12.3.1 两数和乘以这两数的差 课件- 2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

12.3 乘法公式 1. 两数和乘以这两数的差 学习目标 1. 理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点） 2. 理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.（难点） 情境导入 合作探究 王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式.”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了. 用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b). ( a + b ) ( a – b ) =a·a +a·b -a·b -b·b =a2-b2 做一做 知识讲解 知识点1 平方差公式 平方差公式 概括 (a+b)(a-b)=a2-b2 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. 这两个多项式相乘，得到的结果特别简洁： 这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差. 平方差公式 （a+b）（a–b）=a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. （a+b）（a–b）=a2 – b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 相同项 符号相反项 （1）(a+3)(a-3) （2）(2a+3b)(2a-3b) （3）(1+2c)(1-2c) =a2-9 =4a2-9b2 =1-4c2 =a2-32 =(2a)2-(3b)2 =12-(2c)2 计算： 例1 例1 （4）(-2x-y)(2x-y) =-(2x+y)(2x-y) =-(4x2-y2) =-4x2+y2 -(2x+y) 或 （4）(-2x-y)(2x-y) =(-y-2x)(-y+2x) =(-y) 2-(2x)2 =y2 -4x2 (-y-2x) 例2 计算：1998×2002. 1998×2002 =(2000-2)×(2000+2) =4000000-4 =3999996 =20002-22 写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便. 1998 =(2000-2) (2000+2) 2002 1.计算： （1）(2x+ )(2x- ) （2）(-x+2)(-x-2) 解 (2x+ )(2x- ) = 4x2- 解 (-x+2)(-x-2) =-(-x+2)(x+2) =-(4-x2) =x2-4 随 堂 小 测 （3）(-2x+y)(2x+y) （4）(y-x)(-x-y) 解 (-2x+y)(2x+y) =y2-4x2 解 (y-x)(-x-y) =-(y-x)(x+y) =-(y2-x2) =x2-y2 2.计算： （1）498×502 （2）999×1001 解 498×502 =(500-2)×(500+2) =250000-4 =249996 解 999×1001 =(1000-1)×(1000+1) =1000000-1 =999999 知识讲解 5米 5米 a米 (a-5)米 (a+5)米 原来 现在 a2 (a+5)(a-5) 面积变了吗？ 知识点2 平方差公式的几何证明 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算： (a-b)(a+b) a2 a b a b b (a-b)(a+b) = - b2 a2 b2 = - 试一试 例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米，东西向减少2米.改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积. (a+2)(a-2) 答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米. a 2 =a2-4 3.用一定长度的篱笆围成一个长方形区域，小明认为围成一个正方形区域可使面积最大，而小亮认为不一定.你认为如何？说说你的道理. 解：长方形区域的周长是一定的，设为4a， 如果围成正方形，那么其边长为a，面积为a2； 如果围成一般的长方形，设其长为b(b≠a≠0) ，则宽必为(2a-b)， 因而其面积为(2a-b)b=2ab-b2而a2- (2ab-b2)=(a-b)2>0(a≠b≠0)， 因此围成一般的长方形比围成正方形面积要小. 随 堂 小 测 想一想 （a – b）（–a – b）=？你是怎样做的？ 把（– b）看作平方差公式中的“a”； 把 a 看作平方差公式中的“b”； （a – b）（–a – b）=（– b）2 – a2 =b2 – a2 . 知识拓展 写出下面式子中的“a”和“b”. （a + b）（– b+a ） a b a b （–a – b）（a – b） – b a （2a + 3b）（2a – 3b） 2a 3b （a3 + b2）（a3 – b2） a3 b2 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： （1）紧扣公式特征，找出相同的项和相反的项，再应用公式（相同为a，相反为b）； （2）公式中的a和b可以是单项式也可以是多项式； （3）不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算； （4）找出的“a”或“b”中带系数或指数，应连同系数和指数一起平方。 方法总结 1. 计算： （1） (a+2) (a–2) ； （2） (3a+2b) (3a–2b)； （3）(–x–1) (1–x)； （4） (– 4k+3) (– 4k–3) . 随 堂 小 测 =a2 –22 =a2 – 4 解： =（3a）2 –（2b）2 =9a2 – 4b2 =（–x）2 –12 =x2 – 1 =（–4k）2 –32 =16k2 – 9 2. 下列式子能用平方差公式计算吗?如果能，请写出. （1）(– 3x + 2)(3x – 2)； （2）(– x + 2y)(– x – 2y)； （3）(– 3a + 4b)(– 4b – 3a)； （4）(– a + b)(a – b). 不能 能，原式=（–x）2 –（2y）2=x2 –4y2 能，原式=（–3a）2 –（4b）2=9a2 –16b2 不能 1. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　) A．(2a + b)(–2a + b) B．(a + 2)(2 + a) C．(–a + b)(a – b) D．(a + b2)(a2 – b) A 2. 已知a + b＝8，a – b＝2，则a2 – b2的值为________． 16 当 堂 检 测 3.计算: （1）(x + 1)(x – 1)(x2 + 1)； （2） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2). （1）(x + 1)(x – 1)(x2 + 1) =(x2 – 1) (x2 + 1) =x4 – 1 解： （2） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2) =(m + 2)(m – 2)(m2 + 4) =(m2 – 4) (m2 + 4) =m4 – 16 4.利用平方差公式计算： （1） ( 5 + 6x ) ( 5 – 6x )； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y)； （3） ( –m + n ) ( –m – n) =52 –（6x）2 =25 – 36x2 =x2 –（2y）2 =x2 – 4y2 =（–m）2 – n2 =m2 – n2 解： 5.先化简,再求值：(3 – x)(3 + x) + 2(x + 1)(x – 1)，其中x=2. (3 – x)(3 + x) + 2(x + 1)(x – 1) =9 – x2 + 2(x2 – 1) =9 – x2 + 2x2 – 2 =x2 + 7 解： 当x=2时，x2 + 7=22 + 7=11. 平方差公式 内容 注意事项 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算 找出相同的项和相反的项，再应用公式相同为a，相反为b 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. a、b可以是单项式或多项式 符号表示 （a+b）（a–b）=a2 – b2 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $$