专题1.7 特殊的平行四边形单元提升卷-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

第1章 特殊的平行四边形单元提升卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·四川泸州·期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．两组对角线分别相等，对角线互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可直接求解． 【详解】解：菱形的性质有：两组对边平行，两组对边相等，对角线互相垂直平分， 平行四边形的性质有：两组对边分别平行，两组对边相等，对角线互相平分， ∴菱形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相垂直， 故选：D． 2．（3分）（23-24九年级·河南焦作·期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：D． 3．（3分）（23-24九年级·重庆江津·期中）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，则重合部分的面积为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了勾股定理，根据题意得、结合得，得是解题关键． 【详解】解：由题意得： ∵， ∴ ∴ ∴ 设，则 则 解得： ∴的面积 故选：C 4．（3分）（23-24九年级·陕西渭南·期中）如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的四边都相等，可证得四边形是菱形，又由等边的顶点、分别在、上，且，可设，根据三角形的内角和定理得出方程，解此方程的解即可求出答案． 【详解】解：四边形的四边都相等， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形，， ，， ，， 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ， ， 解得：， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及平行线的性质等知识点．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 5．（3分）（23-24九年级·江西九江·期中）如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接相交于点E，根据四边形是矩形，可得点E是的中点，即可求出，再将代入即可求出b的值． 【详解】解：连接相交于点E，如下图所示，    ∵， ∴轴， ∵四边形是矩形，相交于点E， ∴，点E是的中点， ∴，即， ∵直线平分矩形的周长， ∴直线经过点， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数，求出点E的坐标是解题的关键． 6．（3分）（23-24九年级·河北保定·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，转动这个四边形，使它的形状改变．当时，如图1，测得．当时，如图2，此时（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，先根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质和勾股定理求出即可求解，掌握正方形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图1，    当时，， ∴四边形是正方形， 又∵， ∴， 如图2，与的交点为，    当时，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 7．（3分）（23-24九年级·河北廊坊·期中）如图，四边形是由四个边长为1的正六边形所围成，则四边形的面积是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角，菱形的性质与判定，勾股定理的应用，化为最简二次根式，先证明四边形是菱形，，如图，连接，过点作交于点，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，由正六边形的性质可得：， ， ∴四边形是菱形， 如图，连接，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 8．（3分）（23-24九年级·湖北孝感·期中）如图，是内部一点，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，若，，则四边形的面积为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是， 故选：D． 9．（3分）（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 10．（3分）（23-24·黑龙江大庆·三模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误；故选A． 【详解】过作，过作于，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，   ∴矩形是正方形，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴平分，故③正确；   ∴，故②错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故④错误． 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24九年级·江苏扬州·期中）如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足 时（填写一个条件），PQ⊥MN． 【答案】AB=CD 【分析】根三角形中位线的性质，菱形的性质即可解答； 【详解】解：∵P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点， ∴PN是△ACD的中位线，PN=CD， MQ是△BCD的中位线，MQ=CD， ∴MQ=PN=CD， 同理可得：NQ=PM=AB， 当AB=CD时，MQ=PN=NQ=PM，四边形MQNP是菱形， ∵菱形对角线垂直平分， ∴PQ⊥MN， 故答案为：AB=CD； 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题关键． 12．（3分）（23-24九年级·湖北恩施·期末）如图，点是矩形对角线上一点，过点做，分别交，于点，，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】18 【分析】本题考查了矩形的性质，过点作分别交、于点、，证明，从而，即，求出的值即可求出整个阴影部分的面积，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键． 【详解】解：过点作分别交、于点、，如图所示：    由矩形性质可知，，，， ，即， ，即， ，， ，即图中阴影面积为， 故答案为：18． 13．（3分）（23-24九年级·山东滨州·期末）以正方形的边为一边作等边，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】分类讨论；当点E在正方形内部，根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；当点E在正方形的外部时， 根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点E在正方形内部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当点E在正方形的外部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 14．（3分）（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，菱形的顶点A恰好是矩形对角线的交点，若菱形的周长为8，则矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定，菱形的性质，与性质，根据菱形的性质得出，进而利用矩形的性质得出，得出是等边三角形，利用矩形的面积解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中， ， 矩形的面积， 故答案为：． 15．（3分）（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且轴，将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质以及图形的平移，过点A作，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求得和的长度，可得平移的距离，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴当点与点重合时，点A向左移动个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16．（3分）（23-24九年级·江苏·期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB． 【答案】60或300 【分析】当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数． 【详解】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC＝GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM＝BH＝AD＝AG， ∴GM垂直平分AD， ∴GD＝GA＝DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG＝60°， ∴旋转角θ＝60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG＝60°， ∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°． 故答案为60或300 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24九年级·浙江·专题练习）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，． (1)请分别写出点A，点B的坐标； (2)求出该菱形的周长． 【答案】(1)， (2)20 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理， （1）首先根据菱形的性质得到，，，然后根据对称的性质求解即可； （2）首先求出，，然后利用勾股定理求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，，， ∴点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称， ∵点C、点D的坐标分别是，， ∴点，点； （2）∵点C、点D的坐标分别是，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长． 18．（6分）（23-24九年级·广东潮州·期末）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明你的理由； (2)求证：． 【答案】(1)矩形，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定； （1）先证明四边形为平行四边形，再由由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【详解】（1）解：四边形是矩形，证明如下： ∵， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）证明：四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 19．（8分）（23-24九年级·湖北荆州·期中）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． (1)根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作图见解答过程； （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 【详解】（1）四边形为所求作的菱形． （2），， ， 在中，． 即． 四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 20．（8分）（23-24九年级·广东广州·期中）如图，线段，射线，P为射线上一点，以为边作正方形，且C、D与点B在两侧，已知平分，在线段取一点E，使，直线与线段相交于点F（点F与点A、B不重合）． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键． （1）利用正方形的性质得到，，又由已知，即可证明； （2）如图，设与相交于点M，证明，由，，得到，即可证明结论； （3）过点C作于点N，则．证明四边形是矩形，则，证明，则，，又由得到，利用等量代换得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：四边形为正方形， 平分，，， ， 又∵， ； （2）．理由如下：如图，设与相交于点M， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）过点C作于点N，则． ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ，， ， ， 即的周长为． 21．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． (2)在图②中，在边上找一点，在边上找一点，连接，，使四边形为矩形． (3)在图③中，在四边形的边上找一点，连接，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用网格特征连接并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形； （2）取格点，连接交于点，取格点，连接交于点，连接，，即可作四边形为矩形； （3）取格点，连接与交于点，连接并延长交于点即可． 【详解】（1）解：如图①中，平行四边形即为所求； 理由：， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图②中，矩形即为所求； 理由：如图， ， ∵，，， ， ∴，， ， 即， 同理可得， ， 是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （3）解：如图③中，，点即为所求． 理由：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 平分， ． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．（8分）（23-24九年级·广西桂林·期中）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，，点P从点A出发沿以每秒的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿方向以每秒的速度向点A运动，设运动的时间为t秒，当点P运动到点B时，点Q停止运动．过点Q作于点H． (1)填空： ， ， （用含有t的式子表示）； (2)是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值，请说明理由； (3)若在某一时刻t，平面内存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，求出t的值． 【答案】(1)30，t ， (2)存在，时，四边形是菱形 (3)t的值为3或 【分析】（1）证明是等边三角形，推出，可得结论； （2）存在，当时，四边形是菱形，构建方程求解即可； （3）分两种情形，当时，当时，存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，分别构建方程求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：30，t ，； （2）存在某一时刻t，使四边形为菱形 由题意得：，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ， ， 时，四边形是菱形； （3）当时，存在一点P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形， 此时四边形是矩形， 所以， ， ； 当时，存在一点P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形， 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的t的值为3或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 23．（8分）（23-24九年级·天津滨海新·期中）已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点． (1)如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ； (2)连接，过点E作，交于点F． ①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形； ②如图③，在①的条件下，连接，求的值． 【答案】(1)6 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． （1）过点E作于M，利用角平分线的性质定理解决问题即可． （2）①连接，证明，，可得结论；②证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图①中，过点E作于M，于N． 四边形是正方形， ∴， ，， ∴， ∴点E到的距离为6， 故答案为：6． （2）①证明：如图②中，连接． 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形． ②解：如图③中， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，由勾股定理有， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 特殊的平行四边形单元提升卷 【北师大版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·四川泸州·期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．两组对角线分别相等，对角线互相垂直 D．对角线互相垂直 2．（3分）（23-24九年级·河南焦作·期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 3．（3分）（23-24九年级·重庆江津·期中）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，则重合部分的面积为（   ） A．6 B．8 C． D． 4．（3分）（23-24九年级·陕西渭南·期中）如图，四边形是菱形，等边的顶点分别在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（23-24九年级·江西九江·期中）如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 6．（3分）（23-24九年级·河北保定·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，转动这个四边形，使它的形状改变．当时，如图1，测得．当时，如图2，此时（    ）    A． B． C． D． 7．（3分）（23-24九年级·河北廊坊·期中）如图，四边形是由四个边长为1的正六边形所围成，则四边形的面积是（    ） A． B．1 C． D．2 8．（3分）（23-24九年级·湖北孝感·期中）如图，是内部一点，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，若，，则四边形的面积为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 9．（3分）（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 10．（3分）（23-24·黑龙江大庆·三模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24九年级·江苏扬州·期中）如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足 时（填写一个条件），PQ⊥MN． 12．（3分）（23-24九年级·湖北恩施·期末）如图，点是矩形对角线上一点，过点做，分别交，于点，，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ．    13．（3分）（23-24九年级·山东滨州·期末）以正方形的边为一边作等边，则的度数是 ． 14．（3分）（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，菱形的顶点A恰好是矩形对角线的交点，若菱形的周长为8，则矩形的面积是 ． 15．（3分）（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且轴，将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为 ． 16．（3分）（23-24九年级·江苏·期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24九年级·浙江·专题练习）如图，四边形是菱形，点C，点D的坐标分别是，． (1)请分别写出点A，点B的坐标； (2)求出该菱形的周长． 18．（6分）（23-24九年级·广东潮州·期末）如图，菱形对角线交于点O，，与交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明你的理由； (2)求证：． 19．（8分）（23-24九年级·湖北荆州·期中）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． (1)根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 20．（8分）（23-24九年级·广东广州·期中）如图，线段，射线，P为射线上一点，以为边作正方形，且C、D与点B在两侧，已知平分，在线段取一点E，使，直线与线段相交于点F（点F与点A、B不重合）． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)求的周长． 21．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． (2)在图②中，在边上找一点，在边上找一点，连接，，使四边形为矩形． (3)在图③中，在四边形的边上找一点，连接，使． 22．（8分）（23-24九年级·广西桂林·期中）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，，点P从点A出发沿以每秒的速度向点B运动，同时点Q从点C出发沿方向以每秒的速度向点A运动，设运动的时间为t秒，当点P运动到点B时，点Q停止运动．过点Q作于点H． (1)填空： ， ， （用含有t的式子表示）； (2)是否存在某一时刻t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值，请说明理由； (3)若在某一时刻t，平面内存在一点G，使P、Q、G、H四点构成的四边形是矩形，求出t的值． 23．（8分）（23-24九年级·天津滨海新·期中）已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点． (1)如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ； (2)连接，过点E作，交于点F． ①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形； ②如图③，在①的条件下，连接，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$