[小升初典型培优]抽屉原理(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

抽屉原理 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 一、抽屉原理的基本概念: 抽屉原理也被称为鸽巢原理。如果有n+1个物体放到个n抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。 二、抽屉原则： 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 三、常见的两种表述 把多于n个的物体放到个抽屉里，则至少有一个抽屉里的物体不少于两个。 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。 【典例1】上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例． 【答案】解：因为只有男生或女生两种情况，所以第1行的7个位置中至少有4个位置同性别．为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生．又第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩形．所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别．问题得证． 【思路分析】因为只有两种性别，则每行至少有4人同性别，不妨让第一行前四个位置为男生，若第二行前四个位置有两个男生，则题目中情况存在；若第二行前三个位置是女生，那么第三行的前三个位置必定有两个同性别的，据此解答即可。 【典例2】一个口袋里有红球、黄球、白球和花球四种颜色的球，小阳闭着眼睛，每次摸出一个球，他想摸出两个颜色相同的球，至少要摸多少次才能一定达到要求？ 【答案】一共有四种颜色的球，当每次摸出的球颜色都互不相同时，摸到第5个时，一定会和前面摸出的四个球其中的一个颜色相同，这样就可以保证一定有两个颜色相同的球了． 答：至少要摸5次才能一定达到要求。 【典例3】学校成立了音乐、舞蹈、剪纸社团，第一小组有8名同学报了这三个社团中的一个或几个。那么，这8个人中至少有几个人所报的社团是完全相同的? 【答案】8÷7=1（个）……1（个）， 至少：1+1=2（个）. 答：这8人中至少有2个人所报的社团是完全相同的. 【思路分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，先弄清有几个抽屉，根据条件“ 学校成立了音乐、舞蹈、剪纸社团，第一小组有8名同学报了这三个社团中的一个或几个 ”可知，可能报的社团分别是：①音乐社团、②舞蹈社团、③剪纸社团、④音乐和舞蹈社团、⑤音乐和剪纸社团、⑥舞蹈和剪纸社团、⑦音乐、舞蹈、剪纸社团，8÷7=1（个）……1（个），至少有2人所报的社团是完全相同的. 【典例4】六(1)班有40名同学表演节目，老师为他们准备了一些气球，至少要准备多少个气球，才能保证至少有一个同学能拿到两个或两个以上的气球?为什么? 【答案】至少要准备41个气球。 将40名同学看作40个“鸽笼”，要保证1名同学至少能拿到两个或两个以上的气球，气球的个数至少为40+1=41(个)。 【思路分析】根据题意可知，将40名同学看作40个“鸽笼”，要保证1名同学至少能拿到两个或两个以上的气球，气球的个数至少比人数多1即可. 【典例5】一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现从石子堆中任意选出六堆，其中至少有两堆石子数之差是5的倍数，你能说一说他的结论对吗？为什么？ 【答案】解：把六堆石子数看成是任意六个自然数，它们被5除，其余数有0，1，2，3，4五种可能。如果把每一种余数看成是一个“抽屉”，那么余数相同的两数就在同一“抽屉”里。根据抽屉原理，六个自然数被5除后必有两个余数是相同的，显然这两个数之差是5的倍数。因此结论是正确的。 【思路分析】根据抽屉原理，灵活运用公式解决问题。 1．几个要好的朋友去A、B、C三个景点游玩，每人只游览其中两个景点，不管他们怎样安排游览方案，都至少有4个人游览的景点完全相同．请问至少有几人去游玩？ 2．六（2）班有40名同学，通过同学推荐选出了班长候选人小丁和小陈。现在全班同学进行公开投票选举（40名同学每人投一票，不弃权），得票多者胜出。投票统计到某一阶段，已知小丁得了7票，小陈得了15票。小陈至少要再得几票才能保证在此次选举中胜出？ 3．某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有多少人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同? 4．现有10吨货物，分装在若干箱内，每箱不超过一吨，现调来若干货车，每车至多装3吨，问至少派出几辆车才能保证一次运走？ 5．小东家有三种花纹不同的筷子，小东吃早饭时要去拿一双花纹一样的筷子。假如他闭上眼睛，至少要拿几根筷子，才能保证拿到一双花纹相同的筷子？ 6．宁宁到舅舅家去做客．舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你．盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍．随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？” 7．六（3）班有学生40人，至少有几名同学是在同一个月过生日的?如果他们要从3个候选人中选出班长，那么得票最多的候选人至少会得到多少票?（每人限投 一票，候选人也参与投票） 8．五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？ 9．有黑、红、蓝三种颜色的手套各10只混在了一起，这些手套只要两只颜色相同，即可配成一双。 （1）把眼睛蒙上，至少要拿出几只才能保证能配成1双? （2）至少要拿出几只，才能保证能配成2双? （3）至少要拿出几只，才能保证有2双是相同颜色的? 10．周老师给六（2）班出了两道数学问题，规定做对第一题得3分，做对第二题得4分，没做或做错得0分．已知全班共有68个学生，至少有几个学生得分相同？ 11．东东与好朋友明明、乐乐和津津一起分享水果。如果有10个橘子，一个一个地分，总有一个人至少会分到3个橘子。为什么?如果有15颗桂圆，一颗一颗地分，总有一个人至少会分到4颗桂圆。为什么？ 12．有5050张数字卡片，其中1张上面写着数字“1”，2张上面写着数字“2”，3张上面写着数字“3”…，99张上面写着数字“99”，100张上面写着数字“100”.现在要从中任意取出若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字，至少要抽出多少张卡片？ 13．一个袋子中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球若干，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后剩2个.这个袋中至少有多少个小球？一次至少取几个小球可以保证有两个是同色的？ 14．幼儿园大班小朋友练习口算，他们每人都从1~6这六个数中任选两个来做加法，结果发现至少有7个小朋友所得的和是相等的，那么这个班至少有多少名小朋友？ 15．清江外校是小班额教学，每班人数是40多，在新学期开始该校7年级1班共有43人投票选举班长，每人只能选1人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选．开票中途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？ 候选人 乐乐 喜喜 欢欢 票数 12 10 8 16．学生到图书馆借书，最多可以借5本，最少可借1本．至少有几个同学去借书，就会有两个同学借书的本数一样多？如果有11名同学去借书，至少有几名同学借书的本数一样多？至少有几名同学去借书，就会有4个同学借书的本数一样多？ 17．纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 18．将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类． （1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？ （2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例． 19．把红黄蓝三种颜色的小棒各15根混放在一起，每次至少拿出几根才能保证一定有2根同色的小棒？如果要保证有2对同色的小棒呢？ 20．有黑色、白色、黄色筷子各8根，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少取多少根筷子才能保证达到要求？ 21．把黑、白、蓝、灰四种颜色的袜子各12只混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出几只才能保证一定有一双同色的袜子?如果要保证有两双同色的袜子呢? 22．学校买来红、黄、蓝三种颜色的球．规定每位学生最多可以借一个或两个不同颜色的球，那么至少要有几位学生借球，就可以保证必有两位学生借的球的颜色完全一致？ 23．新兴镇上设置了3只信箱，现在有16封信要发出去，不管这些信怎样投法，必有一只信箱里至少要投进6封信．你知道为什么吗？ 24．一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？ 25．把若干个苹果放进9个抽屉里。不管怎么放，要保证总有一个抽屉里至少放进4个苹果。那么至少应该有多少个苹果? 26．学校图书馆有历史、文艺、科学三种图书，每个学生从中任意借两本，那么至少要几个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 27．一个班有40名学生，现在有课外书125本。把这些书分给这个班的学生，是否定有人会得到4本或4本以上的课外书？ 28．平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上．证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边． 29．教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业． 30．假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？ 1．【答案】游览方案有以下3种：AB、AC、BC． (4－1)×3+1=10(人)． 答：至少有10人去游玩． 【思路分析】把3种游览方案看成3个抽屉，至少有4个人游览景点相同，我们可以根据抽屉原理公式倒着推，即如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞​m，那么必有一个抽屉至少有：①k=[n÷m ]+1个物体：当n不能被m整除时。 2．【答案】解：40÷2+1=21（票） 21-15=6（票） 答：小陈至少要再得6票才能保证在此次选举中胜出。 【思路分析】40人共40票，如果每人都得到20票就是平手，所以要想胜出至少要得到21票，用21减去15即可求出小陈至少要再得的票数。 3．【答案】解：十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有45种不同的报名方法。由鸽巢原理知有 45+1=46(人)报名时满足题意。 【思路分析】9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（种），10项比赛共有45种不同的组合，假如每个组合都有1人报名，共有45人报名，那么再有1人报名，不管是报哪个组合，都会保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同。 4．【答案】解：假设每箱货物的重量相等，10吨=10000千克，3吨=3000千克； (1)分装在11个箱内，10000÷11≈909(千克)﹣﹣每箱的重量； 3000÷909≈3(箱)﹣﹣每辆车最多装几箱； 11÷3≈4(辆)﹣﹣需要汽车的辆数；需要派出4辆车才能保证一次运走； (2)分装在12个箱内，10000÷12≈833(千克)﹣﹣每箱的重量； 3000÷833≈3(箱)﹣﹣每辆车最多装几箱； 12÷3=4(辆)﹣﹣需要汽车的辆数；需要派出4辆车才能保证一次运走； (3)分装在13个箱内，10000÷13≈769(千克)﹣﹣每箱的重量； 3000÷769≈3(箱)﹣﹣每辆车最多装几箱； 13÷3≈5(辆)﹣﹣需要汽车的辆数；需要派出5辆车才能保证一次运走； (4)分装在14个箱内，10000÷14≈714(千克)﹣﹣每箱的重量； 3000÷714≈4(箱)﹣﹣每辆车最多装几箱；14÷4≈4(辆)﹣﹣需要汽车的辆数； 需要派出4辆车才能保证一次运走；综上所述，得出至少派出5辆车才能保证一次运走； 答：至少需要5辆车才能保证一次运走. 【思路分析】要分多种情况考虑，因为每箱不超过1吨，所以至少需要11个箱子，然后计算出每车最多装的箱数，再用总箱数除以每车装的箱数求出需要的车辆数；注意求每箱的质量时用去尾法取整数，求车辆数时用进一法取整数. 5．【答案】3+1=4（根） 答：至少要拿4根筷子，才能保证拿到一双花纹相同的筷子。 【思路分析】从最不利的情况考虑，如果前3次刚好拿出三种花纹的筷子各1根，那么再拿出1根无论是什么花纹，都能保证拿到一双花纹相同的筷子。 6．【答案】解：苹果有：12﹣3=9（个） 柚子有：3÷（1+2）×2 =3÷3×2 =1×2 =2（个） 菠萝有：3﹣2=1（个） 答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个． 【思路分析】根据抽屉原理，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，除苹果以外的其它水果共有3个，可知苹果有12﹣3=9个，又因为柚子的个数是菠萝的2倍，且柚子与菠萝共有3个，可求得柚子有2个，菠萝有1个，据此解答即可． 7．【答案】解：40÷12=3（名）……4（人），3+1=4（名） 40÷3=13（票）……1（票），13+1=14（票） 答：至少有4名同学是在同一个月过生日。得票最多的候选人至少会得到14票。 【思路分析】第一问：一年有12个月，从最不利的情况考虑，如果每个月都有3名同学过生日，那么剩下的4人中的1人无论在哪个月过生日，都至少有4名同学在同一个月过生日； 第二问：如果每个候选人都先得到了13票，那么剩下的1票无论投给谁，得票最多的候选人至少会得到14票。 8．【答案】解：75～95之间的整数有95－75＋1＝21(个) 47－3＝44(名) 44÷21＝2……2 2＋1＝3(名) 答：至少有3名学生的成绩相同。 【思路分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，解题的关键是弄清抽屉数量，根据条件“ 成绩都是整数，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间 ”，可以计算出75～95之间的整数有几个，也就是有几个抽屉，然后用总人数-3=剩下的学生总数，将剩下的学生总数放入抽屉中，根据抽屉原理的解题方法：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n=b……c，那么有一个抽屉至少放（b+1）个物体，据此解答. 9．【答案】（1）至少拿出4只才能保证能配成1双。 （2）至少拿出6只，才能保证能配成2双。 （3）至少拿出10只，才能保证有2双是相同颜色的。 【思路分析】（1）此题主要考查了抽屉原理的应用，考虑最差情况：因为有3种颜色的手套，假设只拿3只，可能是黑、红、蓝各一只，如果再多拿一只，一定会是这三种颜色中的一种，一定能配成1双，据此解答； （2）此题主要考查了抽屉原理的应用，考虑最差情况：因为有3种颜色的手套，假设只拿3只，可能是黑、红、蓝各一只，如果再多拿一只， 则第四只无论如何就是有两只同色的（假设是黑色），第五只要是抽到蓝或红就有两双了，要是运气不好抽到黑色则还要再抽，第六只无论是什么颜色都能配成2双，据此解答； （3）此题主要考查了抽屉原理的应用，考虑最差情况：假设只摸出9只，可能是摸出3只黑的，摸出3只红的，摸出3只蓝的，以上摸出的9只手套中都不能配成两双相同颜色的手套，都只有一双半，再摸第10只手套，必能配成两双相同颜色的手套，所以，至少摸出10只， 才能保证有2双是相同颜色的. 10．【答案】解：把4种得分情况看做4个抽屉，68个学生看做68个元素，考虑最差情况：使每个抽屉的元素数尽量平均： 68÷4=17（个）； 答：至少有17个同学得分相同． 【思路分析】所有的得分情况有：全做对得7分，只做对第一题得3分，做对第二题得4分，两题都不对得0分，共有4种得分情况；把这四种得分情况看做4个抽屉，利用抽屉原理即可解答． 11．【答案】解：10÷4=2（个）……2（个），2+1=3（个） 15÷4=3（颗）……3（颗），3+1=4（颗） 答：因为如果每人各分到2个橘子，那么剩下的2个橘子无论分给谁，总有一个人至少会分到3个橘子。如果每人各分到3颗桂圆，那么剩下的桂圆无论分给谁，总有一个人至少会分到4颗桂圆。 【思路分析】从最不利的情况考虑，假如每人分到的个数相同，那么还会有剩余，把剩余的个数中的1个分给谁，都能保证分到的个数比每人分到的个数多1。 12．【答案】解：最不利情形是写着1到9的全抽了，写着10到100的各抽了9张，则只要再任抽一张，就能保证抽出的卡片至少有10张的数字完全相同，至少要抽：1+2+…+9+（100一10+1）×9+1=45+819+1=865（张） 答：至少要从中抽出865张，才能确保在抽出的卡片中至少10张卡片上的数字完全相同。 【思路分析】考虑最不利的原则，1到9的全抽了，共抽了45张。后面的10到100共91个数字，每个数字都抽了9张，共抽了819张，最后再抽一张，不论抽到的是哪个数字，都能确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字。 13．【答案】解：5和7的最小公倍数是35，35＋2=37(个)，符合每次取3个最后剩1个的条件，所以这个袋中至少有37个小球.至少取4＋1=5个球. 答：至少有37个小球，一次至少取5个球可以保证有两个是同色的. 【思路分析】球的个数一定是5和7的公倍数加上2，先求出5和7的最小公倍数加上2，然后判断球的个数除以3是不是还剩1个，这样就能判断出球至少的个数；因为有4种颜色，假如前面4次取到的是4个不同颜色的球，那么再取1次无论是什么颜色都能保证与其它球的颜色相同. 14．【答案】解：9×6=54（名） 54+1=55（名） 答：这个班至少有55名小朋友。 【思路分析】1+2=3、1+3=4、1+4=5、1+5=6、1+6=7、2+3=5、2+4=6、2+5=7、2+6=8、3+4=7、3+5=8、3+6=9、4+5=9、4+6=10、5+6=11，所以从1~6这六个数中任选两个来做加法，和可以是3、4、5、6、7、8、9、10、11这9种情况，考虑最不利原则，这9种情况每种情况都有6个小朋友的和是相等的，共54人，第55个人不论和是多少，都是这9种情况中的一种，至少有7个小朋友所得的和是相等的。 15．【答案】解：43﹣30=13（票） 12﹣10=2（票） （13﹣2）÷2， =11÷2 =5（票）…1（票） 5+1=6（票）； 答：乐乐至少还要6票，才能保证一定当选． 【思路分析】根据题意知一共43票，已经计了30票，还有43﹣30=13票没计，现在乐乐得了12票，喜喜得了10票，只要小刚得到的票数比喜喜多1票才能 当选．用剩下的票减去乐乐比喜喜多的（12﹣10）=2票，再除以2，得到的商是两人再得多少票就一样，把剩下的票数给乐乐，就能当选． 16．【答案】借的本数可以有1本、2本、3本、4本、5本共5种情况． ⑴5＋1=6(人)； ⑵11÷5=2……1，2＋1=3(人)； ⑶3×5＋1=16(人)． 【思路分析】解答此题要根据抽屉原理公式，即如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞​m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[n÷m ]+1个物体：当n不能被m整除时。 17．【答案】解：5×29+1=146（只） 答：在黑暗中至少要取出146只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子。 【思路分析】15双就是30只。考虑最不利原则，五种颜色，每种都摸到29只，怎么办呢，那就随便再摸一只，因为不管摸到什么色，都可以跟前面的29相加，到30了，这样就能保证有15双颜色相同的袜子。 18．【答案】（1）解：不一定有．例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意两个数的和都不是10的倍数． （2）解：一定有．将第1类与第9类合并，第2类与第8类合并，第3类与第7类合并，第4类与第6类合并，制造出4个抽屉；把第5类、第10类分别看作1个抽屉，共6个抽屉．任意7个互不同类的自然数，放到这6个抽屉中，至少有1个抽屉里放2个数．因为7个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数．当两个互不同类的数放到前4个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是10的倍数． 【思路分析】要使两个数的和是10的倍数，则这两个数可能是①第1类与第9类的和，②第2类与第8类的和，③第3类与第7类的和，④第4类与第6类的和；⑤第五类中两数的和，⑥第十类中两数的和. （1）可知第5类和第10类只有和同类的数相加才能是10的倍数，不妨第5类和第10类各取一个数，再在以上其余四种情形中各取一类，即可说明情况. （2）将以上六种情形看做6个“抽屉”，任意7个互不同类的自然数看做7个“苹果”，然后根据抽屉原理进行解释. 19．【答案】解：（1）3+1=4（根） 答：每次至少拿出4根才能保证一定有2根同色的小棒． （2）3+1+2=6（根） 答：要保证有2对同色的小棒，至少要拿出6根． 【思路分析】（1）要求拿出2根同色的，如果拿出的头3根颜色不相同，那么第4根肯定能与前3根中的一根颜色相同，因此要拿出3+1=4根小棒． （2）要保证有2对同色的小棒，拿出的前三根颜色不同，再拿第四根就有一对同色的小棒，然后再拿2根，又有1对同色的小棒，据此解答即可． 20．【答案】解：先将一种颜色的8根取尽，余下的两种颜色各取1根，再任取1根，就能保证取出颜色不同的两双筷子了。 8＋2＋1＝11(根) 答：至少取11根筷子才能保证达到要求。 【思路分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，根据题意，先将一种颜色的8根取尽，余下的两种颜色各取1根，再任取1根，就能保证取出颜色不同的两双筷子了，据此列式解答. 21．【答案】解：4+1=5(只)；4×3+1=13(只) 答：至少拿出5只才能保证一定有一双同色的袜子，如果要保证有两双同色的袜子，至少要取出13只. 【思路分析】从最坏的情况考虑，如果四种袜子各拿出1只，则再拿出1只无论是什么颜色都能保证有一双同色的袜子；要想保证有两双同色的袜子，每种袜子先拿出3只，那么再拿出1只就能保证有两双同色的袜子. 22．【答案】解：红、黄、蓝共有红蓝、红黄、蓝黄三种组合． 3+3+1=7（个） 答：那么至少要有7位学生借球，就可以保证必有两位学生借的球的颜色完全一致． 【思路分析】红、黄、蓝共有红蓝、红黄、蓝黄三种组合，同于每位学生最多可以借一个或两个不同颜色的球，最差情况是，有三个同学分别借了红、黄、蓝球各一个， 有三个同学分别借了红蓝、红黄、蓝黄中每种组合的球，即此时再有一个同学不论是借一个或两个球，都能保证必有两位学生借的球的颜色完全一致． 23．【答案】解：平均每只信箱装5封，则只能装5×3=15(封)，所以必然有一只信箱要装6封． 【思路分析】如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞​m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[n÷m ]+1个物体：当n不能被m整除时； ②k=n÷m个物体：当n能被m整除时. 24．【答案】解：至少要取 （粒） 【思路分析】5种颜色看作5个抽屉，要保证一个抽屉中至少有5个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有4个“苹果”，根据抽屉原理作答即可。 25．【答案】28个 【解析】【解答】9×3+1=27+1=28（个） 答：那么至少应该有28个苹果． 【思路分析】要保证总有一个抽屉里至少放进4个苹果，考虑最差情况：每个抽屉都有3个苹果，此时苹果数最少是3×9=27个，再加上1个，即可出现一个抽屉里至少放进4个苹果，据此即可求出苹果最少有27+1=28个． 26．【答案】6+1=7（个） 答：至少要7个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种. 【思路分析】三种图书，从中任意借两本的借法有：两本历史、两本文艺、两本科学、一本历史一本文艺、一本历史一本科学、一本文艺一本科学，一共有6种借法，第七个学生不管怎么借，都是这六种中的一种，所以至少要7个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种. 27．【答案】解：把40名学生看做40个抽屉，125本看做125个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每个抽屉的数量最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，125÷40=3（本）……5（本）3+1=4（本） 答：把这些书分给这个班的学生，一定有人会得到4本或4本以上的课外书。 【思路分析】考虑最不利原则，这40个学生每人分3本，还余下5本，这5本不管怎么分，都能保证有人会得到4本或4本以上的课外书。 28．【答案】解：我们先把题目解释一下．一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最小边．在等腰三角形（或等边三角形中），会出现两条边，甚至三条边都是最大边（或最小边）． 我们用染色的办法来解决这个问题．分两步染色： 第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其它的未涂色的线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色． 这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好．根据上题题的结论可知，这些三角形中至少有一个同色三角形．由于这个同色三角形有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色三角形必然是红色三角形．由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说明这条最小边必定是某个三角形的最大边．结论得证． 【思路分析】将这6个点组成的所有三角形的最大边否用红色线段连接来，其余的边都用蓝色线段连接，根据抽屉原理可知一定能找到同色的三角形且三边为红色，在这个红色三角形中一定有最小的边，问题即可得证. 29．【答案】解：将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉。由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作业． 【思路分析】根据抽屉原理可得5个苹果放到4个抽屉，一定有1个抽屉至少有2个苹果，据此说明问题。 30．【答案】解：从这6个点中随意选取一点 ，从 点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为红色，它们另外一个端点分别为 、 、 ，那么这三点中只要有两点比如说 、 之间的线段是红色，那么 、 、 3点组成红色三角形；如果 、 、 三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样 、 、 3点组成蓝色三角形，也符合条件．所以结论成立． 【思路分析】从任意一点引出5条线段，根据抽屉原理可知至少有三条颜色相同，它们的端点连成的线段，若有一条和前面的颜色相同，则有符合条件的三角形；若没有颜色相同，则这三条线段即可组成同色三角形，结论可证. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$