精品解析：安徽省皖北县中联盟（省重点高中）2023-2024学年高二下学期期中数学试题

高二数学A卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，求出双曲线的渐近线方程. 【详解】根据题意，. 故选：A. 2. 现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（ ） A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品 C. 至少一件正品与全部次品 D. 至少一件正品与至少一件次品 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的定义判断各选项. 【详解】根据题意，选项A中事件为互斥事件，不是对立事件； 选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件； 选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 故选：C. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，可得，求出. 【详解】根据题意，. 故选：D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助概率乘法公式计算即可得. 【详解】， 故，即. 故选：A. 5. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由利用的通项可得答案. 【详解】， 的通项为， 根据题意，. 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据基本不等式求的最小值. 【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F， 所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明）， 所以， 当且仅当时取“=”. 故选：C. 7. 已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ） A. 36种 B. 52种 C. 88种 D. 92种 【答案】D 【解析】 【分析】有2名演员既会京剧也会豫剧，分既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人、若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中讨论，结合组合知识可得答案. 【详解】分析可得：有2名演员既会京剧也会豫剧，称为能手 （1）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均没有选中， 此时只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择3人，共种选择； （2）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人选中1人，有种选择， 此人去进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择3人， 有种选择， 此人去进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人全部选中，只会唱豫剧的4人选择2人， 有种选择， 此时共有种选择； （3）若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中， 2人均进行唱京剧，则从只会唱京剧的3人选择1人，只会唱豫剧的4人选择3人， 有种选择， 2人均进行唱豫剧，则从只会唱京剧的3人选择3人，只会唱豫剧的4人选择1人， 有种选择， 2人有1人进行唱京剧，1人进行唱豫剧，有种选择， 再从只会唱京剧的3人选择2人，只会唱豫剧的4人选择2人，有种选择， 此时有种选择， 所以若既会唱京剧，也会唱豫剧的2人均选中，有种选择， 综上：共有种选择. 故选：D. 8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 记的前n项和为，则. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求的前50项和. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，可判断A，当时，可判断B，利用展开式的通项求出，可判断C，当时，可判断D． 【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误； 则，令，可得，故B正确； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故C正确； 由展开式的通项为，， 所以，， 所以， 令，可得， 所以，故D正确. 故选：BCD． 10. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，是互斥事件可判断A；求出是否相等可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，A正确； 对于B，，， ，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 11. 二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的，我们用表示十进制数n在二进制下的各项数字之和，下列说法正确的是（ ） A. 十进制数25的二进制数为1101 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二进制转化判断A,B,再结合等比数列求和计算判断C,D. 【详解】根据题意：，所以十进制数25的二进制数为11001，故A错误； ，所以十进制数100的二进制数为1100100，，故B正确； 设，， 所以， ，所以，故C正确； ，所以，故D正确； 故选:BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处的切线方程过点，则m的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求函数的导数，再将代入求出切线斜率，从而求出切线方程. 【详解】根据题意知，， 因为，， 根据点斜式可以写出切线方程为， 因为切线方程过点，代入到， ，解之可得. 故答案为：2 13. 已知椭圆：上有两点，，点P是椭圆C上异于M，N的点，则的面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先代入点求得椭圆方程，由题意需使点P到直线的距离最大，即应使点为与平行的椭圆的切线的切点，联立直线与椭圆方程，使即可求得参数，回代入直线方程，以两平行直线的距离作为的高即可求得. 【详解】 如图，由点在椭圆上，代入解得，则椭圆：， 当的面积最大，因长度不变，则需使点P到直线的距离最大， 直线的方程为， 设直线：，使得与椭圆：相切， 联立可得：消去得，，令， 可得，，解得 此时直线l到直线的距离为，， 故此时的面积最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数为定义在R上的函数的导函数，若，，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得关于直线对称，关于对称，从而求得8为函数的一个周期，进而可求解. 【详解】函数的定义域为，因为， 所以函数关于点对称， 因为，两边求导：， 所以关于直线对称， 又， 所以函数关于对称， 则，又， 所以，即， 所以，所以8为函数的一个周期， 所以，，，， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知A，B，C三人同时参加对同一个问题竞答；游戏的规则为三人同答一道题，若其中至少一人答对此题，则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为，，. （1）求此三人闯过此关的概率； （2）若此三人闯此关时，答对试题的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式结合对立事件运算求解； （2）分析可知的可能取值为0，1，2，3，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望. 【小问1详解】 因为三人答对此题的概率分别为，，，则三人答错此题的概率分别为，， 且三人闯过此关的对立事件为三人均答错， 所以三人中至少一人答对此题的概率为. 【小问2详解】 由题意可知：的可能取值为0，1，2，3， 此三人闯此关时没有人答对题目的概率； 此三人闯此关时只有1人答对题目的概率； 此三人闯此关时有2人答对题目的概率； 此三人闯此关时有3人答对题目的概率； 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 16. 已知函数. （1）若函数单调递减，求实数a的取值范围； （2）若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数再应用函数单调递减得出参数范围； （2）先求导函数再根据极值得出导数为0，转化为函数有一个交点结合图象得出参数范围. 【小问1详解】 根据题意，，， 则， 解得， 当时，，成立， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 依题意，， 则只有一个变号零点， 显然不是的零点， 所以有一个变号交点， 令， 所以函数在和分别单调递减， 在上单调递增， 如右图象所示，可得：， 所以. 17. 已知数列的前n项和为，满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和为，证明：当时. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用公式时，，得到关于数列的递推关系式，法一，转化为，利用累乘法求通项公式，法二，转化为，判断数列是常数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，并放缩为，利用裂项相消法求和，即可证明. 【小问1详解】 根据题意，当时， 法一： ∴ 当时， ，也满足. 法二： 可得， 所以数列是常数列， . 【小问2详解】 ，， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 18. 已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由在椭圆上，的面积为，求出，得椭圆C的标准方程； （2）由，，三点共线，可得，由，，三点共线，可得，故，通过换元利用二次函数的性质求最小值. 【小问1详解】 因为在椭圆：上，， 又的面积为，解得， 代入，解得，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由，，三点共线，可得，故， 同理，由，，三点共线，可得， 若与的面积分别为，， 则， 因为，所以， 所以，又， 故， 因为，令，则， 所以，其中， 函数，，函数图象抛物线开口向下，对称轴为， 则时，有最大值， 即当时， t的最小值为. 19. 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，． （1）若，证明：集合中有且仅有一个元素； （2）若，讨论集合的子集的个数． 【答案】（1） 令，求导得， 令，可得， 当，，当，， 所以，所以有唯一零点， 所以集合中有且仅有一个元素； （2） 当时或时，集合的子集有2个； 当时，集合的子集有1个； 当时，集合的子集有4个. 【解析】 【分析】（1）令，求导，可得函数的单调性，进而可得函数有唯一零点，可得结论； （2）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数.，进而可得集合的子集的个数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由函数， 可得导函数，所以在上单调递增， 由反函数的知识，稳定点在原函数与反函数的交点上， 即稳定点与的不动点等价， 故只需研究的不动点即可； 令， 则，则在上单调递减， ①当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小， 且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； ②当时，即时，， 当趋向无穷大时，趋近于0，此时， 存在唯一，使得， 此时在上单调递增，在上单调递减， 故， 当趋近于0时，趋向于负无穷大，当向正无穷大时，趋向负无穷大时， 设，则在上单调递增， 且， 又在时单调递增， 故（i）当时，即， 此时，方程有一个解，即有唯一不动点，所以集合的子集有2个； （ii）当，即， 此时，方程无解，即无不动点，所以集合的子集有1个； （iii）当时，即，此时，方程有两个解，即有两个不动点，所以集合的子集有4个； 综上，当时或时，集合的子集有2个； 当时，集合的子集有1个； 当时，集合的子集有4个. 【点睛】方法点睛：本题属新定义题型，读懂题意是关键；研究方程根的个数问题常转化为判断函数零点的个数问题，利用导数研究含参函数的单调性，从而判断方程根（或函数零点）的个数问题．注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学A卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（ ） A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品 C. 至少一件正品与全部次品 D. 至少一件正品与至少一件次品 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 60 6. 已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某曲剧社团有9名演员，其中会唱京剧的有5名演员，会唱豫剧的有6名演员，现有一地方请该曲剧社团做一台演出，需要3名京剧演员和3名豫剧演员，则不同的选择方法有（ ） A. 36种 B. 52种 C. 88种 D. 92种 8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 11. 二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的，我们用表示十进制数n在二进制下的各项数字之和，下列说法正确的是（ ） A. 十进制数25的二进制数为1101 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处的切线方程过点，则m的值为___________. 13. 已知椭圆：上有两点，，点P是椭圆C上异于M，N的点，则的面积的最大值为___________. 14. 已知函数为定义在R上的函数的导函数，若，，且，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知A，B，C三人同时参加对同一个问题竞答；游戏的规则为三人同答一道题，若其中至少一人答对此题，则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为，，. （1）求此三人闯过此关的概率； （2）若此三人闯此关时，答对试题的人数为，求的分布列和数学期望. 16. 已知函数. （1）若函数单调递减，求实数a的取值范围； （2）若函数只有一个极值点，求实数a的取值范围. 17. 已知数列的前n项和为，满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和为，证明：当时. 18. 已知点是椭圆：上的一点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点Q为椭圆C上的第一象限内一点，直线，与直线分别交于M，N点，若与的面积之比为t，求t的最小值. 19. 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，． （1）若，证明：集合中有且仅有一个元素； （2）若，讨论集合的子集的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $