函数值域的常见求法 讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

求函数值域的常见方法总结 1. 观察法：适用于简单的函数，比如简单根式：中，所以值域为； 2. 配方法：适用于二次三项式或类似于二次三项式的函数： 例1.求函数的值域. 解： 所以值域为. 3. 图象（数形结合）法：适用于基本初等函数相关值域. 例2.的值域为 . 4. 换元法：通过换元将函数换为我们熟悉的函数再进行值域的求解. 例3.求函数的值域. 解：设，则 ∴值域为 5. 分离常数法：适用于齐次分式型尤其是型，先将常数分离出来，再根据函数的性质求值域或利用换元法等求出值域. 例4.（1）求函数的值域. 解： ∵ ∴ ∴值域为. 注：对于分式型，可将其分离常数化简得到： ； 再根据的范围求出的范围可确定值域. （2）求函数的值域. 解： 设 ∵；当且仅当即时等号成立. ∴，∴ 故的值域为. 7.其他还可以利用反解法，辨别式（△）法等方法进行函数值域的求解. 如例4（1）求函数的值域还可以反解表示为： 从而得到值域为. 【牛刀小试】 1.的值域为__________ 解：设则， ， 故函数的值域为. 故答案为： 2.已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 解：由知，当时，. ； ∵，当且仅当即时等号成立. ∴ 综上：的值域为，所以选. 3.．求函数的值域. 解：因为函数的对称轴为， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以， 所以函数的值域为. 4.函数的值域为_________. 解：设，则， 是一个开口向下，关于对称的二次函数. ∵，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值， 所以函数值域为. 故答案为： 【巩固练习】 1.求下列函数的值域： （1） （3） （4） 2.若函数的最大值为，最小值为，求实数的值。 学科网（北京）股份有限公司 $$求函数值域的常用方法： 1.观察法：适用于简单的函数. 2.配方法：适用于二次三项式或类似于二次三项式的函数： 求函数值域的常用方法： 3.图象（数形结合）法：适用于基本初等函数相关值域. 4.换元法：通过换元将函数换为我们熟悉的函数再进行值域的求解. 无论何时，换元后都要考虑新元素的取值范围. 求函数值域的常用方法： 求函数值域的常用方法： 无论何时，换元后都要考虑新元素的取值范围. 求函数值域的常用方法： 求函数值域的常用方法： 【牛刀小试】