第二章一元二次方程 达标测试卷2024-2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程 达标测试卷 一、单选题 1．若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．方程x2＝x的解为（　　） A．x＝1 B．x＝±1 C．x＝0或1 D．x＝0 3．已知一元二次方程，使方程无实数解的a的值可以是（　　） A． B． C．1 D．0 4．方程 的根为（　　） A． B． C． ， D． ， 5．下列方程中有两个相等的实数根的是（　　） A．x2=1 B．（x+1）2=0 C．x2+1=0 D．2（x+1）=0 6．—元二次方程 的解的情况是（　　） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数 D．有两个不相等的实数根 7．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　） A．x2﹣2x=5 B．x2+4x=5 C．2x2﹣4x=5 D．4x2+4x=5 8．如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的最小整数值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．方程x2+5x＝0的解为　 　． 12．方程x2﹣4x＝0的实数解是　 　. 13．关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是　 　. 14．设关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是　 　. 三、解答题 15．解方程 （1）x2﹣7x+6=0 （2）（5x﹣2）2=3（5x﹣2） （3）3x2+8x﹣3=0（用配方法） （4）x2﹣2 x+2=0（用公式法） 16．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 17．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽． 18．边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。 19．定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝-10，x2＝-3，因为-10＜-3＜0，，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝-1，求k的值． 四、综合题 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2x+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值． 21．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，2、3目销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）若“冰墩墩”每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”价格在3月的基础上，每个降价1元，销售量可增加5个，当“冰墩墩”每个降价多少元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元？ 22．某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为． （1）为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？ （2）在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？ 23．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式 的最大整数解，线段OB的长是一元二次方程 的一个根，将 沿BE折叠，使AB边落在OB边所在的y轴上，点A与点D重合． （1）求OA、OB的长； （2）求直线BE的解析式； （3）在平面内是否存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 【解析】【解答】解：x2＝x 移项，得x2－x＝0 分解因式，得x（x－1）＝0 解得x1＝0，x2＝1. 故答案为：C. 【分析】由题意将方程化为一般形式，再提公因式把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一元二次方程无实数解， ∴， ∴， ∴a的值可以是， 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解。当方程无实数根时，由判别式小于0可求得a的取值范围． 4．【答案】C 【解析】【解答】移项得2x（x-3）-5（x-3）=0，分解因式得（2x-5）（x-3）=0，所以2x-5=0或x-3=0，解得 ， ． 故答案为：C． 【分析】运用十字交叉法分解因式解一元二次方程。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、方程整理得：x2﹣1=0， 这里a=1，b=0，c=﹣1， ∵△=b2﹣4ac=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意； B、方程整理得：x2+2x+1=0， 这里a=1，b=2，c=1， ∵△=b2﹣4ac=0， ∴方程有两个相等的实数根，本选项符合题意； C、这里a=1，b=0，c=1， ∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0， ∴方程没有实数根，本选项不合题意； D、2x+2=0为一元一次方程，只有一个解，本选项不合题意， 故选B 【分析】各选项中的方程整理为一般形式，找出方程中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根的判别式值为0即满足题意． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ ， ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是x2+4x=5， 故选B 【分析】利用完全平方公式判断即可． 8．【答案】D 【解析】【解答】根据题意，一元二次方程没有实数根 则 即 解得 k的最小整数值是3 故选：D。 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，方程没有实数根则判别式一定小于0，即，由此计算出k的取值范围，进而找到符合条件的值。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：， 方程移项得：x2+4x=3， 配方得：x2+4x+4=7， 即（x+2）2=7. 故答案为：C. 【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：设因为 把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处 ，由折叠关系可得：，因为，则，，因为 把沿直线折叠，使点落在线段上的点处 ，所以由折叠关系有：， 又因为四边形为矩形，所以：，则在中，由勾股定理得： ，即，解得：（舍去）；故，所以矩形的面积：. 故答案为：A. 【分析】首先设，由折叠的关系可以得到：，，还可计算出： ，然后在中运用勾股定理解出x，然后根据矩形的面积公式进行求解即可. 11．【答案】x1＝0，x2＝-5 【解析】【解答】解：∵x2+5x＝0 ， ∴x（x+5）=0， 解得：x1＝0，x2＝-5， 故答案为：x1＝0，x2＝-5 . 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可. 12．【答案】或 【解析】【解答】解：∵ ∴方程的实数解为或 故答案为：或. 【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且缺一次项，所以方程的左边易于利用提取公共因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可. 13．【答案】k≥ 【解析】【解答】解：当k＝0时，方程为3x−1＝0，有实数根； 当k≠0时，△＝b2−4ac＝9＋4k≥0， 解得：k≥ ， 综上可知，当k≥ 时，方程有实数根； 故答案为k≥ . 【分析】分当k＝0时，当k≠0时两种情况分类讨论即可。 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有两个不相等的实数根 ∴＞0， ∴ (-5a+2)(7a+2)＞0 ∴，解得 或无解 ∵ ∴ 即 ∴ 9-（-）+1＜0 解得： 综上，a的取值范围是 故答案 为：. 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的应用及解不等式及不等式组等知识，熟练掌握两根之和，两根之积，根的判别式是解题关键。由方程及两个不相等的实数根可得；＞0，可得；由得，则，可得，则a的范围可知. 15．【答案】（1）解： 或 解得： 或 （2）解： 则 或 解得： 或 （3）解： 即 则 （4）解： 则 【解析】【分析】（1）利用因式分解——十字相乘法解方程即可. （2）利用因式分解——提公因式法解方程即可. （3）利用移项、二次项系数化为1、配方、开方、求解的步骤解方程即可. （4）先确定a、b、c的值，然后求出△=0，最后代入求根公式即可. 16．【答案】（1），且 （2） 17．【答案】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得（2x+6）（2x+8）=80． 整理得：x2+7x﹣8=0， ∴（x﹣1）（x+8）=0， 解得：x1=1，x2=﹣8（不合题意，舍去）． 答：金色纸边的宽为1分米． 【解析】【分析】设金色纸边的宽为x分米，则矩形挂图的长为（2x+8）分米，矩形挂图的宽为（2x+6）分米，根据矩形挂图的面积=矩形挂图的长矩形挂图的宽得出方程求解检验即可。 18．【答案】解：设直角边为a，b（a<b），则a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数，故△=（k+2）2-16k为完全平方数。 设(k+2)2-16k=n2∴k2-12k+4=n2∴(k-6)2-n2=32 ∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8 ∵k+n-6>k-n-6 ∴ 解得 ，k2=15，k3=12 当k2=15时，a+b=17，ab=60 ∴a=15 ， b=12 ， c=13；当k=12时，a+b=14，ab=48 ∴a=6 ， b=8 ，c=10 【解析】【分析】根据方程的根为整数，得到根的判别式为平方数，然后进行讨论求出k值，得到三角形三边的长．根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，所以判别式是平方数，讨论求出k的值．然后求出直角三角形三边的长． 19．【答案】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下： （x+2）（x+7）＝0， 解得x1＝-7，x2＝-2， ∵3＜＜4， ∴方程为“限根方程” （2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝- ∵x1+x2+x1x2＝-1， ∴-+＝-1， ∴k＝2或-1； ①当k＝2时，x1＝-，x2＝-1， ∴3＜＜4， ∴k＝2符合题意； ②当k＝-1时，x1＝-2，x2＝-1， ∴＝2， ∴k＝-1（不合题意，舍去）． ∴k的值为2． 【解析】【分析】（1）根据"限根方程"的定义，即可得出答案； （2）首先利用根与系数的关系求得k的值为2或-1，然后分成两种情况，分别求得方程的两根，根据"限根方程"的定义，进行判断，可得出当k=-1时，方程不是"限根方程"，故而得出答案为：k=2. 20．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0， 解得：k＞﹣ ； （2）解：当k=1时，方程为x2+3x+1=0， ∵x1+x2=﹣3，x1x2=1， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7． 【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；（2）将k=1代入方程，由韦达定理得出x1+x2=﹣3，x1x2=1，代入到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2可得． 21．【答案】（1）25%； （2）4 22．【答案】（1）长为10米，宽为8米 （2）1米 23．【答案】（1）解：∵5x-4＜3（x+2）， 5x-4＜3x+6， 2x＜10， x＜5， ∴OA=4， ∵x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0， x-3=0，x+1=0， x=3，x= 1， ∴OB=3， 答：OA=4，OB=3； （2）解：在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5， ∵OB=3， ∴B（0，3）， 设OE=x， ∵将Rt△ABO沿BE折叠，使AB边落在OB边上，A与D重合， ∴DE=AE，BD=AB=5， ∴DE=AE=4-x，OD=5-3=2， 在Rt△OED中，由勾股定理得：22+x2=（4-x）2， 解得：x= ， 即E的坐标是：（ ，0）． 设直线BE的解析式是y=kx+b， ∵把B、E的坐标代入得： ， 解得：k=-2，b=3， ∴直线BE的解析式是：y=-2x+3； （3）存在， ； ； 【解析】【解答】解：（3）如图所示： 在平面内存在点M，使B、O、E、M为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标是（ ，3）或（ ，3）或（ ， 3）． 【分析】（1）求出不等式的解集，求出OA，求出方程的解，得出OB；（2）根据对折得出DE=AE，BD=AB=5，设OE=x，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程22+x2=（4-x）2，求出x，得出E的坐标，设直线BE的解析式是y=kx+b，把B、E的坐标代入求出即可；（3）分别以OB、BE、OE为对角线，得出符合条件的四边形有三个，根据B、E的坐标即可求出M的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$