦问题）在椭圆中，若直线与椭圆相交于两点，点是弦的中点，弦所在直线的斜率为，椭圆离心率为，则 3.（斜率乘积定值问题）已知是椭圆关于原点对称的两点，是椭圆上异于的任一点，若斜率存在，则 4.在椭圆中，①到中心距离最小的点是短轴的端点；②到中心距离最大的点是长轴的端点；③到焦点距离最大和最小的点是长轴的端点，其中. 5.（通径）过椭圆的焦点与椭圆长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径. 过椭圆焦点的所有弦中通径最短，通径 设椭圆的两个焦点为，（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△中，记，，，则有 2.双曲线 定义 文字 平面内到两定点的距离之差的绝对值等于非零常数的点的轨迹 符号 抛物线上任意一点都有 图 象 方程 （） （） 焦距 焦点坐标 范围 对称性 关于轴、轴和原点对称 轴长 实轴： 虚轴： 顶点坐标 渐近线 离心率 （） 关系 实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线. 即：“” 等轴双曲线的方程 （） 渐近线 离心率 双曲线二级结论： 1.焦点三角形面积 ① ② ③ 2.（中点弦问题）在双曲线中，若直线与双曲线相交于两点，点是弦的中点，弦所在直线的斜率为，双曲线离心率为，则 3.（通径）过双曲线的焦点且垂直于对称轴的弦（最短焦点弦）. 4.在双曲线中，①焦点到渐近线的距离为.②顶点到渐近线的距离为. ③曲线上的点到焦点的最小距离为. 3.抛物线 定义 文字 平面内到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹 符号 抛物线上任一点都有 （其中表示点到准线的距离） 图 象 方程 焦点坐标 准线方程 顶点 原点 离心率 的几何意义 焦点到准线的距离为 通径 过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦（最短焦点弦） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$