3.3幂函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 一、实例探究 （1）如果张红以1元/㎏的价格购买了某种蔬菜㎏， 那么她需要支付元，这里是的函数； （2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积， 这里是的函数； （3）如果正方体的棱长为b，那么正方体的体积V=b3， 这里是的函数； 问题1：请看下面几个例子： （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数。 （5）如果小兰在t秒内骑车行进了1km，那么她骑车的平均速度v=，即这里是的函数。 问题1：请看下面几个例子： 一、实例探究 追问2：观察这五个函数的解析式，从解析式的结构特征看，它们有什么共同特征？ （1）解析式具有幂的形式； （2）幂的底数为自变量，指数是常数 y = xα 常数 自变量 （4） （5） （3） 追问1：若将这五个函数的自变量用来表示，函数值用来表示，则它们的函数关系式将分别是什么？ 1、幂函数的定义： 一般地，函数 叫做幂函数，其中是自变量，是常数。 二、幂函数的定义 注：（1）系数为1； （2）底数仅有自变量； （3）指数是常数. 追问3：你能根据幂函数的概念举出一些幂函数的例子吗？ 二、幂函数的定义 如： …… 幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也有各自的含义，这些会在后面学习 例1.已知函数 其中是幂函数的______________（给出序号） 三、幂函数定义的辨析 （1） （4） （6） 关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质. 四、幂函数的图象及性质探究 对于幂函数，我们只研究时的图象与性质 问题2：结合初中学习一次函数，二次函数及反比例函数的经验及前面学习的函数知识，思考研究一类函数的一般路径是什么？ 四、幂函数的图象及性质探究 定义域 值域 单调性 奇偶性 其他 背景 概念 描点 图象 性质 应用 问题3：关于这五个幂函数， 是我们熟悉的，在同一个坐标系中画出它们的图象并总结它们的性质. 四、幂函数的图象及性质探究 定义域：____________ 单调性：_________________ 值 域：____________ 奇偶性：________________ 值 域：_________________ 奇偶性：_________________ 单调性：_________________ 定义域：_________________ 四、幂函数的图象及性质探究 x -2 -1.5 -1 -0.5 0 x2 0.5 1 1.5 2 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 四、幂函数的图象及性质探究 单调性：____________________ 值 域：____________ 奇偶性：________________ 定义域：___________ 四、幂函数的图象及性质探究 问题4：如何画出，的图象？ 追问：观察这两个函数的解析式，说出他们的一些性质 的定义域为R,且为奇函数 y=的定义域为[ 0,+∞) x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x3 定义域：_____________ 值 域：_____________ 奇偶性： _____________ 单调性： _____________ 四、幂函数的图象及性质探究 -8 -3.375 -1 -0.125 0 0.125 1 3.375 8 x 0 0.25 0.5 1 2 3 4 5 6 x0.5 0 0.05 0.707 1 1.414 1.732 2 2.236 2.449 定义域：_____________ 值 域：_____________ 奇偶性： _____________ 单调性： _____________ 四、幂函数的图象及性质探究 定义域 值域 奇偶性 单调性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 R R R {x|x≠0} [ 0,+∞) R R {y|y≠0} [ 0,+∞) ［0,+∞) ［0，+∞)增 (－ ∞，0) 减 增 增 增 (0，+∞) 减 (－ ∞,0)减 R R 四、幂函数的图象及性质探究 问题5：观察这几个函数的图象结合函数解析式，将你发现的结论写在表内 （1）上述函数的图象都通过点（1,1）； （2）函数 =x , =3 =-1 是奇函数 ， 函数 y=2 是偶函数； （3）在区间（0，+∞）上， 函数 =x, =2, =3, =单调递增， 函 函数 =-1 单调递减； （4）在第一象限内，函数 =-1 的图象向上与 轴无 限接近，向右与 轴无线接近 问题6：观察函数的图象结合表格，有哪些共同性质呢？有哪些不同的性质？ 四、幂函数的图象及性质探究 例2.比较 的大小. 因为y=x0.3在 上单调递增，且 [ 0,+∞) 解： 五、例题分析 五、例题分析 例3：证明幂函数 (x)= 在 ［0,+∞) 上是增函数。 $$