2.5.1 解直角三角形的应用（同步练习）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

2.5.1解直角三角形的应用（同步练习）（原卷版） 一、单选题 1．如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 2．观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为，则小船和山崖之间的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．300米 3．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 4．如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且米，则树高度为（    ）米 A． B． C． D． 5．位于松花江上的临江门大桥是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥，其示意图如图．为测量桥塔的高，在桥下地面上点处测得桥塔最高点的仰角，然后沿方向移动米到达点处（点、、在同一水平线上），并测出点的仰角，设桥塔的高为米，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（    ）（参考数据：，，） A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米 7．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 8．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 9．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 10．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 二、填空题 11．如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 12．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为 m．（结果保留根号） 13．如图，某人在一个建筑物（）的顶部A观察另一个建筑物（）的顶部的仰角为，底部的俯角为，两建筑物间的间距为60米（即），那么建筑物的高度为 米．    14．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度 米．（结果精确到米，参考数据：． 15．如图，小华用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，若小华离树的距离米，小华的身高米，则这棵树的高度 ． 三、解答题 16．如图，河岸边有座塔，小敏在河对岸C处测得塔顶A的仰角为，向塔前进20米到达D处，又测得塔顶A的仰角为，请根据上述数据计算水塔的高． 17．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 18．如图，在地面上离旗杆底部10米的处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求旗杆的高（参考数据：，精确到0.1米）． 19．双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量七凤塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度， （参考数据：） 20．河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ． (2)求点到直线的距离； (3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1解直角三角形的应用（同步练习）（解析版） 一、单选题 1．如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 熟记正切函数的定义是解决问题的关键. 【详解】由题意得，在中,， ， ， 故选: D. 2．观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为，则小船和山崖之间的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．300米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，由已知条件即可得出，米，则，代入计算即可． 【详解】解：根据题意如下图： 则，米， ∴(米)， ∴小船和山崖之间的水平距离为米， 故选：C． 3．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可． 【详解】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 4．如图小明在点C处测得树顶端A的仰角为α，且米，则树高度为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ，， 在中，米， （米）， 故选：A． 5．位于松花江上的临江门大桥是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥，其示意图如图．为测量桥塔的高，在桥下地面上点处测得桥塔最高点的仰角，然后沿方向移动米到达点处（点、、在同一水平线上），并测出点的仰角，设桥塔的高为米，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数的定义，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 设桥塔的高为米， ∴， ∴，， 故选：A． 6．学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为．明明从A点朝旗杆方向步行4米到C点，沿坡度的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园高度为米，则旗杆的高度约为（    ）（参考数据：，，） A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角与俯角问题以及坡度问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 延长、交于点G，作于H，于M，则是等腰直角三角形，得，由的坡度得，设米，则米，米，米，在中，由三角函数定义得出，解得，进而得出答案． 【详解】解：如图，延长、交于点G，作于H，于M， 则，米，米，，，∠， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的坡度， ∴, ∴， 设米，则米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米； 故选：B． 7．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 8．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答． 【详解】解：如图：延长交于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 9．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作，延长交的延长线于，由三角函数得 ，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，延长交的延长线于， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (米)， 故选：C． 10．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 二、填空题 11．如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用.先解直角三角形，求出的长，证明三角形为等腰直角三角形，得到，据此求解即可. 【详解】解：由题意，得：，，， ∴在中，， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：. 12．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点P的仰角是，测得杆底端点Q的仰角是，．则点A到山坡底部点C的距离为 m．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设，在中，求得 ，在中，求得，由列方程求解即可． 【详解】解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴，解得， 故答案为：． 13．如图，某人在一个建筑物（）的顶部A观察另一个建筑物（）的顶部的仰角为，底部的俯角为，两建筑物间的间距为60米（即），那么建筑物的高度为 米．    【答案】81 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形并正确解直角三角形成为解题的关键．如图：过点A作，垂足为C，可知四边形是矩形，即；然后再解直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为，可知四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴米．    故答案为：81． 14．如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度 米．（结果精确到米，参考数据：． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过作于，过作于，而，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 过作于，过作于，而， 则四边形是矩形， ，， 由题意可得：米，，，米， （米），（米）， （米）， （米）， (米）， 大楼的高度约为米． 故答案为：． 15．如图，小华用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，若小华离树的距离米，小华的身高米，则这棵树的高度 ． 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 先根据题意得出、的长，在中利用锐角三角函数的定义求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：由题意，可得，，四边形是矩形， ∴米，米， ， (米)． (米)． 答：这棵树的高度为米． 故答案为：米． 三、解答题 16．如图，河岸边有座塔，小敏在河对岸C处测得塔顶A的仰角为，向塔前进20米到达D处，又测得塔顶A的仰角为，请根据上述数据计算水塔的高． 【答案】水塔的高为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握仰角俯角的概念，锐角三角函数值的定义是解题的关键．设水塔的高为x米，根据直角三角形的性质求出，列出方程即可． 【详解】解：设塔高为x米， ， ， ， ， ， ， 解得． 答：水塔的高为米． 17．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 18．如图，在地面上离旗杆底部10米的处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求旗杆的高（参考数据：，精确到0.1米）． 【答案】约为14.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，米，， 在中，（米， （米， 旗杆的高约为14.3米． 19．双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量七凤塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角． … 已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度， （参考数据：） 【答案】73.2米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意得，米，米，，， 在中，， ， 在中，， ， 米， ， 解得， （米， 答：塔的高度为73.2米． 20．河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡度的斜坡边，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米． (1) ， ． (2)求点到直线的距离； (3)求桥墩的高（结果保留位小数）．（，，，） 【答案】(1)， (2)24米 (3)米 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识点，熟知解直角三角形的方法和步骤是解题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，则，，，可得，在中，根据，可得； （2）在中，根据直角三角形的性质，即可求解； （3）在中，可得 米，从而得到米，在中，可得 米，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点E，过点C作于点F，则，，， ∴． ∴， 在中，，即， ∴； 故答案为：，； （2）解：在中，，米， ∴米； （3）解：在中，，米， ∴米， 由（1）得：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 即桥墩的高为米． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$