第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（七大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第04讲 直线、平面垂直的判定与性质 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：直线与平面垂直的定义 4 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 4 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 5 知识点4：平面与平面垂直的定义 6 知识点5：平面与平面垂直的判定定理 7 知识点6：平面与平面垂直的性质定理 7 解题方法总结 8 题型一：垂直性质的简单判定 9 题型二：证明线线垂直 10 题型三：证明线面垂直 12 题型四：证明面面垂直 13 题型五：面面垂直的性质定理 15 题型六：垂直关系的综合应用 17 题型七：鳖臑几何体中的垂直 19 04真题练习·命题洞见 20 05课本典例·高考素材 22 06易错分析·答题模板 23 易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角 23 答题模板：线线垂直、线面垂直的证明 23 考点要求 考题统计 考情分析 （1）直线与平面垂直的判定与性质 （2）平面与平面垂直的判定与性质 2024年II卷第17（1）题，7分 2023年II卷第20（1）题，6分 2023年北京卷第16（1）题，5分 2022年乙卷（文）第9题，5分 2022年乙卷（文）第18题，12分 2021年浙江卷第6题，4分 2021年II卷第10题，5分 选择题、填空题中考查直线、平面位置关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂直的证明．证明一些空间位置关系，利用性质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系的存在性问题． 复习目标： （1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． （2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用． 知识点1：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 【诊断自测】如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. 证明：平面； 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 【诊断自测】（2024·高三·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: 知识点4：平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 【诊断自测】（2024·福建泉州·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点5：平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 【诊断自测】如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，．    证明：平面平面； 知识点6：平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【诊断自测】如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点.如图2，将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面.求证：四点共面.    解题方法总结 线线线面面面 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置． 性质 性质 性质 性质 性质 判定 判定 判定 判定 判定 线∥面 线∥线 面∥面 线⊥面 线⊥线 面⊥面 题型一：垂直性质的简单判定 【典例1-1】（2024·四川·模拟预测）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若与所成的角相等，则 C．若，，则 D．若，则 【典例1-2】（2024·湖南·三模）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【方法技巧】 此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除． 【变式1-1】在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【变式1-2】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】已知正四面体中，是的中点，连接是的中点，点满足，则（    ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 题型二：证明线线垂直 【典例2-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，． 求证：； 【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面． 求证：； 【方法技巧】 【变式2-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．    证明：； 【变式2-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． (1)求证：； (2)求点E到平面的距离． 【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角. 证明：； 题型三：证明线面垂直 【典例3-1】如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． 求证：平面； 【典例3-2】在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.    证明：平面； 【方法技巧】 方法一：线面垂直的判定． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 方法二：面面垂直的性质． 面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.    求证：平面； 【变式3-2】（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于． 证明：平面； 【变式3-3】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥中，为上的动点. 若，求证：平面； 【变式3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. 证明：平面； 题型四：证明面面垂直 【典例4-1】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面. 求证：平面平面； 【典例4-2】在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且，． 证明：侧面平面； 【方法技巧】 主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决． 【变式4-1】（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，，D为的中点，过的平面交棱于E，交于F. 求证：平面平面； 【变式4-2】如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，，是的中点．    (1)证明：平面平面． (2)求点到平面的距离． 【变式4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱中，与的距离为，，. 证明：平面平面ABC； 【变式4-4】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，．    (1)证明平面； (2)证明平面平面； 题型五：面面垂直的性质定理 【典例5-1】（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，． 证明：． 【典例5-2】（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. 求证：为的中点； 【方法技巧】 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【变式5-1】（2024·高三·河南·开学考试）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，. 证明：； 【变式5-2】如图，在三棱台.中，，平面平面.    求证：平面； 【变式5-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四棱锥，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是的菱形，为棱PC上的动点且. (1)求证: 为直角三角形; (2)试确定的值，使得三棱锥的体积为. 题型六：垂直关系的综合应用 【典例6-1】如图，在直三棱柱中，，．试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；    【典例6-2】在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．    在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由； 【方法技巧】 （1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． （2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 【变式6-1】如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【变式6-2】（2024·高三·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，． (1)求的值； (2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 题型七：鳖臑几何体中的垂直 【典例7-1】如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，平面，分别是，的中点． 证明：直线平面； 【典例7-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. 证明：平面平面； 【方法技巧】 若一条直线垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线与，则与异面的直线垂直于和构成的平面． 【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，且，，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点.    证明：； 【变式7-2】如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 【变式7-3】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析））若空间中四条直线、、、，满足、、，则下列结论一定正确的是． A． B． C．、既不平行也不垂直 D．、位置关系不确定 4．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在三V-ABC中，已知，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由. 2．如图，在V-ABC中，平面ABC，，你能判定，以及吗？ 3．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 4．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. 5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由. 过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的 心.（2）若，，则点O是边的 .（3）若，，，垂足都为P，则点O是的 心. 易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角 易错分析：容易忽视垂直的特殊方法，导致方法使用不当而浪费很多时间. 【易错题1】在三棱柱中，若是等边三角形，底面，且，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【易错题2】正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（    ） A．60° B．90° C．45° D．120° 答题模板：线线垂直、线面垂直的证明 1、模板解决思路 通过线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直时，关键是在平面内找到两条与直线垂直的相交直线，并证明. 2、模板解决步骤 第一步：证明直线与平面内两条相交直线都垂直. 第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 第三步：通过线面垂直的性质证明直线与平面内的直线垂直. 【典型例题1】如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. 证明：平面； 【典型例题2】如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线、平面垂直的判定与性质 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：直线与平面垂直的定义 4 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 5 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 7 知识点4：平面与平面垂直的定义 8 知识点5：平面与平面垂直的判定定理 9 知识点6：平面与平面垂直的性质定理 9 解题方法总结 11 题型一：垂直性质的简单判定 12 题型二：证明线线垂直 16 题型三：证明线面垂直 19 题型四：证明面面垂直 23 题型五：面面垂直的性质定理 27 题型六：垂直关系的综合应用 31 题型七：鳖臑几何体中的垂直 36 04真题练习·命题洞见 39 05课本典例·高考素材 46 06易错分析·答题模板 50 易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角 50 答题模板：线线垂直、线面垂直的证明 51 考点要求 考题统计 考情分析 （1）直线与平面垂直的判定与性质 （2）平面与平面垂直的判定与性质 2024年II卷第17（1）题，7分 2023年II卷第20（1）题，6分 2023年北京卷第16（1）题，5分 2022年乙卷（文）第9题，5分 2022年乙卷（文）第18题，12分 2021年浙江卷第6题，4分 2021年II卷第10题，5分 选择题、填空题中考查直线、平面位置关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂直的证明．证明一些空间位置关系，利用性质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系的存在性问题． 复习目标： （1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． （2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用． 知识点1：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】A 【解析】对于A，因为，，所以， 又，，所以，A正确； 对于B，在正方体中， 记平面为，平面为，为，为， 则，，，但与不平行，B错误； 对于C，记平面为，平面为，为，为， 由正方体性质可知，平面，平面，所以， 则，，，但不垂直，C错误； 对于D，记为，为，平面为， 则，，但与不垂直，D错误. 故选：A 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 【诊断自测】如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. 证明：平面； 【解析】如图，取棱靠近的三等分点， 连结，则是的中点， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 所以，因为，所以， 设，因为， 所以，作，连接， 则，因为，所以． 在中，由余弦定理得， ． 又面， 平面，因为面，所以． 又由平面平面，平面平面， 平面得证. 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 【诊断自测】（2024·高三·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: 【解析】（1）因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. （2）因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. 知识点4：平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 【诊断自测】（2024·福建泉州·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A,因为设， 又，则当时，，故A错误； 对于B，若，且，则有，故B错误； 对于C，因为 故，又，故存在直线，且， 此时，由面面垂直的判定定理知，故C正确； 对于D,当，则或者，故D错误， 故选：C. 知识点5：平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 【诊断自测】如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，．    证明：平面平面； 【解析】由题意，得，所以． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以，． 所以，即． 又因为为等腰直角三角形，， 所以，． 因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 知识点6：平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【诊断自测】如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点.如图2，将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面.求证：四点共面.    【解析】取的中点分别为，连接， 取的中点分别为，连接， 由四边形为菱形，，可知，都是等边三角形， 所以，， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 又由平面平面，同理可得平面， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 则，且，又， 所以，又因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为的中点分别为，所以， 所以，所以四点共面. 解题方法总结 线线线面面面 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置． 性质 性质 性质 性质 性质 判定 判定 判定 判定 判定 线∥面 线∥线 面∥面 线⊥面 线⊥线 面⊥面 题型一：垂直性质的简单判定 【典例1-1】（2024·四川·模拟预测）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若与所成的角相等，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误， 对于C，，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D． 【典例1-2】（2024·湖南·三模）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，则或，则m，n相交、平行、异面都有可能，A错误； 对于B，若，则与相交或平行，B错误； 对于C，若，则，又，则或，C错误； 对于D，由，得或，若，则存在过的平面与相交， 令交线为，则，而，于是，；若，而，则， 因此，D正确. 故选：D 【方法技巧】 此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除． 【变式1-1】在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】对于B，如图①，因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以，故B正确； 对于A，由B选项知， 又因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以，故A正确； 对于C，由选项A知，平面， 因为平面， 所以平面平面，故C正确; 对于D，如图②过点A作，垂足为， 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 显然平面，所以平面与平面不垂直，故D错误. 故选：D. 【变式1-2】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对于①：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面 ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故①正确； 对于②：如下图所示，点为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面, ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故②正确； 对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面, ，从而由线面垂直的判定得出平面，则，故③正确； 对于④：如下图所示，点为所在棱的中点，由③可知，， 由中位线定理及等腰三角形的性质， 易证，由平面，得出，平面， ，从而由线面垂直的判定得出平面，则， 平面，，由线面垂直的判定可得平面， 则，故④正确； 故选：D 【变式1-3】已知正四面体中，是的中点，连接是的中点，点满足，则（    ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【解析】如图， 连接，平面即平面，由是的中点和，知与相交. 对于，因为四面体为正四面体，所以. 若，又平面，且相交，所以平面. 又平面，所以，与矛盾，所以错误； 对于，若平面，由平面，平面平面， 得，与相交矛盾，所以错误； 对于，由，知三点共线，且. 取的中点，连接，所以，所以. 又平面平面，所以平面. 又是的中点，所以. 又平面平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面. 因为平面，所以平面，所以正确； 对于，连接，因为是的中点，所以， 若平面平面，又平面平面，所以平面. 又平面，所以，与矛盾，所以D错误. 故选：C. 题型二：证明线线垂直 【典例2-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，． 求证：； 【解析】证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥BD． 又底面ABCD为正方形，∴． 又，且PA，平面PAC，∴平面PAC， ∵平面PAC，∴． 【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面． 求证：； 【解析】由是正方形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，于是，又， 所以. 【方法技巧】 【变式2-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．    证明：； 【解析】因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【变式2-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，． (1)求证：； (2)求点E到平面的距离． 【解析】（1）证明：平面，平面，， 又底面ABCD为正方形，， 又，且平面， 平面PAC， 平面PAC，． （2）E为线段AB的中点， 若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为． 由题易知， ． ，，解得． 点E到平面的距离为． 【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角. 证明：； 【解析】在平面中，过点作的垂线，垂足为. 平面平面，且平面平面，平面， 故平面.又平面，所以 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，故. 题型三：证明线面垂直 【典例3-1】如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． 求证：平面； 【解析】因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC， 所以PA面ACB，又因为平面PBC， 所以PA，又因为AB是圆的直径，所以， 因为平面， 所以平面； 【典例3-2】在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.    证明：平面； 【解析】证明：由题意知，， 又，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以平面 【方法技巧】 方法一：线面垂直的判定． 线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 方法二：面面垂直的性质． 面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么． 【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.    求证：平面； 【解析】证明：. 在菱形中，， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 因为分别为的中点，所以，， 又， ， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面. 【变式3-2】（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于． 证明：平面； 【解析】 连结， 底面是边长为2的菱形，． ， ． 点为线段中点，． 为菱形，平面，平面 又平面，平面平面， 在平面上的射影为， 为直线与平面所成的角，即． 在中，， ． 则． 又平面平面， 平面． 【变式3-3】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥中，为上的动点. 若，求证：平面； 【解析】 在中，，则， 又，所以 由勾股定理可得为直角三角形，, 所以，所以 在中，因为，由余弦定理可得： 则，所以， 又，在中由余弦定理可得： ， 则，所以， 又平面平面， 所以平面 【变式3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. 证明：平面； 【解析】因为为线段的中点，所以， 在等腰梯形中，作于，则由得， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为在平面内，所以， 因为在平面内，所以平面. 题型四：证明面面垂直 【典例4-1】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面. 求证：平面平面； 【解析】因为平面，平面，所以， 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【典例4-2】在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且，． 证明：侧面平面； 【解析】由是两异面直线与的公垂线可得，， 又是等边三角形，是的中点，所以， 因平面，故得平面， 又平面，则， 因，平面,故平面， 又平面，所以侧面平面. 【方法技巧】 主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决． 【变式4-1】（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，，D为的中点，过的平面交棱于E，交于F. 求证：平面平面； 【解析】证明：连接，. 因为，， 所以，所以. 因为为的中点，所以. 因为为的中点，所以. 因为，，平面 所以平面. 又，所以平面. 又平面 所以平面平面. 【变式4-2】如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，，是的中点．    (1)证明：平面平面． (2)求点到平面的距离． 【解析】连接．因为底面为菱形，，所以是正三角形． 又为的中点，所以，则． 因为平面平面，平面平面，平面． 所以平面． 因为平面，所以． 因为，所以，则． 因为，平面,所以平面． 又平面，所以平面平面． 【变式4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱中，与的距离为，，. 证明：平面平面ABC； 【解析】取棱中点D，连接BD， 因为，所以 因为三棱柱，所以 所以，所以 因为，所以，； 因为，， 所以， 所以， 同理， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面ABC，所以平面平面ABC； 【变式4-4】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，．    (1)证明平面； (2)证明平面平面； 【解析】（1）如图补全平行六面体，连接交于点，连接， 在平行六面体，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又所以平面，平面，所以平面. （2）因为底面是菱形，所以， 又因为，，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面. 题型五：面面垂直的性质定理 【典例5-1】（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，． 证明：． 【解析】因为，，所以，， 由余弦定理可得，所以，则． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面PAD． 因为平面PAD，所以． 【典例5-2】（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. 求证：为的中点； 【解析】过作于点，由平面平面， 平面平面平面， 平面， 又底面平面， ，平面， 所以底面平面，， 又为的中点； 【方法技巧】 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【变式5-1】（2024·高三·河南·开学考试）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，. 证明：； 【解析】证明：因为是等腰直角三角形，为的中点， 所以， 平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面 因为平面，所以，又为的中点， 所以是等腰三角形，故. 【变式5-2】如图，在三棱台.中，，平面平面.    求证：平面； 【解析】证明：因为平面平面，且平面平面， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面. 【变式5-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四棱锥，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是的菱形，为棱PC上的动点且. (1)求证: 为直角三角形; (2)试确定的值，使得三棱锥的体积为. 【解析】（1）证明：取AD中点，连结 因为四边形为菱形，且， 所以均为等边三角形， 因为也为等边形三角形， 所以. 又因为平面平面POC， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以， 即，从而为直角三角形； （2）由（1）可知， 又平面平面，平面平面，平面PAD， 所以平面， 因为为棱PC上的动点且， 所以， 因为，都是边长为2的正三角形， 所以， 所以， 因为三棱锥的体积为， 所以. 题型六：垂直关系的综合应用 【典例6-1】如图，在直三棱柱中，，．试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；    【解析】取棱BC的中点D，连接，AD．在等腰直角△ABC中，， 又平面，平面，所以， 平面，故平面． 又平面，故平面平面，这两个平面的交线为． 在中，作，平面, 则有平面； 【典例6-2】在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．    在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由； 【解析】存在，当M为的中点时，平面平面． 证明：取AD的中点M，连接， 由是等边三角形，可得， 由平面平面，平面， 平面平面，可得平面， 由平面，可得平面平面． 【方法技巧】 （1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． （2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 【变式6-1】如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以且， 又为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为，M为棱的中点，故, 又因为平面ABC,平面ABC, 故，由平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【变式6-2】（2024·高三·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，． (1)求的值； (2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）取线段的中点，连接、， 因为四边形是边长为的菱形，则，， 因为，由余弦定理可得， ，所以，即， 又且是的中点，, ，、平面，平面， 平面，，，， ，； （2）过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，平面， 所以，平面平面， 平面平面，平面，， 所以，平面， 过点作，分别交、于点、， 因为，则， 所以，、、、四点共面， 因为平面， 所以，平面平面， 因为，，， 则， 因为，，由余弦定理可得， 所以，， ， 所以，, ， 因为，所以，. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【解析】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接， 于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 题型七：鳖臑几何体中的垂直 【典例7-1】如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，平面，分别是，的中点． 证明：直线平面； 【解析】因为四边形为菱形，， 所以为正三角形， 又是的中点，所以， 又，所以， 又平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面. 【典例7-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. 证明：平面平面； 【解析】因为底面为正方形，则， 又因为平面，平面，。 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 因为，且E为的中点，则， 由，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. 【方法技巧】 若一条直线垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线与，则与异面的直线垂直于和构成的平面． 【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，且，，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点.    证明：； 【解析】证明：因为平面平面ABC，平面平面，， 即，平面ABC，所以平面PAC. 因为平面PAC，所以. 因为，E是PC的中点，所以. 又，平面PBC，所以平面PBC. 因为平面PBC，所以. 【变式7-2】如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 【解析】（1）证明：设，则， 所以， 因为为的中点，则，所以， 又因为，则， 因为， 则 ，解得，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）证明：因为分别为的中点，所以， 所以， 因为， 所以，所以，所以， 因为，则， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【变式7-3】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【解析】（1）作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 （2）因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面； 1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】A 【解析】在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 2．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析））若空间中四条直线、、、，满足、、，则下列结论一定正确的是． A． B． C．、既不平行也不垂直 D．、位置关系不确定 【答案】D 【解析】如下图所示，在正方体中，取 为， 为，取 为， 为， ；取为 ，为 ，则；取为 ，为，则 与异面，因此、的位置关系不确定，故选D. 4．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 1．如图，在三V-ABC中，已知，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由. 【解析】平面VBA和平面VBC垂直. 因为， 所以平面ABC，所以. 因为.所以. 因为，所以平面VAB. 又平面VBC，所以平面平面VBC. 2．如图，在V-ABC中，平面ABC，，你能判定，以及吗？ 【解析】能判定以及AC=BC. 理由如下： 平面ABC，平面ABC. . . ，平面VDO. 平面VDO，. 又. 3．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 【解析】折前 ∴折后. 又SG，EG，FG交于一点G. 根据EG，FG交于一点G，可得平面GEF， 同理可证：平面GSE，平面GSF. 4．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. 【解析】直线DE与平面VBC垂直 理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角. 由AB是的直径，知. 因此，平面平面VBC. 由两个平面垂直的性质定理， 平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC， 可知直线AC与平面VBC垂直， 由D，E分别是VA，VC的中点，知， 所以直线DE与平面VBC垂直. 5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由. 【解析】垂直，证明如下：   底面ABCD，平面ABCD， 又底面ABCD为正方形，，而. 平面PAB 平面PAB，. ，E为PB的中点， .而, 平面PBC. 平面AEP， ∴平面平面PBC. 过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的 心.（2）若，，则点O是边的 .（3）若，，，垂足都为P，则点O是的 心. 【答案】 外 中点 垂 【解析】解（1）如图，因为 所以， 故， 又，, 所以 故可得， 同理可得： 所以点O是的外心； （2）由（1）可得点O是的外心， 又因为， 根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半 得到点O为斜边的中点， 即为边的中点； （3）因为，，且 平面 所以平面， 所以， 因为 所以 又， 平面， 所以平面， 所以， 同理可得：, 故，点O是的垂心。 易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角 易错分析：容易忽视垂直的特殊方法，导致方法使用不当而浪费很多时间. 【易错题1】在三棱柱中，若是等边三角形，底面，且，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据条件可作出图形，并且得到，根据向量的加法及数乘的几何意义便可得到，，从而可求得，这样即可得出和所成角的大小．如图，根据条件，，令，； 又，； ； ； 和所成的角的大小为． 故选：． 【易错题2】正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（    ） A．60° B．90° C．45° D．120° 【答案】B 【解析】选出向量的基底，选，，为基底，将、用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．设，，，， 则，， ， ∴，∴与所成的角的大小是， 故选：B 答题模板：线线垂直、线面垂直的证明 1、模板解决思路 通过线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直时，关键是在平面内找到两条与直线垂直的相交直线，并证明. 2、模板解决步骤 第一步：证明直线与平面内两条相交直线都垂直. 第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 第三步：通过线面垂直的性质证明直线与平面内的直线垂直. 【典型例题1】如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. 证明：平面； 【解析】在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. 【典型例题2】如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：； 【解析】（1）如图，连接，在中，D，P分别是，AB的中点，则， 而平面，平面，所以平面. （2）由，得，则，即， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又平面，则，又，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$