专题2.4 圆的方程（6类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.4 圆的方程 【考点1：圆的标准方程与一般方程】 1 【考点2：二元二次方程表示圆的条件】 3 【考点3：点与圆的位置关系】 4 【考点4：关于点、直线对称的圆的方程】 5 【考点5：与圆有关的轨迹问题】 6 【考点6：与圆有关的最值问题】 7 【考点1：圆的标准方程与一般方程】 【知识点：圆的标准方程和一般方程】 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 1．（2024高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 6．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 ． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 8．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 【考点2：二元二次方程表示圆的条件】 【知识点：二元二次方程表示圆的条件】 1．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 5．（2024高二下·全国·课前预习）对方程的讨论 ①时表示圆． ②时表示点 . ③时，不表示任何图形． 【考点3：点与圆的位置关系】 【知识点：点与圆的位置关系】 ①点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 3．（24-25高三上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 . 5．（2024高二·全国·课堂例题）点与圆的位置关系如何？ 【考点4：关于点、直线对称的圆的方程】 【知识点：关于点、直线对称的圆的方程】 ①圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． ②圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 1．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·安徽·期末）若圆关于直线对称，则 ． 5．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 6．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 7．（2024·天津·二模）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ． 8．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【考点5：与圆有关的轨迹问题】 【知识点：求与圆有关的轨迹问题的四种方法】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东临沂·期中）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．9 4．（多选）（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于原点对称 C．点在内 D．所围成的图形的面积为 5．（24-25高二上·全国·课后作业）平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ． 【考点6：与圆有关的最值问题】 【知识点：与圆有关最值问题的求解策略】 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下： 常见类型 解题思路 μ＝型 转化为动直线斜率的最值问题 t＝ax＋by型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 1．（2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 5．（24-25高二上·全国·课后作业）如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ． 6．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 圆的方程 【考点1：圆的标准方程与一般方程】 1 【考点2：二元二次方程表示圆的条件】 5 【考点3：点与圆的位置关系】 7 【考点4：关于点、直线对称的圆的方程】 9 【考点5：与圆有关的轨迹问题】 12 【考点6：与圆有关的最值问题】 16 【考点1：圆的标准方程与一般方程】 【知识点：圆的标准方程和一般方程】 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 1．（2024高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出给定圆的圆心坐标，再验证即可得解. 【详解】圆的圆心为， 不满足方程，，，ABC不是； 满足，D是. 故选：D 2．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式及圆心与直径的位置关系即可求解. 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 3．（24-25高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 5．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得圆的标准方程，进而可得一般方程，进而可得，即可得结果. 【详解】因为圆心为，半径为1的圆的方程为，即， 结合题意可得，所以. 故答案为：2. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 【答案】（或） 【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解； 解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解. 【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中. 由题意得解得满足， 所以外接圆的方程为. 解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆. 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 故答案为：（或） 8．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可求解.（2）根据圆的面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过三点， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. （2）由（1）可得，圆的方程为.即. 因此圆的半径为5.因此圆的面积为. 【考点2：二元二次方程表示圆的条件】 【知识点：二元二次方程表示圆的条件】 1．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C. 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 4．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 5．（2024高二下·全国·课前预习）对方程的讨论 ①时表示圆． ②时表示点 . ③时，不表示任何图形． 【答案】 【考点3：点与圆的位置关系】 【知识点：点与圆的位置关系】 ①点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，代入原点求出距离和半径对比可判断. 【详解】由圆的标准方程，知圆心为， 则原点与圆心的距离为，因为， 所以，即原点在圆外. 故选：B. 3．（24-25高三上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解. 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 . 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标，则，从而可得答案. 【详解】由题可知的圆心坐标为， 因为点在圆上， 所以圆的半径. 故答案为： 5．（2024高二·全国·课堂例题）点与圆的位置关系如何？ 【答案】答案见解析 【分析】将点的坐标代入圆的方程的左端与半径的平方比较大小即可. 【详解】圆心为． 因为，所以点在圆上； 因为，所以点在圆外； 因为，所以点在圆内． 【考点4：关于点、直线对称的圆的方程】 【知识点：关于点、直线对称的圆的方程】 ①圆关于点对称 (1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． ②圆关于直线对称 (1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 1．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 2．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可． 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 3．（2024高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 4．（23-24高三上·安徽·期末）若圆关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上， 则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意. 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 所以曲线表示的是以为圆心的圆， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，即 所以 （当且仅当时，等号成立） 故答案为：4 6．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围． 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 7．（2024·天津·二模）已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用圆的性质，两直线位置关系计算即可. 【详解】由题意可知，即圆心， 又直线垂直平分弦，所以过圆心， 所以. 故答案为：2 8．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 【考点5：与圆有关的轨迹问题】 【知识点：求与圆有关的轨迹问题的四种方法】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解. 【详解】设，由题意知，， 因为是以为底边的等腰三角形，于是有， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点，，构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点， 所以点的轨迹方程为（去掉，两点）， 故选：C. 3．（23-24高二上·山东临沂·期中）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据轨迹方程的求法求出圆的方程，确定圆心坐标，进而可得，再利用基本不等式求解. 【详解】设， 因为，所以， 整理得：，表示以为圆心的圆， 又因为点P的轨迹关于直线对称， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值是3， 故选:C. 4．（多选）（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于原点对称 C．点在内 D．所围成的图形的面积为 【答案】ABD 【分析】利用直接法可得求得轨迹方程，进而判断各选项. 【详解】设线段的中点为，则由题意可得，， 所以，即， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆， 选项A：易知直线过圆心，故A正确； 选项B：显然关于原点对称，故B正确； 选项C：因为，所以点在上，故C错误； 选项D：易知所围成的图形的面积为，故D正确； 故选：ABD. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理得出，设，由向量垂直列出等式即可得出方程，再根据M在圆O的内部，联立两圆方程即可求得范围 【详解】连接，设点， ∵M是弦的中点，∴， 又∵，， ∴，即， 联立，解得或， 又∵M在圆O的内部， ∴点M的轨迹方程是， 故答案为：． 【考点6：与圆有关的最值问题】 【知识点：与圆有关最值问题的求解策略】 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下： 常见类型 解题思路 μ＝型 转化为动直线斜率的最值问题 t＝ax＋by型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解 m＝(x－a)2＋(y－b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题 1．（2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可. 【详解】由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C 2．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，利用圆上的点到圆外一点距离最值的特征即可求解. 【详解】点，，，设， 则， 因为点P在圆上运动， 所以表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最小值为， 即的最小值为. 故选：D﹒ 4．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，作出复数对应的点的轨迹，理解所求即轨迹上的点到点的距离，结合图形易求距离的最大、最小值,即得范围. 【详解】    由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上， 而可理解为圆上的点到点的距离， 作直线,交圆于点,如图所示. 显然,当点与点重合时，, 当点与点重合时，. 即的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ． 【答案】 / / 【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可. 【详解】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方． 因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为， 则的最大值是． 令，则是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值， 此时，圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为． 故答案为：；. 6．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，设线段MN的中点为，求出，知道的轨迹.求圆上的点到直线的最短距离，再结合图形可解. 【详解】设线段MN的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线MN的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为. 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$