4.1整式 课件--2024-2025学年人教版数学七年级上册

4.1整式 第1课 单项式 单项式的概念 观察代数式：100 t ，0.8 p ， mn ， a2 h ，－ n ，这些代数式有 什么共同特点？ 这些代数式都是数或字母的 ，像这样的代数式叫作单 项式．单独的一个 或一个 ⁠也是单项式． 积　 数　 字母　 例1 下列各式：①－3 y ；②－1.5；③3 x ＋1；④ x2 y ；⑤ .其中是单 项式的有 ．(填序号) ①②④　 1. 下列各式： x3，8， ， x2－1， ab ， ，其中单项式有(　B　) A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个 B 单项式的系数与次数 2. (1)单项式的系数：单项式中的 ⁠因数叫作这个单项式 的系数； (2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的 ⁠叫作这 个单项式的次数．如果一个单项式的次数是 n ，那么称这个单项式是 n 次 单项式． 注意：①单项式的系数是1或－1时，1通常不写，如 a2，－ x .②对于 一个非零的数，规定它的次数为0. 数字　 和　 例2 填表． 单项式 2 a3 － t 1.2 xy －8 x2 y3 系数 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 次数 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 2　 －1　 1.2　 －8　 3　 1　 2　 5　 3. 填空： (1)单项式 xyz 的系数是 ，次数是 ； (2)单项式 的系数是  　 　 ，次数是 ； (3)－2系数是 ，次数是 ． 1　 3　 　 6　 －2　 0　 单项式的应用 例3 【北师七上P81尝试思考改编】用单项式填空，并指出它们的系 数和次数． (1)当水结冰时，其体积大约会比原来增加 ， x2 m3的水结成冰后体 积是  　 x2　 m3；列出的单项式的系数是  　 　 ，次数是 ⁠． (2)某件商品的成本价为 a 元，按成本价提高15%标价，后又以八折 (即按标价的80%)销售，这件商品的售价为 ⁠元；列出的单项式的 系数是 ，次数是 ⁠． x2　 　 2　 0.92 a 　 0.92　 1　 4. 用单项式填空，并指出它们的系数和次数． (1)有一个底面半径为 r m，高为 h m的圆柱形蓄水池，若这个蓄水池 蓄满水，则可蓄水 m3；列出的单项式的系数是 ⁠，次数 是 ⁠． (2)某企业今年一月份投入研发新产品的资金为 a 万元，之后每月投 入研发新产品的资金比上月增加20%，则该厂今年三月份投入研发新产 品的资金为 万元；列出的单项式的系数是 ⁠，次数 是 ⁠． π r2 h 　 π　 3　 1.44 a 　 1.44　 1　 1． 下列代数式中，属于单项式的是(　B　) A． a － b B． －3 a C． D． B 2． 填空： (1)(2024·长春)单项式－2 a2 b 的次数是 ⁠； (2) 的系数是  　 　 ，次数是 ⁠． 3　 　 3　 3． 结论开放若一个单项式同时满足下列三个条件：①系数是1；② 含有两个字母；③次数是3.则这个单项式可能为 ⁠ ．(写出一个即可) m2 n (答案不唯 一)　 4． 用单项式填空，并指出它们的系数和次数： (1)若一辆汽车的平均速度是 v km/h，则该汽车行驶 t h的路程 为 km； vt 的系数是1，次数是2. (2)某长方体长为 a cm、宽为 b cm、高为 h cm，则长方体的体积 是 cm3； abh 的系数是1，次数是3. vt 　 abh 　 (3)某“爱心助农”直播间推出特产甜瓜，定价8元/千克，规定一次下 单超过5千克时，可享受九折优惠．李叔叔购买此种甜瓜 m 千克( m ＞5)， 他共需支付 ⁠元． 7.2 m 的系数是7.2，次数是1. 7.2 m 　 5． 如果2 kx2 yn 是关于 x ， y 的一个单项式，且系数是7，次数是5， 那么 k ＝ ， n ＝ ⁠． 6． 已知( a －2) x2 y| a|是关于 x ， y 的四次单项式，求 a 的值． 解：由题意，得2＋| a |＝4.所以 a ＝±2. 因为 a －2≠0，所以 a ≠2.所以 a ＝－2. 　 3　 7． 如图是一个长方形推拉窗，窗高1.6米，当活动窗扇的拉开长度为 b 米 时，活动窗扇的通风面积是 平方米． 1.6 b 　 8． 规律探究观察下列单项式：－ x ，3 x2，－5 x3，7 x4，…，－37 x19，39 x20，…，写出第 n 个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解 题思路： (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的符号、绝对值分别是什 么？ 解：(1)这组单项式的系数依次为－1，3，－5，7，…，单项式的系数的 符号是(－1) n ，系数的绝对值是2 n －1，其中 n 为正整数． (2)这组单项式的次数分别是什么？ (2)这组单项式的次数分别是从1开始的连续自然数． (3)根据上面的归纳，你可以猜想出第 n 个单项式是什么？ (3)第 n 个单项式是(－1) n (2 n －1) xn . (4)请你根据猜想，写出第2 024个、第2 025个单项式． (4)第2 024个单项式是4 047 x2 024，第2 025个单项式是－4 049 x2 025. 课后作业 1． 下列各式中，不是单项式的是(　D　) A． 3x2 B． －5 C． －xy D． a－2 D 2． 若一个单项式的系数是－2，次数是5，则这个单项式可以是 (　A　) A． －2xy4 B． 2x5 C． －2x2＋y3 D． A 3． 下列单项式中，次数与其他3个单项式不同的是(　B　) A． －x2y2z B． 0. 3a5b C． －23m5 D． 8a2b3 B 4． 下列说法正确的是(　D　) A． 10不是单项式 B． －的系数是－1 C． πxy3的系数是1，次数是3 D． －x2y的系数是－，次数是3 D 5． 若－πa2bm是一个六次单项式，则这个单项式的系数为  　－π　 ， m的值是 ⁠． －π　 4　 6． 找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． (1)； 解：(1)(3)(4)(5)是单项式． (1)的系数是，次数是1. (2)5a＋7b； (3)－2π； (3)的系数是－2π，次数是0. (4)； (4)的系数是，次数是4. (5)23xy5. (5)的系数是23＝8，次数是6. 7． 若(a－1)x2by3是关于x，y的五次单项式，且系数为－，则a ＝ ，b＝ ⁠． 　 1　 8． 已知单项式6x2y4与－a2bm+2的次数相同，求m2－2m的值． 解：根据题意，得m＋2＋2＝2＋4.所以m＝2. 所以m2－2m＝22－2×2＝0. 9． “洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的 图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径 围成了正方形，若半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 ⁠平 方米． (1+)a2　 10． 分类讨论若3xmyn是含有字母x和y的5次单项式，求mn的最 大值． 解：由已知，得m＋n＝5，且m，n都是正整数， 当m＝1时，n＝4，mn＝14＝1； 当m＝2时，n＝3，mn＝23＝8； 当m＝3时，n＝2，mn＝32＝9； 当m＝4时，n＝1，mn＝41＝4. 综上所述，mn的最大值为9. 4.1整式 第2课 多项式与整式 多项式的概念 观察下面这些代数式，它们是单项式吗？这些代数式有什么 共同特点？ t －5，3 x ＋5 y ， x2＋2 x ＋18， ab －π r2. 这些代数式 (填“是”或“不是”)单项式，是几个单项 式的 ⁠． 多项式：几个单项式的 叫作多项式． 不是　 和　 和　 例1 下列各式：－3，2 x ＋1， x2 y2， x2＋ x －3， ＋1，其 中 是多项式． 2 x ＋1， x2＋ x －3， 　 1. 在 x2－2，－1，－2 x －1，π， ， x2＋ ＋1，4 x 中，多项式有 (　C　) A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 C 多项式的项与次数 2. (1)多项式的项：多项式中的每个 ⁠叫作多项式的项，不含 ⁠的项叫作常数项； (2)多项式的次数：多项式里，次数最 ⁠的项的次数，叫作这个 多项式的次数． 单项式　 字母　 高　 3. 多项式1－2 a ＋3 a2的项有 ⁠，该多项式的次数 是 ，它是 次 项式． 4. 多项式2 x2 y － y －3是 次 项式，它的一次项是 ⁠ ，常数项是 ⁠. 1，－2 a ，3 a2　 2　 二　 三　 三　 三　 － y 　 －3　 例2 用多项式填空，并指出它们的项和次数． (1)一个长方体的长，宽，高分别为 a ， b ， c ，则这个长方体的表面 积为 ；列出的多项式的项有 ⁠， 次数是 ⁠． (2)为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一 小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的2倍少4人，若使 用超市塑料袋的为 x 人，则使用自带环保袋的有 ⁠人；列出的 多项式的项有 ，次数是 ⁠． 2 ab ＋2 bc ＋2 ac 　 2 ab ，2 bc ，2 ac 　 2　 (2 x －4)　 2 x ，－4　 1　 5. 用多项式填空，并指出它们的项和次数． (1)大圆的半径为 R cm，小圆的半径为 r cm，则圆环的面积是 ⁠ cm2；列出的多项式的项有 ，次数是 ⁠． (2)大气层相当于地球的“盾牌”．一颗质量为 m kg的陨石高速坠向地 球时受大气层的摩擦，其质量每秒减少 n kg，则10 s后这颗陨石的质量 为 kg；列出的多项式的项有 ，次数是 ⁠. (π R2 －π r2)　 π R2，－π r2　 2　 ( m －10 n )　 m ，－10 n 　 1　 整式的概念 6. 整式：单项式与多项式统称整式． 例3 下列各式：－ mn ， m ，8， ， x2＋2 x ＋6， . 其中整式有(　C　) A． 3个 B． 4个 C． 6个 D． 7个 C 7. 下列各式：①－3；② ab ＝ ba ；③ x ；④ m －1>0；⑤ ；⑥ 2( x2－ y2)；⑦ xy2－ x2；⑧－ ；⑨ a .其中，单项式有 ⁠，多项 式有 ，整式有 .(填序号) ①③⑨　 ⑥⑦　 ①③⑥⑦⑨　 1． 把下列各式的序号分别填在相应的集合内：①－2，② x2 y ，③ － ，④2 x2＋3 x －1，⑤ ，⑥－ y ，⑦ ，⑧ . (1)单项式：{ …}； (2)多项式：{ …}； (3)整式：{ …}． ①②③⑤⑥　 ④⑧　 ①②③④⑤⑥⑧　 2． 多项式3 xy2－2 y ＋1的次数及一次项的系数分别是(　B　) A． 3，2 B． 3，－2 C． 2，－2 D． 4，－2 B 3． 填空： (1)多项式－3 a2 b ＋2的项有 ⁠， 该多项式的次数是 ，它是 次 ⁠项式； (2)多项式3－ a －2 a2的项有 ⁠，该多项式的次数 是 ，它是 次 ⁠项式； (3)多项式 xy2－ x ＋ xy 的项有 ，它是 ⁠ 次 项式，它的常数项是 ⁠． －3 a2 b ，2　 3　 三　 二　 3，－ a ，－2 a2　 2　 二　 三　 xy2，－ x ， xy 　 三　 三　 0　 4． 已知多项式( a －1) x3－2 x2－( a ＋3)． (1)若它是关于 x 的二次多项式，求 a 的值及常数项； 解：(1)由题意，得 a －1＝0.所以 a ＝1. 常数项为－( a ＋3)＝－4. (2)若它是关于 x 的三次二项式，求 a 的值． (2)由题意，得 a －1≠0，且 a ＋3＝0.解得 a ＝－3. 5． 如图，在一块长为 a ，宽为2 b 的长方形铁皮中，减掉两个以2 b 为直径的半圆，则剩下铁皮的面积为 (结果保留π)，所填多 项式的项分别为 ，次数是 .当 a ＝4， b ＝1时，剩下 铁皮的面积为 ．(π取3) 2 ab －π b2　 2 ab ，－π b2　 2　 5　 6． 若一个多项式的每一项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项 式，例如2 x3－3 x2 y ＋ y3是三次齐次多项式．若 xmy －2 x3 y2＋5 x2 yn ＋3 xy4＋ y5是齐次多项式，则(2 m －3 n )99的值为(　B　) A． 1 B． －1 C． 99 D． －99 B 7． 丘成桐祖居位于广东省梅州市蕉岭县文福镇白湖村东面的羊岃 村．明成化年间(1464－1487年)，八世祖惟述丘公开基建业，迄今500余 年，是国家AAA级旅游景区.2024年“清明”期间，小明和父母一起开车从 梅州五华出发到距家150千米的丘成桐祖居旅游．出发前，汽车油箱内还 有油20升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为10升(假设行驶过程中汽 车的耗油量是均匀的)． (1)该车平均每千米的耗油为 ⁠升，在保证油箱有油的情况下， 行驶路程 x 千米时，剩余油量为 ⁠升； (2)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车仪表盘油灯将自动报警， 中途至少要加 ⁠升油才能够在汽车仪表盘油灯不报警的情况下把 车开回家． 0.1　 (20－0.1 x )　 14　 课后作业 1． 在式子x2＋5，－1，x2－3x＋2，p，，x2＋中，多项式有 (　A　) A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 6个 A 2． 在式子a2＋2，，ab2，，－8x，0中，整式有(　C　) A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个 C 3． 多项式x2－2x－1的各项分别是(　D　) A． x2，2x，1 B． x2，－2x，1 C． －x2，2x，－1 D． x2，－2x，－1 D 4． 多项式2a2b－ab2－ab的项数及次数分别是(　A　) A． 3，3 B． 3，2 C． 2，3 D． 2，2 A 5． 下列关于多项式2a2b＋ab－1的说法中，错误的是(　A　) A． 次数是5 B． 一次项系数是0 C． 最高次项是2a2b D． 常数项是－1 A 6． 多项式－a3b－7ab－6ab4＋1的各项分别是 ⁠ ，该多项式是 次 项式，二次项是 ⁠，常数项 是 ⁠． －a3b，－7ab，－ 6ab4，1　 五　 四　 －7ab　 1　 7． 写出一个只含有字母x的二次三项式： ⁠ ⁠． x2＋2x＋1(答案不唯 一)　 8． 已知多项式－xym+1＋x3y－2x3＋(n＋1)x＋3是关于x，y的六次四 项式，求m－n的值． 解：由题意，得1＋m＋1＝6，n＋1＝0. 所以m＝4，n＝－1. 所以m－n＝4－(－1)＝5. 9． 方孔铜钱应天圆地方之说，天与圆象征着运动，地与方象征着静 止，两者的结合，则是阴阳平衡，动静互补．下图是一枚清代的“雍正通 宝”钱币，图形外面是一个半径为r的圆，里面是一个边长为a的正方形， 则这枚钱币的面积为 ⁠． πr2－a2　 10． 【北师七上P83习题T5】观察下图，回答下列问题： (1)标“？”的边的长度为 ⁠； (2)阴影部分的周长是 ⁠； (3)阴影部分的面积是 ⁠； (4)当x＝5. 5，y＝4时，阴影部分的周长是 ，面积是 ⁠． 0.5x　 4x＋6y　 3.5xy　 46　 77　 11． 已知关于x，y的多项式(m＋1)y3＋3nx2y－xy＋y不含三次项，求 2m＋3n的值． 解：由题意，得m＋1＝0，3n＝0. 所以m＝－1，n＝0. 所以2m＋3n＝2×(－1)＋3×0＝－2. $$