23.4 中位线课件-2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

23.4 中位线 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 学习目标 1.理解中位线的概念和性质.（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题.（重、难点） 3.经历三角形中位线的性质定理及推导过程.（难点） 情境导入 如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接测量，怎么办？ A B 在A、B外选一点C，连结AC、BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了.这是什么道理呢？ C D E 知识讲解 知识点1 中位线的性质及应用 我们在推理预备定理时，由DE∥BC推得 那么当点D是AB的中点时，利用该比例式容易推知点E是AC的中点，并且DE= BC. 知识讲解 知识点1 中位线的性质及应用 我们在推理预备定理时，由DE∥BC推得 点D是AB的中点 点E是AC的中点 以及DE与BC的数量关系？ 画画看，你能有什么猜想？ 猜想 DE∥BC，且DE= BC. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想： 该怎样证明呢？ 证明：△ABC中， ∵点D、E分别是AB与AC的中点， ∴. ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠ABC， ∴DE∥BC，且DE=BC. 演绎推理证明 概括 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有： 三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的 一半. 例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE、DF互相平分. 证明：连结DE、EF. ∵AD=DB，BE=EC，∴DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的 一半). 同理可得EF∥BA. ∴四边形ADEF是平行四边形，∴AE、DF互相平分. 随堂小测 1.在△ABC中，BC=4，D、E分别为AB、AC的中点，则DE=______. 2 2.已知，三角形的各边分别为6 cm，8 cm，10 cm，则连结各边中点所成三角形的周长为______. 12 cm 例2 证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC，(三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的 一半)， ∴△ACG∽△DEG，∴，∴. 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证： 知识讲解 知识点2 重心的性质 如果在例2图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如右图，那么我们同理可得 拓展 即两图中的点G与点G′是重合的. 于是，我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 数学上的“重心”与物理上的“重心”是一致的. 随堂小测 如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为_______． 12 当堂检测 1.如图，DE 是△ABC 中位线 （1）若∠ADE = 60°，则∠B =______度，为什么？ （2）若 BC = 8 cm，则 DE =______cm，为什么？ 60 4 A B C D E 2．如图所示，已知G为直角△ABC的重心，∠ABC=90°，且AB＝12 cm，BC＝9 cm，则△AGD的面积是 （　　） A．9 cm2 B．12 cm2 C．18 cm2 D．20 cm² A 3.在△ABC 中，中线 CE、BF 相交点 O，M、N 分别是 OB、OC 的中点，则 EF 和 MN 的关系是_______________. 平行且相等 4.求证：顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形. 解：已知，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 证明：连接 AC. ∵AH = HD，CG = GD，∴HG∥AC，HG = AC. 同理 EF∥AC，EF = AC.∴HG∥EF，HG = EF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 5.如图，在△ABC中，P是中线AD的中点，连接BP并延长交AC于点E，F为BE的中点，求证：AF∥DE． 证明：∵BD＝DC，BF＝FE， ∴DF∥AE，∴∠PAE＝∠PDF. 又∵PA=PD，∠APE=∠BDP， ∴△APE≌△DPF，∴PE＝PF. ∵PA＝PD，∴四边形AFDE为平行四边形， ∴AF∥DE． 课堂小结 1.我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有： 三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的 一半. 2.三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $$