5.1.1 从算式到方程 课件--2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.1.1 从算式到方程 方程的有关概念 (1)在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了47张门票，学生 票每张10元，成人票每张15元，总票款为495元．如果设学生人数为 x ， 那么老师人数为 ，总票款用含 x 的代数式表示为 ⁠ ，又总票款为495元，所以 ⁠； 47－ x 　 10 x ＋15(47 － x )　 10 x ＋15(47－ x )＝495　 (2)某长方形操场的面积是5 850 m2，长比宽多25 m．如果设这个操场 的宽为 x m，那么长为 m，操场的面积用含 x 的代数式表示 为 ，又操场的面积是5 850 m2，所以 ⁠ ⁠． 观察(1)、(2)中所列等式，可发现它们都是含有未知数的等式． ( x ＋25)　 x ( x ＋25)　 x ( x ＋25)＝5 850　 (1)含有 的 叫作方程；(2)未知数的个数可 以是 个或 个． 未知数　 等式　 一　 多　 1. 下列各式：①2 x －1＝5；②4＋8＝12；③5 y －7；④2 x ＋3 y ＝ 0；⑤3 x2＋ x ＝1；⑥2 x2－3 x －1；⑦| x |＋1＝2；⑧ ＝6 y －9.其中是方 程的是(　C　) A． ①②④⑤⑧ B． ①②⑤⑦⑧ C． ①④⑤⑦⑧ D． ①③④⑤⑥⑦⑧ C 例1 【人教七上P113例1改编】根据下列问题，设未知数并列出方 程： (1)某校七年级三班有50人．其中男生人数是女生人数的1.5倍，求女 生人数； (1)解：设女生人数为 x ，那么男生人数为1.5 x .根据“七年级三班有50 人”， 列得方程 x ＋1.5 x ＝50. (2)沿一张正方形铁皮的边截去一个宽2 cm的长方形铁皮条，余下的 长方形铁皮面积是80 cm2，那么原来正方形铁皮的边长是多少？ (2)解：设原来正方形铁皮的边长是 x cm，那么余下的长方形的长为 x cm，宽为( x －2)cm. 根据“长方形铁皮面积是80 cm2”， 列得方程 x ( x －2)＝80. 2. 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)甲、乙两班共有98人，如果从甲班调3人到乙班，那么两班人数正 好相等．求甲班原有的人数； (1)解：设甲班原有 x 人，那么调后甲班有( x －3)人，乙班有(98－ x ＋3)人． 根据“调完两班人数相等”， 列得方程 x －3＝98－ x ＋3. (2)【人教七上P113练习T3】某圆环形状的工件如图所示，它的面积是 200 cm2，外沿大圆的半径是10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？ (2)解：设内沿小圆的半径是 x cm. 根据“大圆面积减去小圆面积等于圆环面积”， 列得方程102π－π x2＝200. 方程的解 3. 方程的解：一般地，使方程左、右两边的值 ⁠的未知数的 值，叫作方程的解． 相等　 例2 (1) x ＝5是方程3 x ＝25－2 x 的解吗？ 解：当 x ＝5时，方程3 x ＝25－2 x 的左边3 x ＝3×5＝ ，右边25 －2 x ＝ ＝ ⁠． 因为左边 (填“＞”“＜”或“＝”)右边，所以 x ＝5 (填“是”或 “不是”)方程的解． 15　 25－2×5　 15　 ＝　 是　 (2) x ＝9是方程－ x －5＝4的解吗？ (2)解：当 x ＝9时，方程－ x －5＝4的左边＝－ ×9－5＝－8，右边＝4. 因为左边≠右边，所以 x ＝9不是方程的解． 4. (1) x ＝2是方程2 x2＋6＝7 x 的解吗？ (1)解：当 x ＝2时，方程2 x2＋6＝7 x 的左边＝2×22＋6＝14，右边＝7×2 ＝14. 因为左边＝右边， 所以 x ＝2是方程的解． (2)已知 x ＝1是方程2 x － b ＝0的解，求 b 的值． (2)解：由题意，得2×1－ b ＝0，即2－ b ＝0. 所以 b ＝2. 一元一次方程的概念 5. 一般地，如果方程中，只含有 个未知数(元)，且含有未 知数的式子都是整式，未知数的次数都是 ，这样的方程叫作一 元一次方程． 例3 下列方程：① y ＝ x －7；②2 x2－ x ＝6；③ m －5＝ m ；④ ＝1；⑤ ＝1.其中是一元一次方程的是(　A　) 一　 1　 A A． ③⑤ B． ①③ C． ②④ D． ②⑤ 6. (1)下列方程中是一元一次方程的是(　D　) A． x ＋3＝ y ＋2 B． 2 x2－2 x ＝1 C． x －1＝ D． －2＝2 y －7 (2)已知关于 x 的方程 x2 m －6＝0是一元一次方程，则 m ＝ ． D 　 判断方程是否为一元一次方程：需同时满足：①只含有一个 未知数；②未知数的次数都是1；③是 ⁠方程．三个条件，缺一不 可． 整式　 1． 下列方程中，是一元一次方程的是(　A　) A． 2 x －3＝0 B． －5 x ＋3 C． x ＋2 y ＝1 D． x2－4＝0 A 2． 下列给出的 x 的值，是方程3 x －6＝2 x ＋4的解的是(　B　) A． x ＝－2 B． x ＝10 C． x ＝－10 D． x ＝2 B 3． 【人教七上P118习题T2改编】根据下列图形中标出的量及其满足 的关系，列出方程： 解：(1) x ＋ x ＋1＋ x ＋2＝12. (2)2 x ＋ x ＋ x ＝180°. (3) x ( x －2)＝8. 4． 已知 xn-1－5＝0是关于 x 的一元一次方程，则 n ＝ ⁠． 2　 5． (1)一本书封面的周长为68 cm，长比宽多6 cm，求封面的宽是多 少．若设宽为 x cm，则可列方程为 ⁠. (2)“五一”期间，某商场将某电器按成本价提高30%后标价，再打八 折(标价的80%)销售，售价为2 080元，求该电器的成本价．设该电器的成 本价为 x 元，则可列方程为 ⁠． 2( x ＋6＋ x )＝68　 2( x ＋6＋ x )＝68　 (3)数学文化《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”， 书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物 价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱； 每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是 x 钱，则可 列方程为 ⁠. 6． 若关于 x 的方程3 x ＋2 a ＝2( x － b )的解是 x ＝－6，则 a ＋ b 的值 是 ⁠． ＝ 　 3　 课后作业 1． 下列式子中，是方程的是(　B　) A． 6x＋3 B． 6m＋m2＝14 C． 5a－2＜53 D． 3－2＝1 B 2． 下列方程的解是x＝1的是(　A　) A． ＝0 B． ＝－1 C． －5x＝5 D． 2(x＋1)＝0 A 3． 已知关于x的方程2x＋m－8＝0的解是x＝3，则m的值为 ⁠． 2　 4． 下列各式：①x＋1；②3x－2＝－x；③|π－3|＝π－3；④2m－n ＝0；⑤x－2＝；⑥x2－5x＋6＝0；⑦x＋1＜8；⑧x＝0；⑨＝x. 其 中是一元一次方程的有 ．(填序号) ②⑧⑨　 5． (2023·连云港)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一 道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二 日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行 150里，驽马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢 马，由题意得(　D　) A． ＝ B． ＝－12 C. 240(x－12)＝150x D． 240x＝150(x＋12) D 6． 检验下列各数是不是方程－2(x－3)＝4x的解：(1)x＝－1； (2)x＝1. 解：(1)当x＝－1时，左边＝－2(x－3)＝8，右边＝4x＝－4. 因为左边≠右边， 所以x＝－1不是方程－2(x－3)＝4x的解． (2)当x＝1时，左边＝－2(x－3)＝4，右边＝4x＝4． 因为左边＝右边， 所以x＝1是方程－2(x－3)＝4x的解． 7． 根据下列条件列出方程： (1)比b的2倍大5的数等于a与b的差； (1)解：2b＋5＝a－b. (2)y与2的积等于y与3的和． (2)解：2y＝y＋3. 8． 已知x＝2是方程2x－a＝0的解，而a又是关于x的方程3x＋2＝b的 解，则a－2b＝ ⁠． －24　 9． 根据下列问题列方程： (1)跨学科为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴 趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作，已知截成10 cm的导线根数是20 cm的 导线根数的3倍，求截成10 cm的导线根数． 解：设截成20 cm的导线x根，则截成10 cm的导线3x根． 由题意列方程，得10×3x＋20x＝150. (2)小明配置了一瓶质量分数为20%的食盐溶液，小兰配置了一瓶质 量分数为25%的食盐溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分 数为22%的食盐溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量 多7克，两人配置的食盐溶液质量各有多少克？(提示：食盐质量＝食盐溶 液质量×质量分数) 解：设小兰配置的食盐溶液质量为x克，则小明配置的食盐溶液质量 为(x＋7)克． 由题意列方程，得25%x＋20%(x＋7)＝22%(x＋x＋7)． 10． 已知(|m|－1)x2－(m＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程，求－ 4m2－2[m－(2m2－m＋2)]的值． 解：由题意，得|m|－1＝0，且m＋1≠0. 所以m＝±1，且m≠－1.所以m＝1. 原式＝－4m2－2(m－2m2＋m－2) ＝－4m2－2(－2m2＋2m－2) ＝－4m2＋4m2－4m＋4＝－4m＋4. 将m＝1代入，原式＝－4×1＋4＝0. $$