第03讲 3.2.1单调性与最大（小）值（知识清单+12类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第03讲 3.2.1单调性与最大（小）值 课程标准 学习目标 ①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． ②掌握定义法证明函数单调性的步骤． ③掌握函数单调区间的写法. ④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. ⑤.会借助单调性求最值. ⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值． 通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值. 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【即学即练1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用具体函数定义域的求法求解即可； （2）先判断的单调性，再利用函数单调性的定义法，结合作差法即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练2】（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】（区间开闭都行） 【分析】先求函数的定义域，再结合复合函数单调性分析判断. 【详解】令，解得，即函数的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 题型01定义法判断或证明函数单调性 【典例1】（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知函数过点 (1)求的解析式; (2)证明函数在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）直接代入左边得参数值，进而得解. （2）直接由单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，解得，所以的解析式为. （2）由题意不妨设设， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以函数在上单调递增. 【典例2】（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，且． (1)求a的值； (2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 【分析】（1）将代入求值； （2）利用单调性定义证明函数单调性. 【详解】（1）由，得，解得． （2）在区间上是减函数， 证明过程如下： 由（1）得，对任意，且，则， 所以， 由，得，，又由，得， 于是，即， 所以在区间上是减函数． 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】当时，，利用定义法即可证明函数的单调性. 【详解】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 【变式2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)用定义法证明在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接代入数据计算得到答案. （2）设，计算得到证明. 【详解】（1），，解得； （2），设，则： ， ，则，，， 故，即， 故函数在上单调递增. 题型02求函数单调区间 【典例1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 【变式1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，画出函数图象，即可求解单调区间. 【详解】， 画出的图象如下： 的单调减区间为， 故选：A    【变式2】（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可. 【详解】，画出函数图象，    结合图象得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数在区间A上是减函数，那么区间A是 . 【答案】，(答案不唯一） 【分析】化简函数为，作出其图象，数形结合，即可得答案. 【详解】由题意得， 作出其图像如图： 由图像可知函数在区间，上是减函数， 故区间A是，，或其子集 故答案为：， 题型03复合函数单调区间 【典例1】（23-24高一上·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域为，利用复合函数单调性，同增异减的原则，先确定外函数的单调性，再确定内函数的单调性即可得到答案. 【详解】令，解得， 设，， 外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间， ，对称轴为，其开口向下，故其减区间为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． 【答案】. 【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】令且其对称轴为，且， 的单调减区间是， 又∵在上是增函数， ∴函数的单调递减区间为. 故答案为：. 题型04根据函数的单调性求参数 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可. 【详解】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 【典例3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即， 由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合. 故选：CD. 【变式2】（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出对称轴，分与两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】当时，对称轴为， 令，此时，满足要求， 令，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 题型05根据函数的单调性解不等式 【典例1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域以及单调性列出关于的不等式组，由此求解出解集. 【详解】函数是定义在上的增函数， 有，解得， 不等式的解集为， 故选：A． 【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的定义域和单调性，可得，由此求得实数a的取值范围． 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 所以，解得， 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，对分，，三种情况讨论运算得解. 【详解】当时，，，，原不等式显然不成立． 当时，，原不等式不成立． 当时，要使得，有两种情况： 第一种情况，当时，在上单调递增，可得，解得； 第二种情况，当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用函数单调性的定义判断得在上单调递减，从而分类讨论即可得解. 题型06根据单调性（图象）求最值或值域 【典例1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（    ） A．[0，4] B．[，2] C．[，2] D．[1，2] 【答案】BC 【详解】 ∵ y＝x2－3x－4＝(x－)2－，作出函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上的图象如图所示．由图象可知，当x＝时，ymin＝－.令y＝x2－3x－4＝－4得出x＝0或x＝3.当0＜m＜时，函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上单调递减，此时ymin＝m2－3m－4＞－，不符合题意；当≤m≤3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－，ymax＝－4，符合题意；当m＞3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围是[，3].故选BC. 【典例2】（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得. 【详解】若，即时，，其对称轴为，， 此时，因，故的最小值为16； 若，由可得， （Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减， 在上递增， 在上递减，在上递增，又， ① 当时，，故，而在上单调递 减，则此时，； ② 当时，，故，而在上单调 递增，则此时，. （Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，而在上单调递减，则. 综上，函数最大值的最小值为8. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题. 解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用函数的单调性，即可求其最值. 【变式1】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)写出函数图象的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)对称轴方程为，顶点坐标为， 单调递减区间为，单调递增区间为； (2)最大值为，最小值为， 【分析】（1）利用二次函数性质即可得出对称轴方程、顶点坐标，画出图象可得单调区间； （2）根据（1）中单调性即可计算得出在区间上的最大值为，最小值为. 【详解】（1）将整理可得， 配方可得，画出函数图象如下图所示： 由图可知函数图象的对称轴方程为，顶点坐标为， 单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）中结论可得在区间上单调递减，在上单调递增； 所以在区间上的最小值为， 又，，所以在区间上的最大值为， 【变式2】（23-24高一上·北京·阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数（为常数）的图象和性质进行了探究，探究的部分过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， ． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． 观察函数图象发现：函数的值域为 ． 【答案】 1 图象见解析； 【分析】（1）根据列表求得的值，从而得到函数解析式，进而求得的值； （2）根据对称性，直接作图即可，根据图象，可得值域． 【详解】（1）由对应值列表可知，当时，，则，解得， 则，当时，； （2）图象如下： 函数的值域为. 故答案为：（1）1；（2）图象见解析；． 题型07根据函数的最值（值域）求参数 【典例1】（多选）（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（    ） A．4 B． C．4 D． 【答案】AD 【分析】根据二次函数对称轴与所给区间，分类讨论即可得解. 【详解】函数的对称轴为，开口向上. 当时，函数在区间上单调递增， 所以，解得或， 因为，所以； 当，即时，函数在区间上单调递减， 所以，解得或， 因为，所以； 当时，在上递减，在上递增，所以，不合题意； 综上：实数a可能的取值或. 故选：AD 【典例2】（23-24高一上·广东中山·期中）已知函数． (1)用函数单调性的定义证明：在上是单调递增； (2)若函数在区间上的值域，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性定义按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可； （2）分别令，可解得，，显然在区间内，所以可得. 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，，所以，，， 即； 所以，即， 所以在上是增函数． （2）由，解得， 由，解得， 显然在区间内，且满足单调递增， 所以可知，， 可得. 【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 【变式2】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据函数图象分类讨论取得最大值时的情况，进而求解即可. 【详解】当时，，草图如下， 所以， 可得，解得； 当时，，草图如下， 所以， 可得，解得（舍）. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入，根据二次函数的性质即可得到值域； （2）根据题意转化为，代入计算即可. 【详解】（1）当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在区间上的值域为. （2）因为，，开口向上， 则的最大值为和两个中的较大者， 而，要使在区间上的最大值为4，则， ， 故的取值范围为. 题型08二次函数最值问题（含参） 【典例1】（2024高一·全国）已知函数在区间上的最小值是1，则（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】把配方后找到对称轴与给定区间的关系，结合其单调性求出相应最小值并结合题意判断即可. 【详解】， 当，即时，，则； 当，即时，，则； 当，即时，，无解. 所以. 故ABC错误；故D正确. 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知二次函数，且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)若，求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用待定系数法及二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论的值，结合二次函数的单调性计算即可. 【详解】（1）因为二次函数，且，所以. 由题意，得,解得，所以. （2）因为，所以二次函数， 其对称轴为，. ①当时，的图象是开口向下的抛物线，且在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值，即； ②当，即时，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以； ③当，即时，的图象是开口向上的抛物线，且在区间上单调递减， 所以. 综上所述，当或时，；当时，. 【典例3】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在区间的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用待定系数法求函数的解析式. （2）根据二次函数的性质讨论单调性即可得到最小值. 【详解】（1）由题意设， 则 ， ， ∴由得， ∴，即. 故函数的解析式为. （2）由（1）知函数的对称轴为直线，开口向上， ①当，即时，在区间上单调递减， 此时； ②当，即时在区间上先减后增， 此时； ③当时，在区间上单调递增， 此时. 综上所述，. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，定义域为，求其值域． 【答案】 【分析】 利用二次函数的性质求值域 【详解】 由题意知函数的开口向上，对称轴为， 所以在上为单调递增函数， 所以 ，， 所以函数值域为. 【变式2】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知函数 (1)求在上的值域; (2)求在区间上的最大值的最小值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据在上的单调性求值域； （2）分类讨论与1的大小，表示出的最大值，再求的最小值. 【详解】（1）函数的图象的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， ， 在上的值域为. （2）函数的图象的对称轴为，开口向上，区间的中点为， ①当即时，最大值， ②当即时，最大值， ，其图象如下: 由图可知，. 【变式3】（23-24高一上·北京西城·期中）设，其中． (1)当时，求函数的图象与直线交点的坐标； (2)若函数在上不具有单调性，求的取值范围： (3)当时，求函数的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）联立方程直接计算； （2）根据二次函数单调性可得参数范围; （3）分类讨论结合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，， 联立方程，解得：或， 即交点坐标为和. （2）函数在上单调递增，在上单调递减； 又函数在上不具有单调性， 所以，即. （3）函数在上单调递增，在上单调递减； 当时,在上单调递增，的最小值． 当时,在上单调递减，的最小值． 当时,在上单调递增，在上单调递减,的最小值． 当,的最小值． 当,的最小值． 当,的最小值． 题型09函数不等式恒成立问题 【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特称名为假命题可得，对恒成立，令，利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立， 则，对恒成立， 令，则二次函数的对称轴为直线， 要使得，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 【典例2】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的值； (2)时，恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据方程的两根为，结合韦达定理即可求得参数值； （2）根据进行分类讨论，构造函数，求得其在区间上的最大值，再解关于的不等式即可. 【详解】（1）由题设，是的解集，则是方程的两根， ，整理得，解得或. （2）由题意，时恒成立， 当时，因为，则有恒成立，符合题意； 当时，，则有，     设，要使题设不等式恒成立，仅需即可， 而当时，， ，解之得 综上，的取值范围为. 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原不等式可化为，设，只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为，设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)设，试比较的大小，并说明理由； (2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明方法，可得答案； （2）由题意整理不等式，根据二次不等式恒成立，可得答案. 【详解】（1）， 理由如下: ， 因为 ， 则 ， 所以， 即 ， 所以，即 （2）因为函数，则不等式可化为， 化简可得对一切恒成立，所以，解得， 所以的取值范围为. 【变式3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据不等式的解集与方程之间的关系可知，、是一元二次方程的两个实数根，利用韦达定理求出、的值，即可得出函数的解析式； （2）解不等式组，分析可知，该不等式的整数解为、，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）由题意可知，对任意，不等式很成立，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在后面两种情况下，结合二次函数基本性质可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，不等式的解集是， 所以、是一元二次方程的两个实数根， 由韦达定理可得，解得，所以. （2）解：不等式组，即， 解得， 因为原不等式组的正整数解仅有个，可得该正整数解为、， 可得到，解得，则实数取值范围是. （3）解：因为对任意，不等式恒成立，所以， 当时，恒成立； 当时，二次函数的对称轴方程为， 当时，函数在上单调递减， 所以只需满足，解得； 当时，函数在上单调递增， 所以只需满足，解得. 综上，的取值范围是. 题型10函数不等式有解问题 【典例1】（23-24高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式在区间内有解，转化为，求出的最大值可得答案. 【详解】因为，所以由不等式得， 不等式在区间内有解， 只需， 因为在上单调递增， 所以的最大值为，可得， 解得. 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据双变量不等式转化为函数最值问题，即，先根据二次函数知识求得，然后根据a的符号讨论，利用单调性求得最值，列不等式即可求解. 【详解】因为对任意的，总存在与使得成立， 所以， ，对称轴为， 因为，所以当时，， 当时，函数在上单调递增，所以， 所以，解得； 当时，函数在上为常数函数，满足； 当时，函数在上单调递减，所以， 所以，解得； 综上，，即实数a的取值范围为. 故答案为： 【典例3】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为-1. (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的最大值、最小值求出函数的解析式； （2）分离参数，根据存在性转化为求出函数的最小值，利用对勾函数单调性得解. 【详解】（1）依题意得， ， ， ， ， ，即， . （2），使得， 令， 由对勾函数的单调性知，在上单调递增， ， 当时，， 的取值范围为. 【变式1】（23-24高三上·江苏·阶段练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分离参变量，利用基本不等式求解函数最值即可求解. 【详解】因为，所以由得， 因为关于x的不等式在区间上有解，所以， 当时，，当时，， 当且仅当时，等号成立， 综上的最大值为1， 故，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解. 【详解】，， ，， 设，则，则函数等价为， 由对勾函数的单调性可得， 时，单调递减， 时，单调递增， 当时，函数取得最小值，， 当时，，当时，， 设函数的值域为，则函数的值域； 由，在上是减函数， 则最大值为，最小值，， 设的值域为，则， 若对于任意，总存在，使得成立， 则等价为，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：根据对于任意，总存在，使得成立，得出的值域包含的值域，是解决本题的关键. 【变式3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意对一切实数都成立，分、两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围； （2）首先求出在上的值域，令，，依题意可得在上的值域为在上的值域的子集，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为对一切实数都成立，即对一切实数都成立， 当时显然恒成立， 当时，则，解得， 综上可得，实数的取值范围. （2）当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以在上的值域为， 令，， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以在上的值域为在上的值域的子集， 当时为常数函数，显然不符合题意； 当时在上单调递增， 所以在上的值域为，所以，解得； 当时在上单调递减， 所以在上的值域为，所以，解得； 综上可得. 题型11重点方法（分类讨论） 【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数. (1)若的单调递减区间是，求a的值. (2)若关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； (3)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1)1； (2)； (3)答案见详解. 【分析】（1）分，讨论，根据二次函数单调性可得； （2）利用韦达定理求出，然后可解； （3）根据二次系数是否为0、二次函数的开口方向、以及两根的大小关系分类求解即可. 【详解】（1）当时，的单调递减区间为R，不满足题意； 当时，由的单调递减区间是可得，解得. 综上，a的值为1. （2）若关于x的不等式的解集为， 则和3是方程的两根，且， 由韦达定理得，解得， 所以不等式， 解得或， 所以不等式的解集为. （3）若，则， 1）当时，由解得； 2）当时，方程的两根为， 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得或； 当时，，解不等式得或； 当时，由得. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知函数． (1)若的最大值为0，求实数a的值； (2)设在区间上的最大值为，求的表达式； (3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数最值可得答案； （2）分类讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数可得最值； （3）利用对勾函数的最值问题，分情况讨论，结合单调性的可得答案. 【详解】（1）， 因为的最大值为0，所以， 所以或. （2）函数的对称轴为， 当，即时，在上是减函数，所以； 当，即时， 当时，是减函数，当时，是增函数， 所以； 当，即时，在上是增函数，所以， 所以. （3）由题意， 令可得，简图如下， 当时，即时，在是增函数， 所以，成立. 当时，即时， 在上是减函数，在上是增函数， 所以，解得，不成立； 当时，即时，在上是减函数， 所以，解得，不成立； 综上所述，. 题型12数学思想方法（数形结合） 【典例1】（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递减区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象. （2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得. （3）根据分段函数解析式，求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）函数， 当时，的图象是开口向下的抛物线在的一段， 当或时，的图象是射线和射线组成， 函数的图象，如图， （2）. （3）当时，在上单调递减， 当或时，在上单调递减， 所以函数的单调递减区间是，. 【变式1】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知二次函数 的图象过原点，且满足 .    (1)求的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出其单调递增区间； (3)对于任意，函数在上都存在一个最大值，写出关于的函数解析式. 【答案】(1) (2)图象见解析， (3) 【分析】（1）设，利用待定系数法，求出，即得答案； （2）化简为分段函数形式，即可作出其图象，根据图象可得单调递增区间； （3）结合图象求出时，时，，分段讨论t的取值范围，即可得M的表达式. 【详解】（1）设，由于二次函数 的图象过原点，故， 由，得， 即，故， 故； （2）， 作出其图象如图：    单调递增区间为； （3）由的图象可知，当时，由，得， 当时，； 当时，； 当时，， 故. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 【答案】D 【分析】分析函数的性质，再根据给定等式求出，代入求出函数值. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递增， 由，知，因此，解得， 所以. 故选：D 2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】求出二次函数的单调递增区间，利用相等集合列式求解即得. 【详解】函数的单调递增区间是， 因此，即，解得， 所以实数a的值是. 故选：C 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数在是单调增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知当时满足题意，当时，由题意可得，解之即可求解. 【详解】当时，，在R上单调递增，满足题意； 当时，函数的对称轴为， 由题意得，，解得， 综上，. 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解. 【详解】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 5．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使函数在上单调递减，则需时函数单调递减，时函数单调递减，且，然后求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 在上单调递减，且， 所以，解得. 故选：A. 6．（2024高一上·上海·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】若函数对于任意的实数，都有成立， 则在上单调递增， 则有：，解得：， 故选：A． 7．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知表示，中的最大数，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】令，根据所给定义求出的解析式，画出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】令，由，解得或， 由，解得， 所以， 则的图象如下所示： 由图可知当时取得最小值，即， 所以的最小值为. 故选：C 8．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为开口向上的二次函数， 则且， 所以. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数（为常数），则的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【分析】根据分段函数的性质，结合分类讨论即可与二次函数的性质求解. 【详解】当时，函数选项符合题意； 当时，函数故选项C符合； 当时，函数故选项B符合. 故选:BCD. 10．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若函数在上不单调，则实数的值可以是（    ） A．-6 B．-4 C．0 D．4 【答案】BC 【分析】由题意可知，对称轴位于区间中，即可得到结果. 【详解】函数图像开口向上，对称轴为， 若函数在上不单调，则 故选：BC. 三、填空题 11．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 【答案】13 【分析】分析函数的对称轴以及在区间上的单调性，进而即可求得的值，问题得解. 【详解】函数的对称轴为， 且函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值2，即2； 当时，函数取得最大值11，即11； 所以； 故答案为：. 12．（23-24高三·全国·对口高考）已知函数．若，那的最大值是 ．（注意：表示最小值） 【答案】1 【分析】分别作出的函数图象，进而可得的图象与最大值即可. 【详解】令可得，即或，故可作出的函数图象.    由此可得的函数图象，最大值为.    故答案为：1 四、解答题 13．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值城． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用定义法证明单调性即可； （2）由函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）易知， 设，且， 则， 又由，则，，， 所以，即在区间上单调递增； （2）由上可知函数在区间上单调递增，则， 又， 故的值域为. 14．（17-18高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)若且函数在上的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3)8 【分析】（1）将代入函数的解析式，求出的值即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性得到关于的方程，求出的值，从而求出的值即可． 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以，解得， 所以函数的解析式为 （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以， 所以， 所以函数在上单调递减 （3）因为且函数在上单调递减， 所以，解得， 所以 B能力提升 1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式转化为，，再变形，结合函数的单调性，函数的最小值. 【详解】不等式恒成立，即， 即，， ，，当时，即时，等号成立， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，所以的取值范围是， 所以的最小值是，所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果． 【详解】二次函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又已知在上单调递减， 所以，可得. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，由对称性可知， 所以当时，取得最大值，即最大值为， 在当时取得最小值，即最小值为， 要使对任意的，都有，只要成立即可， 所以，解得， 又，所以的取值范围，即. 故选：A. 3．（22-23高一上·全国·期中）若对，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【详解】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，． 恒成立， 的对称轴， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 即的取值范围为． 故选：C． 4．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知a为实数，函数，． (1)设，，若函数的最大值等于2，求a的值； (2)若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； (3)设，求的最小值． 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）因为,的最大值等于2,只能在或处取到，分别讨论和的情况，即可求得结果； （2）因为对任意，都存在，使，由此可得，解不等式组即可； （3）先去绝对值，得到，对a的范围进行分类讨论，从而得出的单调性，即可求出的最小值． 【详解】（1）因为， 当时，，即，解得：（舍）或. 当时，，即，解得：（舍）或. 综上，或. （2）设在区间上的值域为A，在区间上的值域为B， 则，． 因为对任意，都存在，使， 所以得， 所以a的取值范围是 （3） ①当时，在上单调递减，上单调递增， ； ②当时，在上单调递减，上单调递增， ； ③当时，在上单调递减，上单调递增， ； 综上 C新定义题型 1．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（    ） A．可看作一个定义域和值域均为的函数 B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值 C．对任意正整数，都有 D． 【答案】C 【分析】对于A：直接确定定义域判断；对于B：由经过有限次角谷运算均无法得到1，记来排除；对于C：通过和的关系计算判断；对于D：列举来判断. 【详解】对于A：依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误； 对于B：由，得在其定义域上不单调， 而，，则有最小值1， 由经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误； 对于C：对任意正整数，，而， 因此，C正确； 对于D：由，知不正确，D错误. 故选：C. ． 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； (2)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (3)求函数在内的“区间”． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）写成分段形式，然后根据二次函数的单调性写出答案； （2）直接根据“区间”的定义计算判断； （3）设函数在内的“区间”为，列方程组，解方程组即可. 【详解】（1）由已知， 故函数的单调递增区间为和，可合并为， 若函数在区间上是严格增函数，则， 所以区间可以为； （2）对于区间，， 此时， 即函数在区间上的值域为，不符合“区间”的定义， 所以区间不是函数的一个“区间”； （3）设函数在内的“区间”为， 即函数在区间上的值域为 因为函数在上单调递减， 所以，即，， 即为方程的两根， 又 所以， 因为， 所以， 即“区间”为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 3.2.1单调性与最大（小）值 课程标准 学习目标 ①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． ②掌握定义法证明函数单调性的步骤． ③掌握函数单调区间的写法. ④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. ⑤.会借助单调性求最值. ⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值． 通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值. 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【即学即练1】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练2】（23-24高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是 ． 题型01定义法判断或证明函数单调性 【典例1】（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知函数过点 (1)求的解析式; (2)证明函数在上单调递增. 【典例2】（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，且． (1)求a的值； (2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断． 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【变式2】（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)用定义法证明在上单调递增. 题型02求函数单调区间 【典例1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【典例2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【变式1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【变式3】（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数在区间A上是减函数，那么区间A是 . 题型03复合函数单调区间 【典例1】（23-24高一上·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为 ． 【变式1】（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． 题型04根据函数的单调性求参数 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数不是单调函数，则实数的取值范围是 . 题型05根据函数的单调性解不等式 【典例1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是 . 【变式1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是 ． 【变式2】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 题型06根据单调性（图象）求最值或值域 【典例1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（    ） A．[0，4] B．[，2] C．[，2] D．[1，2] 【典例2】（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)写出函数图象的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式2】（23-24高一上·北京·阶段练习）某班“数学兴趣小组”对函数（为常数）的图象和性质进行了探究，探究的部分过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， ． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． 观察函数图象发现：函数的值域为 ． 题型07根据函数的最值（值域）求参数 【典例1】（多选）（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（    ） A．4 B． C．4 D． 【典例2】（23-24高一上·广东中山·期中）已知函数． (1)用函数单调性的定义证明：在上是单调递增； (2)若函数在区间上的值域，求的值． 【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【变式2】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 . 【变式3】（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 题型08二次函数最值问题（含参） 【典例1】（2024高一·全国）已知函数在区间上的最小值是1，则（　　） A．或 B． C． D．或 【典例2】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知二次函数，且. (1)若函数的最小值为，求的解析式； (2)若，求函数在区间上的最小值. 【典例3】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在区间的最小值． 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，定义域为，求其值域． 【变式2】（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知函数 (1)求在上的值域; (2)求在区间上的最大值的最小值. 【变式3】（23-24高一上·北京西城·期中）设，其中． (1)当时，求函数的图象与直线交点的坐标； (2)若函数在上不具有单调性，求的取值范围： (3)当时，求函数的最小值． 题型09函数不等式恒成立问题 【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的值； (2)时，恒成立，求实数x的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)设，试比较的大小，并说明理由； (2)若关于x的不等式在其定义域上恒成立，求实数m的取值范围. 【变式3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 题型10函数不等式有解问题 【典例1】（23-24高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 . 【典例3】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为-1. (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高三上·江苏·阶段练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 . 【变式2】（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 题型11重点方法（分类讨论） 【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数. (1)若的单调递减区间是，求a的值. (2)若关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； (3)若，求关于x的不等式的解集. 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知函数． (1)若的最大值为0，求实数a的值； (2)设在区间上的最大值为，求的表达式； (3)令，若在区间上的最小值为1，求正实数a的取值范围． 题型12数学思想方法（数形结合） 【典例1】（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递减区间. 【变式1】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知二次函数 的图象过原点，且满足 .    (1)求的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出其单调递增区间； (3)对于任意，函数在上都存在一个最大值，写出关于的函数解析式. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（    ） A． B．3 C． D．1 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数在是单调增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·贵州黔东南·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·上海·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知表示，中的最大数，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D．2 8．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数（为常数），则的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   10．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若函数在上不单调，则实数的值可以是（    ） A．-6 B．-4 C．0 D．4 三、填空题 11．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 12．（23-24高三·全国·对口高考）已知函数．若，那的最大值是 ．（注意：表示最小值） 四、解答题 13．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性，并证明； (2)求函数在区间上的值城． 14．（17-18高一上·宁夏石嘴山·期中）已知函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)若且函数在上的值域为，求的值. B能力提升 1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·全国·期中）若对，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知a为实数，函数，． (1)设，，若函数的最大值等于2，求a的值； (2)若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； (3)设，求的最小值． C新定义题型 1．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（    ） A．可看作一个定义域和值域均为的函数 B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值 C．对任意正整数，都有 D． 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； (2)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (3)求函数在内的“区间”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$