专题3.11 圆锥曲线的方程全章十四大压轴题型归纳（拔尖篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.11 圆锥曲线的方程全章十四大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 椭圆中的焦点三角形问题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 3．（23-24高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知是椭圆的两个焦点．    (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长． 题型2 椭圆中的最值问题 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 2．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二·全国·课后作业）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值； （2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值． 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（    ） A．24 B．12 C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    4．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 题型4 双曲线中的最值问题 1．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 题型5 与抛物线有关的最值问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 2．（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 4．（23-24高二·全国·课后作业）设点P是抛物线上的一个动点. (1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值. 题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为． (1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长； (2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程． 4．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值． 题型7 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 3．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 题型8 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．（23-24高二下·山西·期中）已知双曲线（，）的渐近线方程为，则直线交抛物线所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线与抛物线恒有两个交点A、B． (1)求p的取值范围； (2)当时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段的长度． 题型9 圆锥曲线中的面积问题 1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知是左、右焦点分别为的椭圆上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，是坐标原点，过作的平行线交直线于点，则四边形的面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆和圆经过的右焦点，点为的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 4．（2024·河北保定·三模）已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)若，记，的面积分别为，，求的取值范围. 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）已知双曲线的离心率为，过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（    ） A． B．，， C． D． 3．（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是椭圆上的一点，当时，的面积为. (1)求椭圆E的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值. 4．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 题型11 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点. (1)求的方程； (2)设点，直线与分别交于点，判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 2．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点． (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值． 3．（23-24高二下·北京东城·期末）已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 4．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 题型12 圆锥曲线中的定直线问题 1．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 2．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 3．（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上． 题型13 圆锥曲线中的向量问题 1．（2024·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（2024·湖北黄石·三模）已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值. 4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 题型14 圆锥曲线中的存在性问题 1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆经过点，且离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设是直线上任意一点，是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点）．记直线，，的斜率依次为，，，问是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 2．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知双曲线过点，离心率为，斜率为k的直线l交双曲线C于A，B两点，且直线的斜率之和为0． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 3．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． (1)当时，求双曲线E的左焦点到直线l的距离； (2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.11 圆锥曲线的方程全章十四大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 椭圆中的焦点三角形问题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【解题思路】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【解答过程】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【解题思路】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【解答过程】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C. 3．（23-24高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 【解题思路】（1）根据焦距求出，再根据在椭圆上，求出，可得，由，求出，得到椭圆的标准方程； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【解答过程】（1）由是椭圆的焦点， 且，则， 因为点在椭圆上，所以 则 由，则由， 所以椭圆的标准方程： （2）因为在椭圆上，所以, 又,, 所以, 所以, 所以. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知是椭圆的两个焦点．    (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长． 【解题思路】 （1）根据椭圆的标准方程计算即可； （2）由椭圆的定义计算即可. 【解答过程】（1）设焦距为，由得， 所以椭圆的焦点坐标为． （2）设椭圆长轴长，则易得， 又的周长为, 由椭圆的定义可知，故. 题型2 椭圆中的最值问题 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【解题思路】由标准方程求得，设并利用两点间距离公式可得，结合二次函数性质可求得其最大值为9. 【解答过程】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B. 2．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【解答过程】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二·全国·课后作业）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值； （2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）利用椭圆定义和基本不等式求的最值；（2）求的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求的最值，显然当，，三点共线时取得最值． 【解答过程】（1）∵，，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为100． （2）设为椭圆的右焦点，可化为， 由已知，得，∴， ∴． ①当时，有，等号成立时，最大，此时点是射线与椭圆的交点，的最大值是． ②当时，有，等号成立时，最小，此时点是射线与椭圆的交点，的最小值是． 综上，可知的最大值为，最小值为． 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，，    则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； （2），，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【解题思路】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【解答过程】由题意知，， 所以 ， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（    ） A．24 B．12 C． D． 【解题思路】根据切线长定理以及双曲线的定义可判断轴，进而根据锐角三角函数以及诱导公式可得的长度，即可求解面积. 【解答过程】由双曲线的，，， 设圆与三角形三边相切于点, 则， 又， 所以， 因此轴，因此,， , 所以 , 因此,故三角形的面积为． 故选：C. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    【解题思路】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积. 【解答过程】如图，    由可得，， ， ， ， 过点作边上的高，则， ， 所以的面积为. 4．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【解题思路】（1）根据双曲线的定义求解； （2）由双曲线的定义和余弦定理得得解. 【解答过程】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 题型4 双曲线中的最值问题 1．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【解答过程】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【解答过程】 双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D.    3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 【解题思路】 先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义即可求的最大值. 【解答过程】 ， ，，则， 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为， 所以，， 则 ， 即的最大值为．    4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 【解题思路】（1）根据题意，由化简求解； （2）过点作垂直于直线 ，垂足为，设，得到，然后由求解. 【解答过程】（1）解：由题意得：， 化简得：. （2）如图所示： 过点作垂直于直线 ，垂足为， 设，则，即， 所以， 显然，当三点共线时，取得最小值， 为. 题型5 与抛物线有关的最值问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【解题思路】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可. 【解答过程】如图，抛物线上点到圆心的距离为，    因此，当最小时，最小， 而， 当时，，因此的最小值是． 故选：A. 2．（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【解题思路】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，可得，从而转化为求的值，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【解答过程】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D. 3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知是抛物线上一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值. 【解题思路】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出的函数，进而利用二次函数求解最小值； （2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值 【解答过程】（1）设点， 所以当时，，所以. （2）点到直线的距离， 当时，，此时点的坐标为. 4．（23-24高二·全国·课后作业）设点P是抛物线上的一个动点. (1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值. 【解题思路】 （1）利用抛物线的定义，转化点到准线的距离为到焦点的距离，再利用数形结合，即可求解；（2）利用抛物线的定义，转化点到焦点的距离为到准线的距离，再利用数形结合，即可求解； 【解答过程】（1） 如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离. 于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小. 显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.    （2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点， 　   此时，，那么,即最小值为4. 题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【解答过程】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 2．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程. 【解答过程】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则， 又，两式相减得， 整理得， 所以以点为中点的弦所在的直线方程为， 即. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为． (1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长； (2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程． 【解题思路】（1）解法一：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；解法二：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，再由弦长公式直接计算； （2）将点代入椭圆方程，即可判断点与椭圆的位置关系，设以为中点椭圆的弦与椭圆交于，利用点差法求出中点弦的斜率，从而求出中点弦方程. 【解答过程】（1）解法一：因为椭圆，即，则， 所以椭圆的右焦点为， 则过点且斜率为1的直线方程为， 由，消去整理得，显然，设直线与椭圆交于，， ∴，， 所以． 解法二：椭圆，即，则， 所以椭圆的右焦点为， 则过点且斜率为1的直线方程为，即， 由，其中 ， 所以． （2）∵，∴点在椭圆内部． 设以为中点的弦与椭圆交于， ∵为中点，∴， 把分别代入椭圆， 得，∴， ∴，∴， ∴以为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 ，整理得． 4．（23-24高二下·北京·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆的方程； (2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值． 【解题思路】（1）直接由题意建立关于的方程组求出即可得解. （2）当直线l的斜率不存在时易得；当直线l的斜率存在时设其方程为，由直线l与圆相切得参数k与m的关系式，由直线与椭圆相交联立方程得韦达定理，再根据弦长公式结合基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，， 所求椭圆方程为. （2）①当直线l的斜率不存在时，，将其代入得， 故可得；    ②当直线l的斜率存在时，设，，， 由与圆相切，所以圆心到的距离， 所以， 由得， 所以 ， 设，则， ， 当时， 当时， ， 当且仅当即时等号成立，所以， 又因为，所以. 题型7 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【解答过程】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D. 2．（24-25高三上·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【解题思路】首先由双曲线方程求出点的坐标，并设出过点的直线方程，然后借助直线与双曲线联立，得到和与积的关系，再由，得到的等量关系，从而解出的值，最后根据弦长公式求出得长. 【解答过程】 由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为， 联立可得. 设，则.① 由，则，又所以.② 由①②可得，所以， 解得或（舍），， 所以. 故选：D. 3．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【解题思路】（1）设，结合中点弦的“点差法”，即可求解； （2）由（1）知，直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式. 【解答过程】（1）设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【解题思路】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【解答过程】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    不妨设， 所以． 题型8 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．（23-24高二下·山西·期中）已知双曲线（，）的渐近线方程为，则直线交抛物线所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】由双曲线的渐近线方程得出，进而得出直线方程，再联立直线与抛物线方程，结合弦长公式及韦达定理求解即可． 【解答过程】因为双曲线（，）的渐近线方程为， 所以， 所以，代入抛物线得，， 设直线与抛物线的交点为，则， 所以， 故选：D． 2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【解答过程】    如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得， ， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：，解得， 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得： ，设交点， 则， 而， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 故选：D. 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【解题思路】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【解答过程】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线与抛物线恒有两个交点A、B． (1)求p的取值范围； (2)当时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段的长度． 【解题思路】（1）法一：直线过定点在抛物线内；法二：结合判别式恒成立求解； （2）联立，应用焦点弦公式即可求解. 【解答过程】（1）（法一）由题：，知恒过顶点， 又与抛物线恒有两个交点，将定点代入抛物线方程， 故，解得，即的取值范围为； （法二）将直线与抛物线方程联立， 得，得， 又因为直线与抛物线恒有两个交点， 所以其判别式对恒成立， 故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为． （2）由题，当 时，：，即， 令得， 由过焦点得；，所以抛物线：． 将直线与抛物线方程联立，并令，，得 ， 由韦达定理得，又因经过抛物线焦点， 故． 题型9 圆锥曲线中的面积问题 1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 【解题思路】由已知可得四边形为矩形，从而可得，，由双曲线的性质可求得，从而可得，利用勾股定理及双曲线的定义可求得，由三角形面积公式即可得解． 【解答过程】直线与双曲线交于，两点，若， 则四边形为矩形，所以，，    由双曲线可得，，则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以． 故选：C． 2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知是左、右焦点分别为的椭圆上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，是坐标原点，过作的平行线交直线于点，则四边形的面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】作出图形，由几何关系易判断，求出，进而得解. 【解答过程】 如图，因为为线段的中点，为中点，所以为中位线， ，又因为， 所以四边形为平行四边形，， 由几何关系易得，设， 则， 又，当且仅当时，， 所以. 故选：D. 3．（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆和圆经过的右焦点，点为的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于，两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围． 【解题思路】（1）由题意，利用点到直线的距离公式及之间的关系求出的值，进而可得椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可. 【解答过程】（1）设椭圆焦距为， 由题意可得，有①， 又因为直线方程为， 所以②， 联立①②解得：，， 故椭圆方程为. （2）①当斜率不存在时，易知； ②当斜率存在时，设， ，， 由，得， 显然， 所以， 因为， ， 所以， 因为， 又， 设，则， 解得且， 所以， 综上可得的取值范围为． 4．（2024·河北保定·三模）已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)若，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，结合，得到，即可求解； （3）令，由（2）得到直线的方程为，求得的坐标，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【解答过程】（1）解：由抛物线上一点到坐标原点的距离为， 可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）解：由题意，设直线的方程为，且，. 联立方程组，消去整理得， 则，所以，， 因为，，所以，所以， 又因为，所以，则， 因为，所以，则. （3）解：根据抛物线对称性，不妨令， 由（2）中，，得直线的方程为， 令，得，同理可得， 则，， 且，， 故 ， 令，则， 显然在上恒成立，所以在上单调递增， 由，，可得的取值范围为. 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】依据题意列出斜率，结合基本不等式求解最值即可. 【解答过程】设，不妨设点是椭圆长轴的左端点， 则.因为椭圆的离心率， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确. 故选：A. 2．（2024·江西南昌·模拟预测）已知双曲线的离心率为，过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（    ） A． B．，， C． D． 【解题思路】利用双曲线的离心率求出，得到双曲线方程，设出直线方程，设出坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解的范围即可． 【解答过程】解：由题意双曲线的离心率为， 得，解得， 双曲线， 设直线，与双曲线联立得：， 设点，，，， 则， ， 又因为为钝角，则，所以， 即得出，即， 所以直线的斜率， 又且三点不可能共线，则必有， 即直线斜率的取值范围是， 故选：A． 3．（23-24高二上·浙江·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是椭圆上的一点，当时，的面积为. (1)求椭圆E的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值. 【解题思路】（1）由焦点坐标得，在焦点三角形中由面积得，由余弦定理得的关系，由此得的值，进而得椭圆方程； （2）由直线与椭圆相交，联立方程，由韦达定理得中点的坐标，再由弦长公式得弦长，再求的最值. 【解答过程】（1）依题意，. 当时，的面积为， 则， 得 由余弦定理得， 即，，，， 故椭圆E的方程为. （2）由题意知直线的斜率不为0，设其方程为， 设点，， 联立方程可得， 得到， 又，， 由，则直线的斜率为， 则， 则. 令，，上式， 当且仅当，即时，取得最小值. 4．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意结合抛物线的定义分析可得，进而可得； （2）设直线的方程为，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理整理得，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】（1）抛物线的准线方程为， 设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 由题意可知，的斜率存在且均不为0， 设直线的方程为， 将其代入，得，则有． 同理可得：设直线的方程为，则． 所以， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又易知， 所以的取值范围为． 题型11 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点. (1)求的方程； (2)设点，直线与分别交于点，判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【解题思路】（1）由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，表示出直线的方程，将直线方程代入椭圆方程化简整理，利用根与系数的关系，表示出点的坐标，即可求出直线的方程，从而可求出所过的定点. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以， 所以椭圆方程为； （2）设， 因为，所以直线为，即， 代入椭圆方程得， 化简整理得， 设，则， 所以，则， 所以，同理可得， 所以 ， 所以直线的方程为 ， ， ， 所以， 所以直线恒过定点. 2．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点． (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值． 【解题思路】（1）由实轴长为6，得，由离心率为，得，再由得，即可得到双曲线C的方程； （2）设，，直线，直线与双曲线联立方程得，根据韦达定理得，，根据斜率公式得，最后代入化简计算即可得证. 【解答过程】（1）因为双曲线的实轴长为6，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，解得， 由，得，则C的方程为． （2）    设，，因为直线过定点，显然直线l不垂直于轴，则设直线， 联立方程组，消去x得， 由，得， 则，， 因为A为双曲线C的左顶点，所以， 直线AE的斜率，直线AF的斜率， 所以 ， 即直线AE与AF的斜率之积为定值． 3．（23-24高二下·北京东城·期末）已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【解题思路】（1）根据给定条件，求出即可得的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由直线求出的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得. 【解答过程】（1）由椭圆过点，得， 由，得椭圆半焦距，则长半轴长， 所以的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，， 由消去x得，显然， ，直线的方程为， 令，得点的纵坐标，同理点的纵坐标， 因此 为定值， 所以为定值. 4．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 【解题思路】（1）由抛物线得定义求解抛物线的方程即可. （2）（ⅰ）利用韦达定理求解出， （ⅱ）通过韦达定理将直线化简成，求出直线过定点. 【解答过程】（1）由焦半径公式知：，， 的方程为：. （2）由（1）知：， 可设直线方程为：，设 则 直线方程为： 联立 ，将代入得， ，同理： （ⅰ）， （ⅱ）直线的方程为： 由得：即， ， 直线的方程为：， 直线恒过定点. 题型12 圆锥曲线中的定直线问题 1．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【解题思路】（1）根据给定条件，求出即可得解. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，再求出直线与直线的交点横坐标，并结合韦达定理计算即得. 【解答过程】（1）依题意，，半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 2．（23-24高二下·山西运城·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【解题思路】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【解答过程】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 3．（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 【解题思路】（1）由抛物线的对称性知，由四边形的面积求出，又的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式求出，即可得解； （2）设直线的方程为 ，则直线的方程为 ，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，联立解得，即可得证. 【解答过程】（1）当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于， 直线的方程为，由抛物线的对称性知， 所以，得． 联立方程组，消去得． 设两点的横坐标分别为，则，． 又，所以，所以的方程为． （2）由（1）知，依题意，可设直线的方程为 ， 则直线的方程为 ． 联立方程组消去得，显然， 设，则 ． 设，同理可得， 所以，同理可得． 直线的方程为， 即． 同理，直线的方程为 ． 两直线方程联立得，解得， 即直线与的交点在定直线上． 4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上． 【解题思路】（1）根据给定条件，求出，进而求出椭圆的方程，再设出切线方程，并与椭圆方程联立，由求出切线方程即可得解. （2）设直线：，，联立直线与的方程，求出的中点纵坐标，结合韦达定理计算推理即得. 【解答过程】（1）依题意，点，，解得，椭圆：， 显然过点的椭圆的切线斜率存在，设其方程为， 由消去并整理得， ， 整理得，解得，切线方程为，由，得， 所以点的坐标是. （2）设直线的方程为，，线段的中点， 由消去得， 则，，， 直线的方程为，则点， 于是， ， ，因此点在直线上， 所以线段的中点在定直线上. 题型13 圆锥曲线中的向量问题 1．（2024·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【解题思路】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得. 【解答过程】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D. 2．（2024·湖北黄石·三模）已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【解题思路】先证明线是双曲线的切线，线段的中点为，再根据，结合双曲线的性质即可得解. 【解答过程】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 联立，消得， 因为， 且， 所以直线是双曲线的切线，切点为， 双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，故， 则 （当且仅当时取等号） ， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值. 【解题思路】（1）设，用坐标表示出已知关系化简即得； （2）设，直线方程为代入椭圆方程后应用韦达定理得，再由向量运算的坐标表示得出的关系，结合越来可求得值． 【解答过程】（1）设，由题意得， 化简得:. （2）设：， 与联立得，，因为，则定点在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点， 所以 因为，所以，即， 所以③， 由①③得， 将④⑤代入②，得， 化简得，，解得. 4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【解题思路】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】（1）由题意可得：，解得：，，. 双曲线的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，，， 此时，，所以， 当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ，， ， 令，则，令， 在，上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 题型14 圆锥曲线中的存在性问题 1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆经过点，且离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设是直线上任意一点，是经过椭圆右焦点的一条弦（不经过点）．记直线，，的斜率依次为，，，问是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过点，可列方程，解方程即可； （2）易知直线斜率一定存在，设，当直线斜率为时，分别表示，，，可得成立，当直线与轴不重合时，设直线，联立直线与椭圆，结合韦达定理，分别表示，，，即可得 . 【解答过程】（1）由椭圆离心率，则，即， 所以椭圆方程为， 又椭圆过点，则，解得，， 所以椭圆方程为. （2）由已知，经过椭圆右焦点，不经过点， 可知直线的斜率一定存在，设， 当直线斜率为时，，， 则，，， 此时， 当直线斜率不为时， 如图，设直线的方程为，点，， 联立直线与椭圆，得，， 则，， 设，，于是，即． 又，则， ， 综上所述存在常数，使得． 2．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知双曲线过点，离心率为，斜率为k的直线l交双曲线C于A，B两点，且直线的斜率之和为0． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）利用离心率与双曲线过点得到关于的方程，解之即可得解； （2）假设存在这样的直线，联立直线与椭圆方程得到，从而利用直线的斜率之和为0求得，再由等腰三角形三线合一求得，再检验即可得解. 【解答过程】（1）根据题意，，即， 所以，则， 因为双曲线过点， 所以，即，解得，则. 所以双曲线的方程为. （2）假设存在直线满足题意，设直线方程为， 联立，得， 由， 设，则， 由，得，即， 整理得，. 有， 整理得，， 当时，直线为，显然过点，不满足题意； 所以，即，直线， 因为是以为顶点的等腰三角形， 设的中点，则，即， 由，得，解得， 此时，故这样的直线不存在.    3．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解. 【解答过程】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则， ∴点F的坐标为，∴， ∴．抛物线C的方程为． （2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点， 设直线AB的方程为（），，， 由，得， ∴，，， ∵，∴， ∴ ， ∴或（舍去）， 当时，点M的坐标为，满足，， ∴存在定点． 4．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． (1)当时，求双曲线E的左焦点到直线l的距离； (2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，进而利用点到直线的距离公式运算求解； （2）联立直线l与双曲线E的方程，利用韦达定理可得，根据渐近线方程与直线l的方程联立求出，，分析可知线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，代入运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知：， 且焦点在x轴上，则双曲线E的左焦点为， 当时，直线l：，即， 所以双曲线E的左焦点到直线l的距离为. （2）存在，理由如下： 设，，， 联立直线l与双曲线E的方程，得， 消去y，得． 由且，得且， 由韦达定理得，则， 由题意可知：双曲线E的渐近线方程为， 设，， 联立方程，解得， 同理可得， 因为， 所以线段AB的中点M也是线段CD的中点． 若A，B为线段CD的两个三等分点，则． 即，． 而，． 则，解得， 所以存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$