2.2.2直线的两点式方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程 [目标导航] 课标要求 1.掌握直线的两点式方程和截距式方程,以及各自的适用条件 2.会选择适当的方程形式求直线方程 3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题 新知导学·素养启迪 课堂探究·素养培育 当堂即练·素养达成 新知导学·素养启迪 1.直线的两点式方程 (1)已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2) . 新知梳理 这就是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线的方程,把它叫做直线的两点式方程,简称两点式. (2)在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,则直线P1P2没有两点式方程.当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线P1P2垂直于y轴,直线方程为y-y1=0,即y=y1. 2.直线的截距式方程 (1)把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b. 截距式方程 截距式 小试身手 1.经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程是　　　　　　　.  答案:x+y-1=0 2.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线的截距式方程是　　　　　　.  答案:x-4y+2=0 3.经过点(2,1),在x轴上的截距是-2的直线方程是　　　　　　　　.  4.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形面积是　　　　.  课堂探究·素养培育 探究点一 [例1] 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC边所在的直线的方程; (2)BC边上中线所在的直线的方程. 直线的两点式方程 思路点拨:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程. 变式训练1-1:本例的已知条件不变,求AC边所在的直线方程. 变式训练1-2:本例的已知条件不变,求AC边上中线所在的直线方程. 方法总结 用两点式写出直线的方程,但要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程. 探究点二 直线的截距式方程 思路点拨:先由AB的中点坐标求出A,B两点坐标,再由截距式写出直线方程. [例2] 已知直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程. 即时训练2-1:求过点A(3,4),且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 方法总结 在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两截距的方程,解得截距的值,从而确定方程. 易错警示:在使用截距式时,不要忽略截距为0的情况. 探究点三 直线与坐标轴围成的图形面积 [例3] 直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程. 思路点拨:可设出直线l的截距式方程,再根据直线l过点A(-2,3)及与两坐标轴围成的三角形面积为4,求出两截距,从而得方程.也可设出直线l方程的点斜式,再求出在两坐标轴上的截距,利用面积求出斜率,从而得方程. 即时训练3-1:已知直线l经过点(1,6)和点(8,-8). (1)求直线l的两点式方程,并化为截距式方程; (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 方法总结 涉及直线与坐标轴围成的面积问题,往往用直线在坐标轴上的截距解答. 数学窗 忽视截距为0的情形 [典例] 已知直线l过点P(2,-1),且在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程. 错因分析:错解忽略了直线l过原点时的情况. 纠错心得:如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m(m>0)倍”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的情况. 1.过点(2,5),(2,-6)两点的直线方程是(　 　) A.x=2 B.y=2 C.x+y=5 D.x+y=-6 当堂即练·素养达成 当堂即练 A 解析:过这两点的直线与x轴垂直,所以直线方程是x=2.故选A. A 2.A,B两点的坐标分别为(3,1)和(1,3),则线段AB的垂直平分线方程为 (　 　) A.y=x B.y=-x C.x+y-4=0 D.x-y+4=0 3.过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　 　) A.x+y=5 B.x-y=5 C.x+y=5或x-4y=0 D.x-y=5或x+4y=0 C 答案:3 课堂小结 2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形,用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便,达成了培养直观想象核心素养的目的. 点击进入 课时作业 = (2)方程+=1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定,把方程+=1叫做直线的 ,简称 . 解析:由两点式写出直线方程=⇔=-, 即x+y-1=0. 解析:由截距式,得所求直线的方程为+=1. 答案:+=1 解析:因为直线过点(2,1)和(-2,0), 所以其方程为=, 即x-4y+2=0. 解析:直线在两坐标轴上的截距分别为与,所以直线与坐标轴围成的三角形面积为. 答案: 解:(1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得=, 化简得2x+y+3=0. (2)由中点坐标公式,得BC的中点D的坐标为(,),即D(-1,-1). 又直线AD过点A(-4,0), 由两点式方程得=,化简得x+3y+4=0. 解:由两点式方程得=,化简得x-2y+4=0. 解:由中点坐标公式得AC边的中点E(-3,), 中线BE所在的直线方程为=,化简得7x+6y+18=0. 解:由题意,可设A(a,0),B(0,b). 由中点坐标公式,可得解得 故A(8,0),B(0,2).由直线方程的截距式得直线l的方程为+=1, 即x+4y-8=0. 解:(1)当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且不为0时,可设直线l的方程为+=1. 又直线l过点A(3,4),所以+=1,解得a=-1. 所以直线l的方程为+=1,即x-y+1=0. (2)当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且为0时, 直线l的方程为y=x, 即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 解:法一　由题意可知直线l的方程为+=1(ab≠0), 则有 解得或所以直线l的方程为+=1或+=1, 即x+2y-4=0或9x+2y+12=0. 法二　由题意得,设l的方程为y-3=k(x+2), 令x=0,得y=2k+3;令y=0,得x=--2, 由题意得|(2k+3)(--2)|=4,解得k1=-,k2=-. 故所求直线方程为y-3=-(x+2)或y-3=-(x+2). 即x+2y-4=0或9x+2y+12=0. 解:(1)因为直线l的两点式方程为=, 所以=,即=x-1. 所以y-6=-2x+2,即2x+y=8.所以+=1. 故所求截距式方程为+=1. 解:(2)如图所示,直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB, 且OA⊥OB,|OA|=4,|OB|=8, 故S△AOB=×|OA|×|OB|=×4×8=16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 错解:由题意,设直线l的方程为+=1(a≠0), 因为直线l过点(2,-1),所以+=1, 所以a=1,则直线l的方程为x+y-1=0. 正解:设直线l在两个坐标轴上的截距都为a, 若a=0,则直线l过原点,其方程为x+2y=0; 若a≠0,则直线l的方程可设为+=1, 因为直线l过点(2,-1),所以+=1, 所以a=1,则直线l的方程为x+y-1=0. 综上所述,直线l的方程为x+2y=0或x+y-1=0. 解析:由题意知,直线AB的斜率为k==-1,所以线段AB的垂直平分线的斜率是1,AB的中点为(2,2),所以线段AB的垂直平分线的方程是y-2=x-2,所以x-y=0, 所以线段AB的垂直平分线方程为y=x.故选A. 解析:当直线过点(0,0)时,直线方程为y=x, 即x-4y=0. 当直线不过点(0,0)时,可设为+=1, 把(4,1)代入,可解得a=5, 所以直线方程为x+y-5=0. 综上可知直线方程为x+y-5=0或x-4y=0. 故选C. 4.直线y=x-2与两坐标轴围成的三角形的面积是　　　　.  解析:令x=0,得y=-2;令y=0,得x=3. 故直线y=x-2与两坐标轴围成的三角形的面积是×3×2=3. 1.直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式=求它的方程,此时直线的方程分别是x=x1和 y=y1,而它们都适合(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),即两点式的整式形式,从而达成了培养数学抽象核心素养的目的. $$