14.1.2 直角三角形的判定课件-2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

14.1 勾股定理 2. 直角三角形的判定 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 学习目标 1.了解直角三角形的判定条件.（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题 .（难点） 情境导入 数学文化 在古埃及，没有三角板、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？ 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 你知道这是什么道理吗？ 问题：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 在一个直角三角形中，两直角边的平方和与斜边的平方有什么关系？ 在一个直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 回顾 知识讲解 知识点1 勾股定理的逆定理 请同学们观察，这个三角形三边长分别为多少？ 3 4 5 这个三角形的三条边有什么关系吗？ 32+42=52 思考 试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1) a=3，b=4，c=5； (2) a=4，b=6，c=8； (3) a=6，b=8，c=10. 可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形不是直角三角形. a2+b2=c2 试一试 对于直角三角形的判定，有一般的结论： 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 互逆定理 概括 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的逆定理 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？ (1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. (2)最长边为13， ∵b2+c2=112+92=121+81=202， a2=132=169， ∴b2+c2≠a2. ∴以13，11，9为边长的三角形不是直角三角形. 解：(1)最长边为25， ∵a2+c2=72+242=49+576=625， ∴a2+c2=b2. ∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形. 试一试 已知：如图所示(1)，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：∠C=90°. C A B (1) 例1 C A B (1) 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC = a = B′C′， AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. 如图所示(2)，作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c. (2) C′ A′ B′ 证明 已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. ∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2 =n4-2n2+1+4n4 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 =AC2， ∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？ 例1 解 1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角. (1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5. 解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角. (2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角. 随 堂 小 测 2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？ 解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形. 3.想一想，你现在有多少种方法可以判断一个三角形是直角三角形. 解：①有一个角为直角的三角形是直角三角形.②两内角互余的三角形是直角三角形.③如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 4.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ). A.5，6，7 B.10，8，4 C.7，25，24 D.9，17，15 5.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ). A. B. C. D. C B 知识讲解 知识点2 勾股数 勾股数 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.例如3，4，5；6，8，10；n²-1，2n，n²+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数. 概括 勾股数 勾股数必须同时满足两个条件： （1）三个数都是正整数； （2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；15，36，39；32，60，68；等等. 一组勾股数中的各数都乘以相同的倍数可以得到一组新的勾股数，如3，4，5 是勾股数，则6，8，10 和9，12，15 也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc（n为正整数）也是一组勾股数. 注 意 1.下列四组数中，是勾股数的是( ) A．6,8,10 B．0.3,0.4,0.5 C． D．32,42,52 A 随 堂 小 测 2. 下列五组数：①4,5,6；②0.6,0.8,1；③7,4,25；④8,15,17；⑤9,40,41，其中是勾股数的组数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 A 3.在学习“勾股数”的知识时,小明发现了一组有规律的 勾股数,并将它们记录在如下的表格中. D 则当a=24时，b+c的值为( ) A．162 B．200 C．242 D．288 1.下列各组线段长度能构成直角三角形的一组是（ ） A．5,12,13 B．6,7,8 C．3,4,6 D．7,12,15 A 当 堂 检 测 2.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ） A．3,4,5 B．6,8,10 C．5,12,13 D．7,15,17 D 3.下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17； (2) a=13 ， b=14 ， c=15； (3) a∶b∶ c=3∶4∶5； (4) 在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°. （1）解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，所以这个三角形是直角三角形，∠C是直角. (1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ， b=14 ， c=15; （2）解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，所以这个三角形不是直角三角形. (3) a∶b∶ c=3∶4∶5. （3）解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,所以这个三角形是直角三角形，∠C是直角. （4）解：在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠B＝180°－25°－65°＝90°. 所以△ABC是直角三角形． (4) 在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°. 4. 若三角形ABC的三边 a，b，c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 解：因为 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， 所以a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. 所以 a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2. 所以△ABC直角三角形. 5.一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ B A D C B A D C 4 3 5 12 13 图1 图2 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 课堂小结 直角三角形的判定 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $$