5.1 投影（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

5.1 投影 【考点1 平行投影】 【考点2 中心投影】 【考点3 中心投影与相似】 【考点4 正投影投影】 【考点5视点、视角和盲区】 知识点1 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 注意： 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 【考点1 平行投影】 【典例1】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（    ） A．投影仪 B．手电筒 C．太阳 D．路灯 知识点2 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点3 平行投影与中心投影的区别与联系 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 注意： 　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 【考点2 中心投影】 【典例2】在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（   ） A．B．C． D． 【变式2-1】如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的长，那么晚上在同一路灯下（    ） A．小刚的影子比小红长 B．小红的影子比小刚长 C．小刚和小红的影子一样长 D．无法确定 【变式2-3】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处径直走到处这一过程中，他在地上的影子（    ）    A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【考点3 中心投影与相似】 【典例3】如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　）      A．3 B．5 C．6 D．7 【变式3-1】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为（    ） A． B． C． D． 知识点4 正投影投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 注意： (1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 【考点4 正投影投影】 【典例4】把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A．B．C．D． 【变式4-1】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【变式4-2】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【变式4-3】一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【考点5视点、视角和盲区】 【典例5】如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【变式5-1】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【变式5-2】人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是（ ） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【变式5-3】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 1．矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．线段 2．在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为10米，则这棵树的高度为（　　） A．3米 B．4.6米 C．6.4米 D．7.8米 3．中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问竿长几何？”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起手臂超出头顶（　　） A．2m B．m C．m D．m 5．下列各种现象属于中心投影现象的是（    ） A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子 C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 6．球的正投影是（        ） A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．圆环． 7．如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（    ）    A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环 8．如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．但在史籍中却少有记载，现在史料中最早的记载是“汉书•律历志•制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影． 9．在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m，一颗大树的影长为3.6m，则树的高度为 10．某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是 米． 11．为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ． 12． 如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走8米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.6米，则路灯的高度AB 为 米． ​ 13．如图，在路灯下，表示小明的身高，表示他的影子，表示小亮的身高，路灯灯泡在线段上． (1)请你画出灯泡的位置，并画出小亮在灯光下的影子； (2)如果小明的身高，他的影子，且他到路灯的距离，求路灯的高． 14．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 投影 【考点1 平行投影】 【考点2 中心投影】 【考点3 中心投影与相似】 【考点4 正投影投影】 【考点5视点、视角和盲区】 知识点1 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 注意： 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 【考点1 平行投影】 【典例1】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．注意结合选项判断即可． 【详解】解：A．影子的方向不相同，故本选项错误； B．影子的方向不相同，故本选项错误； C．相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误； D．影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D． 【变式1-1】下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行投影的意义， 根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中的图形符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两棵树的影子方向应该相同，两棵树的树高与影长成正比，依次判断即可． 本题考查了阳光下物体的影子，太阳光是平行光，并且同一时刻物高与影长成正比，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】A、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意； B、影子的方向不相同，故本选项不符合题意； C、影子的方向不相同，故本选项不符合题意； D、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意． 故选A． 【变式1-3】下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（    ） A．投影仪 B．手电筒 C．太阳 D．路灯 【答案】C 【分析】本题考查平行投影的概念，属于基础题，注意基本概念的掌握是关键．判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． 【详解】解：太阳光线所形成的投影是平行投影， 故选：C． 知识点2 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点3 平行投影与中心投影的区别与联系 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 注意： 　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 【考点2 中心投影】 【典例2】在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题的关键． 【详解】解：∵对应点的连线经过点光源， ∴灯光与物体的影子最合理的是， 故选：． 【变式2-1】如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子不符合题意． 故选：B． 【变式2-2】在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的长，那么晚上在同一路灯下（    ） A．小刚的影子比小红长 B．小红的影子比小刚长 C．小刚和小红的影子一样长 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 故选：D． 【变式2-3】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处径直走到处这一过程中，他在地上的影子（    ）    A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮由远处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再远离路灯时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 【考点3 中心投影与相似】 【典例3】如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　）      A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于，交于，如图    ∵ ． ∴，，， ∵ ， ∴， ∴，即 ∴， 故选：C． 【变式3-1】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 【变式3-2】如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中心投影，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出，进而求出，确定点的坐标． 【详解】过点作轴，垂足为， 由题意得，米，米， ， ， ， ∵轴， ∴， ， ， 即：， 解得 ， 点的坐标是，． 故选：B． 【变式3-3】如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形是解题关键．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：D． 知识点4 正投影投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 注意： (1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 【考点4 正投影投影】 【典例4】把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，当投射线由正前方射到后方时，它们在该投影面上的投影积聚成一直线，结合正六棱柱的特点即可得到答案． 【详解】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影与主视图一致． 故选：B． 【变式4-1】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【答案】D 【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可； 【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 【变式4-2】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【答案】D 【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案． 【详解】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键． 【变式4-3】一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据投影的特点进行判断即可． 【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能是一个梯形，故A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点． 【考点5视点、视角和盲区】 【典例5】如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式5-1】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 【变式5-2】人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是（ ） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据视角与盲区的关系来判断. 【详解】解：如图，AB为窗户，由此知离窗户越远，视角就会越小，盲区就会变大， 故选A. 【点睛】此题主要考查视角与盲区，解题关键是明确视角盲区的意义. 【变式5-3】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【答案】B 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区． 1．矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．根据矩形的摆放方式与光线的夹角的不同，其投影的形状不同进行求解即可． 【详解】解：当太阳光斜射矩形窗框时，其投影为平行四边形， 当太阳光直射矩形窗框时，其投影为矩形， 当太阳光与矩形窗框平行时，其投影为线段． 故选：C． 2．在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为10米，则这棵树的高度为（　　） A．3米 B．4.6米 C．6.4米 D．7.8米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用， 熟练掌握同时同地物高与影长的比相等列出比例式是解题的关键．根据同时同地物高与影长的比相等列出比例式， 然后求解即可 【详解】解：设树高为x米，由题意得 ， 米， 故选C． 3．中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问竿长几何？”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺等于15尺，五寸等于0.5尺，一尺五寸等于1.5尺，设竹竿长x尺，由题意，得： ； 故选B． 4．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起手臂超出头顶（　　） A．2m B．m C．m D．m 【答案】D 【详解】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可． 【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是， 根据同一时刻物高与影长成比例，得， ． 故选：D． 5．下列各种现象属于中心投影现象的是（    ） A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子 C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的投影为中心投影， 故选：C． 6．球的正投影是（        ） A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．圆环． 【答案】A 【解析】略 7．如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（    ）    A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环 【答案】C 【分析】根据正投影的定义“是指平行投射线垂直于投影面”分析即可． 【详解】根据题意，圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正投影的定义，正确理解正投影的定义是解题关键． 8．如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．但在史籍中却少有记载，现在史料中最早的记载是“汉书•律历志•制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行投影．熟练掌握平行投影的定义是解题的关键． 根据平行投影的定义进行判断作答即可． 【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 9．在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m，一颗大树的影长为3.6m，则树的高度为 【答案】m 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设树的高度为米，然后根据同一时刻物高与影长成比例可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：设树的高度为m， 由题意得：， 解得： 树的高度为m． 故答案为：m． 10．某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是 米． 【答案】// 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，米， 根据实际高度和影长成正比例，得出， ∴， ∴， ∴， ∴米． 故答案为：． 11．为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影的应用，解题的关键明确在同一时刻物高和影长成正比，经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【详解】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米． 则有， 解得 树高是（米． 故答案为米． 12．如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走8米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.6米，则路灯的高度AB 为 米． ​ 【答案】 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 根据题意可知：，当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，由，可得，设，，可得，可得，再根据，可得：，问题随之得解． 【详解】解：如图，根据题意可知：， ∵， 当小明在处时，， 即， 当小明在处时，， 即， ∵身高不变，即， ∴，即， ∵米，米，米，米， 设，， ∴，即，即， 解得：（经检验，此根是原方程的解）， 即根据，可得：， 解得，，（经检验，此根是原方程的解）， 即路灯A的高度米． 故答案为：． 13．如图，在路灯下，表示小明的身高，表示他的影子，表示小亮的身高，路灯灯泡在线段上． (1)请你画出灯泡的位置，并画出小亮在灯光下的影子； (2)如果小明的身高，他的影子，且他到路灯的距离，求路灯的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用；理解中心投影，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）连接，延长交于点，点即为灯泡的位置，连接，延长交与点H，线段即为所求； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； 【详解】（1）解：如图， 点O为灯泡的位置， FH为小亮在灯光下的影子； （2）解：， ， ， ， 解得：， 路灯的高为． 14．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 【答案】(1)15米； (2)4米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知易得米，证明，从而利用相似三角形的性质可解答； （2）根据题意可得，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）∵，米， 米． 由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：明德楼的高为15米． （2）由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：塑像的影长为4米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$