小升初拓展培优：工程问题（讲义）-2023～2024学年六年级下册数学人教版

工程问题 (解题知识必备+压轴题型讲练+压轴题型评测) 一、工程问题的基本概念 工程问题是把工作总量看作单位 “1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率。 二、关键知识点 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 三、常见题型 1、合作完工问题 例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要几天完成？ 甲的工作效率：1÷10 = 1/10 乙的工作效率：1÷15 = 1/15 两人合作的工作效率：1/10 + 1/15 = 1/6 合作完成所需时间：1÷1/6 = 6（天） 2、交替工作问题 比如：甲、乙两人轮流做一项工程，甲每天完成工程的 1/8 ，乙每天完成工程的 1/12 ，两人轮流做，共需要 10 天完成，甲、乙各做了几天？ 假设甲做了 x 天，乙做了 10 - x 天。 x/8 + (10 - x)/12 = 1 解得 x = 4 ，则甲做了 4 天，乙做了 6 天。 3、工作效率变化问题 假设一项工程，原计划每天完成 1/10 ，实际工作时效率提高了 20%，实际需要几天完成？ 实际工作效率：1/10 × (1 + 20%) = 3/25 实际完成时间：1÷3/25 = 25/3（天） 四、解题技巧 通常先求出各自的工作效率。 善于利用方程或假设法来解决问题。 【典例1】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时。第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同。甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完。丙在仓库搬了多长时间？ 【答案】小时 【分析】先整体考虑，求出三个人搬完两个仓库所需要的时间，然后考虑甲在这段时间里完成了多少，剩下的是丙帮甲做的，求出这部分工作量，再除以工作效率即可。 【详解】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时，设该仓库的工程量都是“1”； （小时） A、B这两个大仓库的工程量都是“2”； （小时） （小时） 答：丙在A仓库搬了6小时。 【名师点评】本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。 【典例2】某车间按计划每天应加工 50 个零件，实际每天多加工 6 个零件，这样，不仅提前 3 天完成原计划加工零件的任务，而且多加工了 120 个零件，这个车间实际加工了多少个零件？ 【答案】2520个 【详解】如果一样的生产天数（按计划的天数），实际上的零件总数：120+3×56=288（个） 按计划的天数：288÷6=48（天） 实际加工：50×48+120=2520（个） 答：这个车间实际加工了2520个零件。 【典例3】蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要4小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要5小时。单开丙出水管，排光一池水要3小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？ 【答案】小时 【分析】假设水池总量为整数（计算方便），计算出甲、乙进水管的注水效率及丙出水管的排水效率。把按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时看作一个周期，计算一个周期的注水量是多少。假设最后一个周期内甲乙注水后没有溢出，用总水量的减掉甲乙各开1小时注入的水除以一个周期的注水量计算出需要几个这样的周期是否还有剩余的水量。根据周期数计算按照完整周期注水后，剩余的水量，甲乙丙依次工作所需的时间，据此解答。 【详解】设水池总量为60 甲管每小时进水60÷4＝15 乙管每小时进水60÷5＝12 丙管每小时进水60÷3＝20 已经有水 甲、乙各开1小时，进水15＋12＝27 甲、乙、丙各开1小时，进水27－20＝7 为保证最后的周期里甲、乙先各开1小时后水是未溢出的，从需要注入的水量里扣除。 （60－10－27）÷7 ＝23÷7 ＝3……2 剩余水量为2，说明是可以注水4个周期的，这时水池还差的水量是 60－10－7×4 ＝50－28 ＝22 甲再开1小时后还差22－15＝7 乙还需再开7÷12＝（小时） 一共需要的时间： 3×4＋1＋ ＝13＋ ＝（小时）。 答：小时后，第一次有水溢出水池。 【名师点评】本题考查复杂的工程问题，因为甲乙先注入的水量比一个周期内的注水量多很多，所以假设最后一个周期内甲乙先注水后没有溢出，并应用这一条件计算周期数和剩余水量是解题的关键。 【典例4】一项工程，若请甲工程队单独做需个月完成，每月要耗资万元；若请乙工程队单独做此项工程需个月完成，每月耗资万元。 （1）请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ （2）现要求最迟个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金。 【答案】（1）2.4个月；万元 （2）甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月 【分析】（1）求出甲、乙两工程队合作的工作效率，工作总量除以工作效率得到工作时间，合作情况下，每月耗资14万元，再乘时间即可。 （2）甲工程队完成全部工作要耗资36万元，乙工程队完成全部工作要耗资30万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程。 【详解】（1）甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的、，那么甲、乙合作所需时间为： （个） 甲、乙合作个月所耗资金为： （万元） 答：合作需2.4个月完成；耗资33.6万元。 （2）在五个月内完成的最好方案为： 乙工程做个月，甲工程队做： （个） 即：甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月。 【名师点评】本题考查的是工程问题，并与方案优化问题相结合，要想最大限度节省资金，就需要尽可能让耗资较少的多做一些。 【典例5】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的，乙只能完成原来的，现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 【答案】5天 【详解】设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成3×0.8+2×0.9=4.2（份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）. 1．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天。乙请假多少天？ 2．一项工作，如果甲、乙合做，15天可以完成；如果甲先单独做5天，剩下的乙单独做，还需要45天。现在乙先单独做12天，剩下的甲单独做，还需要多少天？ 3．一项工程，甲队单独做18天可以完成，乙队单独做15天可以完成，现在甲队先做7天后，剩下的甲、乙两队合做完成，乙队完成了这项工程的几分之几？ 4．有一批零件共450个。 （1）师徒俩一起加工这批零件，如果徒弟完成了全部的，师傅需要加工多少个零件才能全部完成任务？ （2）已知师傅单独完成需要12天，徒弟单独完成需要18天。现在，由徒弟先做3天，再由两人合作。两人需要再合作几天才能完成任务？ 5．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？ 6．一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要( )天。 7．一项工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做20天可以完成，现在两队合作，期间甲队休息了1天，乙队休息了5天（不存在两队同一天休息）。问：整个工程共用了多少天？ 8．搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，问丙帮助甲、乙各多少时间？ 9．一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 10．一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？ 11．某仓库内有一批货物，如果用3辆大卡车，4天可以运完；如果用4辆小卡车，5天可以运完；如果用20辆手推车，6天可以运完．现在先用2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后，全部改用手推车运，必须在两天内运完，那么后两天每天至少需要多少辆手推车？ 12．有一项工程，由小熊和小猴合做6天就能完成。若小熊、小猴分别单独做，则小熊完成该工程的与小猴完成该工程的所用的时间相同。如果按小熊、小猴、小熊、小猴……的顺序每位轮流做一天，则需要多少天才能完成任务？ 13．一段地下管道预计 15 个工人每天工作 4 小时，18 天可以完成，后来要求加快速度，每天增加 3 人，并且每天工作时间增加 1 小时，那么，可以提前几天完成？ 14．加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成．已知甲每天比乙多做3个零件．求这批零件共有多少个？ 15．某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加．为了防洪，需开闸泄洪．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线．现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？ 16．一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完。已知乙、丙的工作效率的比为3∶5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2∶1，问题中情形下做完整个工程需多少天？ 17．甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 18．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 19．蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要5小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要6小时。单开丙出水管，排光一池水要4小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？ 20．一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．若甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲先做3小时后再由乙接着做，还需要多少小时完成？ 21．芳芳和慧慧要制作相同数量的卡片，芳芳和慧慧工作效率之比为4∶5。如果两人合作，10小时可以完成两个人的任务。如果两人单独完成各自的任务，芳芳要比慧慧多花多少小时？ 22．一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 23．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 24．一项工程，甲队独做需要天完成，乙队独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙合作这项工作，在工作过程中，甲休息了天，乙休息了天，丙没有休息，最后把工作完成了．问完成这项工作一共用了多少天？ 25．放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？ 26．一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？ 27．抄一份书稿，甲的工作效率等于乙、丙二人的工作效率之和；丙的工作效率相当于甲、乙二人工作效率和的；如果三人合抄需要8天就能完成。那么乙一个单抄需要多少天才能完成？ 28．有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 29．一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 30．一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 1．天 【分析】甲一直在做，一共干了16天，可以求出甲完成的工程量，剩下的即为乙完成的工程量，可以求出乙做了多少天，进而求得乙请假的时间。 【详解】甲一共干了天，完成了全部工程的； 还有是乙做的； 所以乙干了（天）； （天） 答：乙请假天数为10天。 【名师点评】本题考查的是工程问题，也可以假设乙没有休息，求出16天完成的工程量，用假设法求解。 2．16天 【分析】甲先单独做5天，剩下的乙单独做，还需要45天，可以理解为甲乙合作5天，乙又单独做（45－5）天。甲、乙合做的效率是，根据“效率＝工作量÷天数”先求出乙的效率。再用合作效率减去乙的效率就是甲的效率。最后用乙先单独做12天后的剩余工作量除以甲的效率解答。 【详解】 （天） 答：剩下的甲单独做，还需要16天。 【名师点评】本题考查工程问题的解法，需要灵活应用公式“工作总量＝工作效率×时间”。 3． 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，计算出甲队7天的工作总量是多少，再求剩下的工作量，剩下的两队合作，工作效率为两队效率之和，可以计算出两队合作的天数，即是乙队工作的天数。根据乙队的工作效率，利用工作总量＝工作效率×工作时间可得乙队完成的工作量。 【详解】 答：乙队完成了这项工程的。 【名师点评】本题主要考查工作总量、工作效率、工作时间的数量关系的应用。 4．（1）270个 （2）6天 【分析】（1）先用零件总数乘求出徒弟完成的数量，再用总数减去徒弟完成的数量即可； （2）把这批零件总数看作单位“1”，那么师傅的效率为，徒弟的效率为，根据：工作总量＝工作效率×工作时间，求出徒弟3天完成的工作量，再用单位“1”减去徒弟完成的工作量，用剩下的工作量除以师徒效率和即可求出合作完成时间。 【详解】（1）450－450× ＝450－180 ＝270（个） 答：师傅需要加工270个零件才能全部完成任务。 （2（1－3×）÷（＋） ＝（1－）÷ ＝× ＝6（天） 答：两人需要再合作6天才能完成任务。 【名师点评】此题考查了分数乘、除法的应用，关键能够掌握工程问题的解题思路。 5．24天 【分析】根据三种情况，可以求出甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 ，对于工作效率有（甲，乙）＋（丙，丁）－（乙，丙）＝（甲，丁），求出甲、丁两人的工作效率后，即可求出工作时间。 【详解】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是，，； ＋－＝ 甲、丁合作的工作效率为； （天） 答：甲、丁两人合作24天可以完成这件工程。 【名师点评】本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。 6．40 【分析】设1个人做1天的量为1，设原来的人数是未知数，根据题目的两种情况，表示出总的工程量，根据总工程量相等列方程，求出原来的人数，然后求出工程量是多少，再计算调走2人后所需的时间。 【详解】解：设1个人做1天的量为1，设原来有人在做这项工程； 解得： 如果调走2人，需要 （天） 所以调走2人后，完成这项工程需要40天。 【名师点评】本题考查的是工程问题，列方程求解应用题时要合理设未知数，并找准等量关系。 7．9天 【分析】现在两队合作，期间甲队休息了1天，乙队休息了5天（不存在两队同一天休息），可以看作甲队单独工作了5天，乙队单独工作了1天，剩下的任务由两队合作完成；把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷10和1÷20求出甲队和乙队的工作效率，再根据工作效率×工作时间＝工作总量，分别用5×和1×求出甲队工作5天的工作量、乙队工作1天的工作量，然后用工作总量1减去甲队工作5天的工作量以及乙队工作1天的工作量，即可求出剩余的工作量，最后用剩余工作量除以两队的工作效率和，即可求出合作的天数，再加上1天和5天即可求出完成工程需要的实际天数。 【详解】1÷10＝ 1÷20＝ 甲队单独做5天，乙队单独做1天，共完成工作量： 5×＋1× ＝＋ ＝ 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 （1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝3（天） 3＋5＋1＝ 9（天） 答：整个工程共用了9天。 【名师点评】本题考查了工程问题，注意合作问题中，如果有一队休息，证明另一队在单独工作。 8．甲：3小时；乙：5小时 【分析】把一个仓库的货物量看作单位“1”，甲乙丙搬完两个仓库也就是完成了2个单位量，设他们搬完货物花了x小时，根据“工作效率×工作时间＝工作量”列方程即可解答。 【详解】解：设他们搬完两个仓库货物花了x小时。 （＋＋）×x＝2 x＝2 x＝8 （1－×8）÷ ＝÷ ＝3（小时） 8－3＝5（小时） 答：丙帮助甲搬运了3小时，帮乙搬运了5小时。 【名师点评】把一个仓库的货物量看作单位“1”，甲乙丙搬完两个仓库也就是完成了2个单位量，这是解答本题的关键。 9．小时 【分析】先求出甲、乙的工作效率之和，再按比例分配，得到各自的工作效率，然后求出乙完成一半需要的总时间，减去5小时，得到还需要的时间。 【详解】乙小时完成总工作量的； 乙每小时完成总工作量的； 乙需要完成的总工作量为； 乙要完成这个任务还需要的时间： （小时） 答：乙还要5小时才能完成分配的任务。 【名师点评】本题考查的是工程问题与比例问题，按比例分配的问题可以设份数求解。 10．7天. 【详解】试题分析：甲队休息了2天，说明甲干了14天，然后假设乙没有休息干了16天，这样把甲乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1”，超出的工作量就是乙休息的时间内的工作量，除以乙的工作效率就是乙休息的天数． 解：[×（16﹣2）+×16﹣1]÷ =[+﹣1]×30 =×30 =7（天） 答；乙队休息了7天． 点评：本题运用假设法进行解答，考查了学生思维创新的能力，解决问题的能力． 11．15辆 【分析】本题考查工程问题，一般将工作总量看为单位1，工作时间×工作效率=工作总量 只要先求出2天后还剩余多少工作量就可以求得还每天至少需要手推车的辆数． 【详解】大卡车工作效率是1÷3÷4= 小卡车工作效率是1÷4÷5= 手推车工作效率是1÷20÷6= 2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天的工作量为： ×2×2+×3×2+×7×2= 那么剩余工作量为1-= 则2天后全部改用手推车运，需要的手推车数量为÷÷2=15（辆） 答：后两天每天至少需要15辆手推车． 12．15天 【分析】工作量÷工作时间＝工作效率，据此求出小熊和小猴工作效率的比是2∶3，再分别求出小熊和小猴单干时需要的天数，和小熊与小猴合作完成工程需要的时间，经计算是天。可知合干天数整数部分的2倍即14天可以看作是小熊、小猴轮流工作的天数。根据剩余的天，求出剩下的工作量是多少，看由小熊单干是否一天内能完成。据此解答。 【详解】小熊和小猴的工作效率比： ∶＝＝2∶3 单独做小熊需要的天数： （天） 单独做小猴需要的天数： （天） 小熊和小猴合干需要的天数： （天） 剩余的工作量： 说明由小熊再单干一天能够完成。 一共的天数： （天） 答：按小熊、小猴、小熊、小猴……的顺序每位轮流做一天，需要15天才能完成任务。 【名师点评】本题考查工程问题，关键是弄清交替干活的顺序，再利用“工作量、工作效率、工作时间”三者间的关系解答。 13．6天 【详解】18-15×4×18÷（15+3）÷（4+1） =18-1080÷18÷5 =18-12 =6（天） 答：可以提前6天完成。 14．360个 【详解】解：设甲、乙工作效率分别为x与y， 代入其中一个方程可得，    =360个 答：这批零件有360个． 15．4个 【详解】设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份． （1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份） （2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份） （3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份） （4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值） 16．天 【分析】甲的工作效率可以直接求出来，把乙、丙的工作效率设为未知数，根据题目的工作方式，表示出乙和丙各自的工作时间，根据工作时间之比列方程求解。 【详解】显然甲的工作效率为设乙的工作效率为，那么丙的工作效率为； 所以有乙工作的天数为； 丙工作的天数为 且有 即 解得 所以乙的工作效率为，丙的工作效率为高； 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： （天） 答：做完整个工程需27天。 【名师点评】本题考查的是工程问题与比例问题，设未知数的时候设一份量比较方便。 17．27立方米 【详解】解：设水池容量为1，甲、乙两管共同注水3分钟，注入水量是=.　　 甲每分钟注入水量是（1-）÷10=, 乙每分钟注入水量是-=, 因此水池容积是0.6÷(-)=27(立方米) 答：水池容积是27立方米. 18．54分钟 【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 【详解】先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90， 其中 90分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）. 打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）. 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟. 19．10.7小时 【分析】假设水池总量为整数（计算方便），计算出甲、乙进水管的注水效率及丙出水管的排水效率。把按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时看作一个周期，计算一个周期的注水量是多少。假设最后一个周期内甲乙注水后没有溢出，用总水量的减掉甲乙各开1小时注入的水除以一个周期的注水量计算出需要几个这样的周期是否还有剩余的水量。根据周期数计算按照完整周期注水后，剩余的水量，甲乙丙依次工作所需的时间，据此解答。 【详解】设水池总量为60 甲管每小时进水60÷5＝12 乙管每小时进水60÷6＝10 丙管每小时进水60÷4＝15 已经有水60×＝20 甲、乙各开1小时，进水12＋10＝22 甲、乙、丙各开1小时，进水22－15＝7 为保证最后的周期里甲、乙先各开1小时后水是未溢出的，从需要注入的水量里扣除。 （60－20－22）÷7 ＝18÷7 ＝2……4 剩余水量为4，说明是可以注水3个周期的，这时水池还差的水量是 60－20－7×3 ＝60－20－21 ＝19 甲再开1小时后还差19－12＝7 乙还需再开7÷10＝0.7（小时） 一共需要的时间： 3×3＋1＋0.7 ＝9＋1＋0.7 ＝10.7（小时）。 答：10.7小时后，第一次有水溢出水池。 【名师点评】本题考查复杂的工程问题，因为甲乙先注入的水量比一个周期内的注水量多很多，所以假设最后一个周期内甲乙先注水后没有溢出，并应用这一条件计算周期数和剩余水量是解题的关键。 20．21小时 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，， （小时） 21．2.25小时 【分析】芳芳和慧慧工作效率之比为4∶5，可以设芳芳的工作效率是4，慧慧的工作效率5。两人合作的工作效率之和是9，则工作总量＝工作时间×工作效率和则完成的任务总量是90， 芳芳和慧慧要制作相同数量的卡片即芳芳和慧慧的工作总量是一样的，则平均每个人的工作总量是45。再根据工作时间＝工作总量÷工作效率分别求出芳芳和慧慧的工作时间，再相减即可。 【详解】设芳芳的工作效率是4，慧慧的工作效率5。 （4＋5）×10÷2 ＝9×10÷2 ＝90÷2 ＝45 45÷4－45÷5 ＝11.25－9 ＝2.25（小时） 答： 芳芳要比慧慧多花2.25小时。 22．天 【分析】丙单独做的工作效率是，乙、丙合作的工作效率是，甲、乙合作的工作效率是 ；先求出乙的工作效率，再计算甲的工作效率，然后求出甲、丙合作的工作效率之和，再计算时间。 【详解】我们可以有： 甲乙，乙丙，丙 不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为， （天） 答：甲、丙合作12天能完成。 【名师点评】本题考查的是工程问题，合作的工作效率等于每个人的工作效率之和。 23．甲种零件30个，乙种零件18个 【分析】我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程． 【详解】解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个． （x+ 12）× +x= 42 x+= 42 x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个． 24．完成这项工作一共用了天． 【详解】略 25．分钟 【分析】1、2、3号阀门的效率之和是；2、3、4号阀门的效率之和是；1、3、4号阀门的效率之和是 ；1、2、4号阀门的效率之和是；据此可以求出1、2、3、4号阀门的效率之和，然后再计算时间。 【详解】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）： 1号 2号 3号 4号 工作效率 ○ ○ ○ × × ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○ × ○ 从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为： 那么同时打开这4个阀门，需要（分钟） 答：18分钟可以完成。 【名师点评】本题考查的是工程问题，四个量任意三个相加的和再相加，得到的和是四个量之和的3倍。 26．天 【分析】对比两种情况，可以发现甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量；根据二者的关系，转化成一个人求解。 【详解】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图： 从图中可以直观地看出：于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要（天）完成，即乙的工作效率是。 又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，为； 那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为： （天） 答：甲、乙合作，天可以完成。 【名师点评】本题考查的是工程问题，求解问题的关键是找出甲、乙工作效率的关系。 27．24天 【详解】将工程作为单位1，因为三人合作需要8天可以完成工作，因此每天的总工作效率为， 那么根据题意，甲的工作效率为，乙、丙二人每天的工作效率之和也为；同时，丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率的，即丙的工作效率为总工作效率的，因此丙的工作效率为，由此可以得出乙的工作效率为，乙单独做要1÷＝24（天） 答：乙一人单抄要24天才能完成。 28．12天 【详解】很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要12天. 29．甲：75天   乙：50天 【详解】共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的= 乙独做需时间： 甲独做需时间： 答：甲和乙独做所需时间分别是75天和50天. 30．小时 【分析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多小时，与题意不符。所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的一小时是乙做的。 【详解】乙甲甲，得乙甲； 甲、乙工作效率之和为： 甲的工作效率为： 所以甲单独做的时间为（小时） 答：甲单独做，要用21小时才能完成。 【名师点评】本题考查的是轮流工作型的工程问题，解题的关键是判断轮流工作的顺序。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$