精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期末2数学试题

浠水一中2024年高一年级下学期数学期末试卷(2) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位数为（ ）． A. 3 B. C. 8 D. 2. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为（ ） 95226000   49840128   66175168   39682927   43772366   27096623 92580956   43890890   06482834   59741458   29778149   64608925 A. 14 B. 08 C. 09 D. 06 4. 已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校科技社利用打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积V为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量m约为（ ）（，） A. B. C. D. 6. 如图，水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（    ） A. B. C. 8 D. 10 7. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C. 数据的第70百分位数是23 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ） A. 三棱锥体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 当点与重合时，二面角的正切值为 D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________. 13. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥外接球的半径为______． 14. 在中，内角对边分别为，且．若，是边的中点，且，则的内切圆的半径为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在△ABC中，已知，，，且． （1）若，求的值 （2）求． 16. 已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小： （2）若，求的面积． 17. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上. （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）证明：存在点，使得平面，并求的值. 18. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名生学身高的75％分位数． （3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②． 19. 定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浠水一中2024年高一年级下学期数学期末试卷(2) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位数为（ ）． A. 3 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用下四分位数的公式求解. 【详解】共12个数据从小到大排列，， 故下四分位数为第3个数据和第4个数据的平均值，即. 故选：B 2. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式可求向量在向量上的投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 3. 现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为（ ） 95226000   49840128   66175168   39682927   43772366   27096623 92580956   43890890   06482834   59741458   29778149   64608925 A. 14 B. 08 C. 09 D. 06 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数表法的读取规则，即可求解. 【详解】依次选出的编号为：01，17，09，08，06，14； 则选出来的第6支水笔的编号为14. 故选：A. 4. 已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出即可． 【详解】根据函数，，在一个周期内的图象， 可得，，． 再根据五点法作图，可得，所以，由于，， 故选：C. 5. 某校科技社利用打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积V为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量m约为（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过半球体积求出半径，求出圆台体积，再求质量即可. 【详解】设球的半径为，因为半球的体积V为，即，解得， 所以圆台的上底面半径及高均是3， 所以圆台的体积为， 所以该模型所需原料的质量m约为， 故选：C. 6. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（    ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 7. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，代入，结合倍角公式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 则 . 故选：B. 8. 中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合共轭复数的概念，以及复数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D不正确 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C. 数据的第70百分位数是23 D. 已知数据极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，根据方差性质得到的方差可判断. 【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确； B选项，的平均数为， 方差，故B正确； C选项，这10个数据从小到大排列为， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是，故C错误； D选项，不妨设，则， 即数据的极差为12，由方差性质知，故D正确． 故选：ABD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 当点与重合时，二面角的正切值为 D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据锥体的体积公式判断A，通过反证，利用平面与平面和平面的交线、是否能平行来判定B，取的中点，连接，，即可得到为二面角的平面角，再由锐角三角函数判断C，作出截面，求出截面面积，即可判断D. 【详解】对于A，随着的移动，但是点到平面的距离始终不变即为线段的长度， 故是定值，故A正确； 对于B，如图所示， 连接，为侧面的中心， 平面与平面和平面分别交于线、， 若存在点使平面平面，则，又， 则四边形为平行四边形，即，而， 此时应在延长线上，故不存在线段上一个动点，使平面平面，故B错误； 对于C，取的中点，连接，，又，， 所以，，所以为二面角的平面角， 又平面，平面，所以， ，所以， 即二面角的正切值为，故C正确； 对于D，连接，，，，依题意可知，，， 所以， 所以四边形为平面截正方体所得截面，又，，， 如下平面图形，过点作，过点作， 则，所以， 所以， 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值. 【详解】∵与的夹角为锐角，∴，即，解得， 当与共线时，可得，解得， 所以当时，与同向， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先证明，，两两垂直且长度均为，再将该三棱锥放置于正方体当中即可. 【详解】取线段的中点，分别连接，因为为等边三角形， 则，所以，因为，且，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又因为的中点为，则垂直平分，因为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，因为，则， 所以，又因为，平面，，所以平面， 则易知，，两两垂直且长度均为， 所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设外接球的半径为，则. 故答案为：3. 14. 在中，内角的对边分别为，且．若，是边的中点，且，则的内切圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件结合向量中线定理得到，再设出内切圆的半径，等面积法建立方程求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 又，所以， 由余弦定理得，即． 又D是边的中点，且，所以， 所以，即， 又，所以，，所以． 设的内切圆的半径为r，所以， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是利用给定条件结合向量中线定理得到三角形的各个边长，然后利用等面积法求解内切圆半径即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在△ABC中，已知，，，且． （1）若，求的值 （2）求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件结合向量线性运算法则可得，得到，. （2）法一：由（1）知，平方得,同理得，利用即可得到答案； 法二：以为轴，为原点，建立直角坐标系，写出各点坐标，得出答案. 【小问1详解】 由题意知，，则与的夹角为60°，， 如图，，，， ∴， ，． 【小问2详解】 由（1）同理可得， ， ∴， ， ∴， . 法二： 以为轴，为原点，建立直角坐标系， 则，，， ，． ∴ ． 16. 已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小： （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由和余弦定理结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 得， 即，又， 所以，即，又， 所以； 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得，得， 所以， 当时，，所以为直角三角形，， 又，，所以， 所以； 当时，所以. 由余弦定理得， 又，所以，由，解得， 所以，故. 17. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上. （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）证明：存在点，使得平面，并求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设，连接，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）在平面中过作于，连接，说明是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）连接交于点，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，当时可证平面，从而求出此时的值. 【小问1详解】 设，连接， 因为正方形，所以为中点， 又矩形中，为的中点， 所以且， 所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 平面中，过作于，连接， 因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， ，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 是二面角平面角， 因为，，所以， 所以， 在中，，， 二面角的正切值为； 【小问3详解】 连接交于点，因为是正方形，所以， 又正方形和矩形所在的平面互相垂直， 平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以， 当时，，平面，所以平面， 此时，，，则， 又，所以，则，则， 所以，又，所以，则， 所以，所以. 18. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名生学身高的75％分位数． （3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②． 【答案】（1）0.06 60人；（2）；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数； （2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得； （3）利用样本平均数，方差公式化简即证. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在及以上的学生人数（人）． （2）的人数占比为％， 的人数占比为％， 所以该校100名生学身高的75％分位数落在， 设该校100名生学身高的75％分位数为， 则％，解得， 故该校100名生学身高的75％分位数为． （3）由题得①；② 又 同理， ∴ . 19. 定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边证明充分性，再举反例说明推不出即可； （2）①将代入，通过移项平方得出和的余弦值，进而得到正弦值，再利用三角形面积公式即可得到面积比； ②通过移项平方得到，再通过得出，同理可得出，，再根据满足三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边即可得出. 【小问1详解】 ，则，即， ∴，即， 同理可得，， 则成立， 取，则为等腰直角三角形的三边， 但，，不能为三角形的三边， 故推不出， ∴“”是“”的充分不必要条件． 【小问2详解】 ①，则， ∴， 又因为，∴， 而均为三角形内角，∴， 记， ∴； ②由， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 同理得，， ∴x，y，z可组成三角形，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$