24.1.3 弧、弦、圆心角 课件- 2024-2025学年人教版九年级数学上册

24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角 第二十四章 圆 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 学习目标 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 问题探究 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性 · 问题探究 （1）顶点都在圆心； A B O C D E 在⊙O中，观察∠AOB ，∠BOC,∠COD, ∠DOE,∠AOE有什么共同特点？ 共同点： （2）角的两边都与圆相交. 问题探究 1.圆心角： 3.圆心角∠AOB 所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 2.圆心角∠AOB 所对的弧为AB. ⌒ 归纳总结 顶点在圆心，两边与圆相交的角,叫圆心角. 弦 A B O 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 圆内角 圆外角 圆周角（后面会学到） 圆心角 判一判 ① ② ③ ④ O O O O 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ C · O A B D 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD 那么， AB=CD， . 问题探究 在同圆中探究 O A B 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ O ′ C D 在等圆中探究 · · 如果∠AOB=∠COD，那么， ，AB=CD. 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 问题探究 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． 在⊙O中，∵∠AOB=∠COD ∴ AB=CD，AB=CD ⌒ ⌒ A B O D C 圆心角、弧、弦之间的关系定理： 归纳总结 如图所示，几何语言表示为： 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. 想一想 在⊙O中，如果弦AB=CD，那么，AB=CD，圆心角∠AOB= ∠COD还成立吗？由此，你发现了什么？ ⌒ ⌒ C · O A B D 在⊙O中，如果AB=CD ，那么， ∠AOB= ∠COD ， . 问题探究 在同圆中探究 由圆的旋转不变性，我们发现： 在等圆中探究 如果AB=CD，那么，∠AOB=∠COD ， . 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 问题探究 如图，在等圆中，如果AB＝CD，那么∠AOB＝∠CO ′ D，AB＝CD还成立吗？由此，你发现了什么？ ⌒ ⌒ O A B O ′ C D 推论1：在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧相等，所对的圆心角也相等． 圆心角、弧、弦之间的关系定理的推论： 归纳总结 推论2：在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦相等，所对的圆心角也相等． 关系结构图 知一得二 注意：必须是在同圆或等圆的前提下.此关系才成立. × × √ 1.等弦所对的弧相等. （ ） 2.等弧所对的弦相等. （ ） 3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ） 抢答题 4.直径是圆中最长的弦. ( ） √ 5.直径是弦，弦是直径. ( ） × 6.半圆是弧，弧是半圆. ( ） × 解： · A O B C D E 典例精析 例1 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE, ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． ⌒ ⌒ ⌒ 例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键. A B C O 解： 典例精析 · C A B D E F O 填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_________，__________． （2）如果 ，那么________，__________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_______，_________． AB=CD ( ( 练一练 AB=CD ( ( ∠AOB=∠COD AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD ( ( （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ D 60 ° 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ） ⌒ ⌒ A A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD ⌒ ⌒ C. AB<CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 当堂练习 1．如果两个圆心角相等，那么 （ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　. 4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， 求证:AD＝BC. AB＝CD. ⌒ ⌒ 当堂练习 O A B C D 5.如图，已知AB、DE为⊙O的两条直径，点C是⊙O的一点，且 求证:BE＝CE. AD＝CE. ⌒ ⌒ A B E C D 当堂练习 6.如图，以▱ABCD的顶点为A圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E、F，延长BA交⊙A于点G， 求证： GE＝EF. ⌒ ⌒ B A F E C D G 当堂练习 7.如图，已知AB是⊙O的直径,∠COD=600， (1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由. （2）求证：OC∥BD. AC＝CD. ⌒ ⌒ A B C D 当堂练习 圆心角 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 课堂小结 课后反思 在教学过程中，对学生动手、探究、解答、作业等进行及时评价，尽量多鼓励，肯定学生的成绩，对学生加强学习方法的辅导。课堂通过学生的表情、动作、眼神、等反馈进行调控，使学生在教师的指导下，通过动手操作、观察、讨论思考、探究等，掌握本节课的内容。在教学过程中，采用情境问题探究反思提高的教学模式，使学生能够主动参与教学过程，自主获取知识，重要的是学会获取知识的方法。通过学生之间，师生之间的合作、交流与评价，努力构造民主平等的师生关系，真正体现教师主导，学生主体地位，让学生通过实验、思考、探究、在实践的基础上自己的出结论，让学生自己去体验成功的快乐。 Lavf58.12.100 Lavf58.12.100 $$