精品解析：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024届高三下学期高考考前热身数学试题

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024第二学期高三数学考前热身 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则如图所示的图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在区间上单调递减，且，.则 A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 4. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 10. 如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为12 B. C. 的最大值为 D. 在区间上单调递增 11. 已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______. 13. 已知：若函数在上可导，，则.又英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则___________，___________. 14. 设函数.有下列五个命题： ①若对任意，关于的不等式恒成立，则； ②若存在，使得不等式成立，则； ③若对任意及任意，不等式恒成立，则； ④若对任意，存在，使得不等式成立，则； ⑤若存在及，使得不等式成立，则. 其中，所有正确结论的序号为___________________________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. 设. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，，，的平分线交于点，求长. 16. 在数列中，已知a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，，n∈N*. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求Sn. 17. 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合). （1）求证：平面EMN⊥平面PBC； （2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由. 18. 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 19. 已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. （1）求双曲线E方程； （2）过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024第二学期高三数学考前热身 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则如图所示的图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知阴影部分表示的是，求出集合A，B，，再求出即可 【详解】由题意知全集，集合，， 所以， 于是图中阴影部分表示的集合为． 故选：D． 2. 若函数在区间上单调递减，且，.则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合＜0，＞1得答案． 【详解】由5+4x﹣x2＞0，可得﹣1＜x＜5， 函数t＝5+4x﹣x2的增区间为（﹣1，2）， 要使在区间（a﹣1，a+1）上单调递减， 则，即0≤a≤1． 而b＝＜0，c＝＞1， ∴b＜a＜c． 故选D． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及应用．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，涉及指数函数单调性的应用，是中档题． 3. 函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数f(x)定义域，排除两个选项，再取特殊值得解. 【详解】∵令g(x)=，x>0时，x2是递增的，cosx在(0,)上递减， 则有g(x)在(0,)上单调递增，而， 所以存在使得， 中，排除C、D， ∵时，排除B，所以选A. 故选：A 【点睛】给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及特殊值等方面入手. 4. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定为真命题，转化为成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题， 即， 设，则， 所以为增函数， 所以由可知， 故选：B 5. 如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的坐标系，设，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值. 【详解】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则有，. 设，则. 由题意可知 所以. 因为，所以， 故的最大值为. 【点睛】本题考查与向量有关的几何最值问题，属基础题.利用坐标方法转化为三角函数的最值问题是处理几何最值得十分有效的方法. 6. 已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线所过定点和知，由此得轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得，结合向量数量积的运算律求得最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径； 由得：，恒过定点； 由得：，恒过定点； 由直线方程可知：，，即， 设，则，， ，整理得：， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又直线斜率存在， 点轨迹不包含； 若点为弦的中点，则，位置关系如图： 连接，由知：， 则， （当在处取等号）， 即的最小值为. 故选：A. 7. 某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知每局比赛甲，乙获胜的概率都是，利用独立事件的概率乘法公式计算，，再结合条件概率公式求解. 【详解】因为甲、乙两人水平相当，所以每局比赛甲，乙获胜的概率都是， 比赛进行了五局，分甲获胜和乙获胜两种情况， 甲获得冠军，可能进行了3局或4局或5局比赛， 则，， ， 所以. 故选：. 8. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间向量的数量积转化求解点到平面的距离． 【详解】解：如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，则，0，，，，，，，0，， 可得，，，， 因为点在平面上的射影是的重心， 所以平面，所以， 即，解得， 即， 则点到平面的距离为，是的中点， 所以． 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据二项分布的均值和方差求解即可判断；对于C，根据正态分布的性质求解即可判断；对于D，结合线性回归方程的定义即可判断. 【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9. 因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，由， 则，即， 则，故B正确； 对于C，因为， 则， 所以，故C正确； 对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为12 B. C. 的最大值为 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论． 【详解】由题意可得：，，， ，，，，， ，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确. 时，，可得：函数在单调递增. 综上可得：ACD正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解. 11. 已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D． 【详解】因为，所以+3， 所以，又因为， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即，故B正确； 因为， 因为，所以， 所以，所以为递减数列，故C错误； 因为， 所以 ，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数满足，即 即复数对应的点到点的距离满足 设，表示复数对应的点到点的距离 数形结合可知的最大值 故答案为： 13. 已知：若函数在上可导，，则.又英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则___________，___________. 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】令，即可求出，再将两边求导数，即可得到，即可得到，从而得到，再用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因为，令，即，所以； 又， 所以，所以，所以 所以 故答案为：； 14. 设函数.有下列五个命题： ①若对任意，关于的不等式恒成立，则； ②若存在，使得不等式成立，则； ③若对任意及任意，不等式恒成立，则； ④若对任意，存在，使得不等式成立，则； ⑤若存在及，使得不等式成立，则. 其中，所有正确结论的序号为___________________________. 【答案】①②③④⑤ 【解析】 【分析】根据任意性、存在性的定义，结合构造函数法、导数的性质判断函数的单调性逐一判断即可. 【详解】①对任意，关于的不等式恒成立, 即恒成立, 令,,只需即； ②若存在，使得不等式成立，由①可知只需,即； ③若对任意及任意，不等式恒成立,即,即,所以； ④若对任意，存在，使得不等式成立,则,即,所以； ⑤若存在及，使得不等式成立，则,即,所以. 故答案为：①②③④⑤ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确理解存在性和任意性的含义，结合函数的单调性进行求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. 设. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，，，的平分线交于点，求长. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，令，，即可得解； （2）由题意得：，根据三角形内角的范围可得所以，再由余弦定理得解得，根据的平分线交于点，由结合面积公式即可得解. 【小问1详解】 令，， 则，， 所以函数的单调增区间为，； 【小问2详解】 由题意得：， 因为，所以， 即，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，解得， 因为的平分线交于点，所以， 所以， 所以，解得． 16. 在数列中，已知a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，，n∈N*. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； （2）求数列{an}的通项公式； （3）求Sn. 【答案】（1）是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后结合等比数列的定义证得是等比数列. （2）根据求得数列的通项公式. （3）分别求得，由此求得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， ， 因为， 所以. 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，公比为的等比数列， 所以 【小问3详解】 . ， 所以. 17. 如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合). （1）求证：平面EMN⊥平面PBC； （2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E， 所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD， 故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB， EM⊂平面PEB，故EM⊥BC， 又等腰三角形PEB，EM⊥PB， BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC， EM⊂平面EMN， 故平面EMN⊥平面PBC； （2）存在，N为BC的中点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论； （2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论. 【详解】（1）略 （2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值. 以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)， P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)， ，，， 设平面EMN的法向量为， 由，令，得， 平面BEN的一个法向量为， 故， 解得：m=1， 故存在N为BC的中点. 【点睛】立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理； (2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 18. 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，. ①直接写出，，的值； ②求与的关系式（），并求（）. 【答案】（1） 2 3 （2）①，，；②，； 【解析】 【分析】（1）列出随机变量的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得，，再通过构造等比数列求得数列的通项即得. 【小问1详解】 的可能取值为2和3， 则， 所以随机变量的分布列为： 2 3 【小问2详解】 ①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即，， 所以，且. 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查全概率公式应用和数列递推公式的处理方法,属于难题. 解题的关键有二，其一，在用表示事件“经过次传球后，球在甲手中”后 ，要想到运用全概率公式得到，再运用独立事件的概率乘法公式展开得到；其二，在此数列递推式两边凑项，构造等比数列. 19. 已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. （1）求双曲线E方程； （2）过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②不存在，理由：假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为， 联立，得， 所以， 由题，设MN的中点为， ， 所以PQ的直线方程：， 所以，因为Q在双曲线上， 所以，即， 令，即，即， 即，所以，即，与题意不符， 因此不存在P、Q两点，使得四边形PMQN为菱形. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，及离心率的定义可解； （2）①设直线l的方程为，联立方程组，利用韦达定理和三角形面积公式求的面积，再利用函数性质求最值； ②假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为，联立方程组得，利用韦达定理求出MN的中点坐标，再由菱形性质求出PQ的直线方程，从而确定点Q的坐标，又点Q在双曲线上，代入可求 ，与题意不符，得解. 【小问1详解】 ，圆：，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 即，即，又，且， 所以，所以双曲线E的标准方程为； 【小问2详解】 ①设直线l的方程为， 代入，得， 设，所以， 则， 因为，所以，所以 即，所以， 令，所以， 又因为在上递减，所以： ②略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $