2.4.1圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 [目标导航] 课标要求 1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征 2.能根据所给条件求圆的标准方程 3.掌握点与圆的位置关系 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 当堂即练·素养达成 1.圆 新知导学·素养启迪 新知梳理 2.点与圆的位置关系 位置关系 几何法 图示 代数法 点在圆外 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2 点在圆上 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2 点在圆内 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2 > > = = < < 教材拓展 (1)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2. (2)圆的常用几何性质: ①圆的弦的垂直平分线过圆心; ②两条弦的垂直平分线的交点为圆心; ③圆心与切点的连线垂直于切线; ④圆心到切点的距离等于圆的半径; ⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形; ⑥直径所对圆周角为直角. 小试身手 1.以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是　　　　　　　　.  解析:以原点为圆心,2为半径的圆,其标准方程为x2+y2=4. 答案:x2+y2=4 2.(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是　 .  解析:结合圆的方程的标准形式可知,圆的圆心坐标为(2,-1). 答案:(2,-1) 答案:点P在圆外 3.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是　　　　　　　　.  解析:将点P的坐标代入圆的方程,有 (-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外. 4.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0上的圆的方程是 .  答案:(x-1)2+(y-1)2=4 课堂探究·素养培育 探究点一 求圆的标准方程 [例1] 求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为(3,4)且经过坐标原点; (2)经过A(3,1),B(-1,3)且圆心在直线3x-y-2=0上. 解析:(1)设圆心为(0,a),则圆的方程为x2+(y-a)2=2,将点(1,-2)代入圆的方程得12+(-2-a)2=2,解得a=-1或a=-3. 所以圆的方程为x2+(y+1)2=2或x2+(y+3)2=2.故选C. (2)与圆(x-1)2+(y+2)2=1关于原点对称的圆的方程为(　　) A.(x-1)2+(y-2)2=1 B.(x+1)2+(y+2)2=1 C.(x+1)2+(y-2)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=1 解析:(2)圆心坐标为(1,-2),半径为1, 则圆关于原点对称的圆,实质是圆心的对称, 则对应圆的圆心坐标为(-1,2),半径为1, 即对应圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=1,故选C. 方法总结 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:几何法和待定系数法. (1)几何法:由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,然后代入标准方程即可. (2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法,一般步骤是: ①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解—解方程组,求出a,b,r; ④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程. 探究点二 点与圆的位置关系 变式训练2-1:在本例的条件下,若点A(a,a-1)在此圆的外部,则实数a的取值范围是　 .  解析:由题意得(a-2)2+(a-1)2>25, 即a<-2或a>5. 答案:(-∞,-2)∪(5,+∞) 即时训练2-1:若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是 (　　) A.(25,+∞) B.(5,+∞) C.(0,25) D.(0,5) 方法总结 点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系. 数学窗 对圆心位置考虑不全导致漏解 [典例] 已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程. 错因分析:由题意知,|OC|=3,C在x轴上,则C可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上,错解只考虑了在x轴正半轴上的情况. 答案:(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25 即时训练:圆心在x轴,半径为5,且过点 A(2,-3)的圆的标准方程为 .  当堂即练·素养达成 当堂即练 D C 解析:因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P在圆内. 3.与圆(x-2)2+(y+3)2=16圆心相同且过点P(-1,1)的圆的方程是　 .  解析:圆(x-2)2+(y+3)2=16的圆心为(2,-3), 设所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2, 由点P(-1,1)在圆上可知(-1-2)2+(1+3)2=r2, 解得r2=25. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 答案:(x-2)2+(y+3)2=25 4.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是　 .  课堂小结 1.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r,达成培养数学运算核心素养的目的. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,达成培养直观想象和逻辑推理核心素养的目的. 点击进入 课时作业 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=. 解析:线段AB的中垂线方程为y=x, 则圆心坐标(x,y)应满足所以x=y=1, 半径r==2, 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 解:(1)设半径为r,因为圆心(3,4),又圆过坐标原点, 所以r==5, 所以圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25. 解:(2)法一　设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 依题意得即 解得所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y-4)2=10. 法二　直线AB的斜率k==-,可知AB垂直平分线m的斜率为2. A,B中点的横坐标和纵坐标分别为x==1,y==2. 因此m的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 又圆心在直线3x-y-2=0上,所以圆心为这两条直线的交点, 联立方程组得设圆心为C,所以圆心坐标为(2,4). 又半径r=|CA|=,则所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10. 法三　设圆心为C,因为圆心在直线3x-y-2=0上,故可设圆心C的坐标为(a,3a-2). 又因为|CA|=|CB|. 故=, 解得a=2, 所以圆心为(2,4),半径r=|CA|=. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10. 即时训练1-1:(1)圆心在y轴上,半径长为,且过点(1,-2)的圆的方程为(　　) A.x2+(y+1)2=2 B.x2+(y-3)2=2 C.x2+(y+1)2=2或x2+(y+3)2=2 D.x2+(y-1)2=2或x2+(y-3)2=2 [例2] 已知A(-1,4),B(5,-4).求以AB为直径的圆的标准方程,并判断C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系. 解:设圆心为M(x0,y0),半径为r, 由题意得得所以圆心M(2,0). 又r==5,所以圆的方程为(x-2)2+y2=25. 又|MC|2=(5-2)2+12=10<r2, 所以C在圆内. 又|MD|2=(6-2)2+(-3-0)2=25=r2, 所以D在圆上. 又|ME|2=(-5-2)2+(1-0)2=50>r2, 所以E在圆外. 解析:根据题意,圆(x-3)2+(y+4)2=m的圆心为(3,-4),半径为, 必有m>0, 若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部, 则有(0-3)2+(0+4)2>m,则有m<25. 综合可得0<m<25.故选C. 错解:如图,由题设知|AB|=8,|AC|=5. 在Rt△AOC中,|OC|===3. 所以C点坐标(3,0), 所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=25. 正解:法一　由题意设|AC|=r=5,|AB|=8,所以|AO|=4. 在Rt△AOC中, |OC|===3, 如图所示. 设点C坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3, 所以a=±3.所以圆心坐标为(3,0)或(-3,0). 所以所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25. 法二　由题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=25. 因为圆截y轴所得线段长为8, 所以圆过点A(0,4). 代入方程得a2+16=25,所以a=±3, 所以所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25. 解析:设圆心在x轴上,半径为5的圆的标准方程为(x-a)2+y2=52. 因为点A在圆上,所以(2-a)2+(-3)2=25. 所以a=-2或a=6. 故所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25. 1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别为(　 　) A.(-2,3),1 B.(2,-3),3 C.(-2,3), D.(2,-3), 2.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)(　 　) A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外 解析:由题意得A(0,3),B(-4,0),AB的中点(-2,)为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+2)2+(y-)2=. 答案:(x+2)2+= $$