2024-2025学年人教版九年级数学上册期中自我检测试卷

人教版九年级数学2024-2025上学期期中自我检测（原卷） 一、选择题 1． 下面的图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2． 把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　） A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2 3． 将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　） A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3 4． 已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当自变量x分别取3、5、7时，y对应的值分别为y1、y2、y3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3 5． 根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（　　） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 6． 若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（　　） A． B． C． D． 　 7． 已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 8． 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9． 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论： ①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10． 二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（　　，　　）． 11． 已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=　　． 12． 如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于　　度． 13． 某工厂共有50名员工，他们的月工资方差s2=20，现在给每个员工的月工资增加300元，那么他们新工资的方差是　　． 14． 函数y=（m+2）+2x﹣1是二次函数，则m=　　． 15． 某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　　． 16． 已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是　　． 17． 若抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2=0的解为　　． 18． 如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为　　． 三、解答题 19．按要求解一元二次方程： （1）x2﹣10x+9=0（配方法） （2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法） 20．选择适当的方法解方程： （1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）． （2）2x2﹣3x+1=0． 21．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1，再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2． （2）点B1的坐标为　　，点C2的坐标为　　． 22．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 23．国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实情况，有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（小时）进行分组（A组：t＜0.5，B组：0.5≤t＜1，C组：1≤t＜1.5，D组：t≥1.5），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题： （1）此次抽查的学生数为　　人，并补全条形统计图； （2）从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是　　； （3）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有　　人． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 人教版九年级数学2024-2025上学期期中自我检测（解析卷） 1． 下面的图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 　 2． 把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　） A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2 【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】压轴题；推理填空题． 【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项． 【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得 x2﹣3x+10=0， ∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10； 故选A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 　 3． 将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　） A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】几何变换． 【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式． 【解答】解：因为y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8， 所以抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2﹣3． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 　 4． 已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当自变量x分别取3、5、7时，y对应的值分别为y1、y2、y3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】数形结合． 【分析】分别把x=3、5、7代入解析式计算出对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【解答】解：当x=3时，y1=（x﹣2）2+3=（3﹣2）2+3=4， 当x=5时，y2=（x﹣2）2+3=（5﹣2）2+3=12， 当x=7时，y3=（x﹣2）2+3=（7﹣2）2+3=28， 所以y1＜y2＜y3． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 　 5． 根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（　　） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 【考点】图象法求一元二次方程的近似根． 【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围． 【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根， 函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0； 由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间， ∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25． 故选：C． 【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在． 　 6． 若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象． 【专题】压轴题． 【分析】根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴． 【解答】解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小， ∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0． ∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴． 综上所述，符合题意的只有A选项． 故选A． 【点评】本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口． 7． 已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【考点】一元二次方程的解．菁 【专题】计算题． 【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值． 【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0， ∴将x=0代入方程得：a2﹣1=0， 解得：a=1或a=﹣1， 将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去， 则a的值为﹣1． 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 　 8． 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；直角梯形．菁 【专题】压轴题． 【分析】求△ADE的面积，已知底AD=3，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，EF就是高，然后再找和高相等的等量关系，三角形EDF全等于三角形CDG，EF=CG=2，则△ADE的面积就能求出来． 【解答】解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F， ∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠EDF=∠CDG， 又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC， ∴△EDF≌△CDG（AAS）， ∴EF=CG， ∴CG=BC﹣BG=5﹣3=2， ∴EF=2， ∴S△ADE=×AD×EF=×3×2=3． 故选C． 【点评】本题需要把旋转的性质、三角形的面积公式结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．注意旋转变化前后，对应角相等． 　 9． 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论： ①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系．菁 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确； 由图象可知：对称轴x==﹣1， ∴2a=b，2a+b=4a， ∵a≠0， ∴2a+b≠0，②错误； ∵图象过点A（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c=0，2a=b， ∴9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0 由图象可知：当x=1时y=0， ∴a+b+c=0，④正确． 故选：C． 【点评】考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 　 10． 二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（　2　，　﹣7　）． 【考点】二次函数的性质． 【分析】先把y=x2﹣4x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y=（x﹣2）2﹣7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标． 【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣3 =x2﹣4x+4﹣7 =（x﹣2）2﹣7， ∴二次函数y=x2﹣4x+7的顶点坐标为（2，﹣7）． 故答案为（2，﹣7）． 【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 　 11． 已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m=　2　． 【考点】根的判别式． 【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0， ∴m=2， 故答案为：2． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 　 12． 如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于　35　度． 【考点】旋转的性质． 【分析】根据旋转的意义，找到旋转角∠BOD；再根据角相互间的和差关系即可求出∠AOD的度数． 【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置， ∴∠BOD=80°， ∵∠AOB=45°， 则∠AOD=80°﹣45°=35°． 故填35． 【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．注意∠AOD=∠BOD﹣∠AOB． 　 13． 某工厂共有50名员工，他们的月工资方差s2=20，现在给每个员工的月工资增加300元，那么他们新工资的方差是　20　． 【考点】方差． 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了300所以波动不会变，方差不变． 【解答】解：因为工资方差s2=20，每个员工的月工资增加300元，这组数据的平均数不变， 所以他们新工资的方差是不变的，还是20； 故答案为：20． 【点评】本题考查了方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 　 14． 函数y=（m+2）+2x﹣1是二次函数，则m=　2　． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出m的值即可． 【解答】解：由题意得：m+2≠0， 解得m≠﹣2， ∵m2﹣2=2， 整理得，m2=4， 解得，m1=2，m2=﹣2， 综上所述，m=2． 故答案为2． 【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0． 　 15． 某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=　1000（1+x）2　． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】直接利用二月的研发资金为：1000（1+x），故三月份新产品的研发资金为：1000（1+x）（1+x），进而得出答案． 【解答】解：∵每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为：y=1000（1+x）2． 故答案为：1000（1+x）2． 【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 　 16． 已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是　y=x2﹣7x+12　． 【考点】待定系数法求二次函数解析式．菁 【专题】计算题． 【分析】由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标，则可设交点式易得其解析式． 【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣4）， 而a=1， 所以二次函数的解析式为y=（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12． 故答案为y=x2﹣7x+12． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 　 17． 若抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2=0的解为　﹣1或2　． 【考点】抛物线与x轴的交点．菁 【分析】利用方程组的解，确定一元二次方程的解即可． 【解答】解：∵y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4）， ∴消去y得到x2﹣x﹣2=0的解为x=﹣1或2， 故答案为﹣1或2． 【点评】本题考查二次函数与cX轴的交点、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 　 18． 如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为　（﹣1，﹣）或（﹣2，0）　． 【考点】坐标与图形变化-旋转．菁 【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据点A的坐标求直角△AOC三边的长，再分两种情况讨论：逆时针旋转150°或顺时针旋转150°，根据旋转角得特殊角，由30°角的直角三角形的性质可以依次求出A′的坐标． 【解答】解：过A作AC⊥x轴于C， ∵A（，1）， ∴OC=，AC=1， 由勾股定理得：OA=2， tan∠AOC==， ∴∠AOC=30°， 分两种情况： ①将△AOB绕点O逆时针旋转150°得到△A′OB′，如图1， 此时OA在x轴上，则A′的坐标为（﹣2，0）， ②将△AOB绕点O顺时针旋转150°得到△A′OB′，如图2， 过A′作A′D⊥x轴于D， ∵∠AOC=30°，∠AOA′=150°， ∴∠A′OC=150°﹣30°=120°， ∴∠A′OD=60°， 在Rt△A′OD中，∠DA′O=30°，A′O=2， ∴OD=1，A′D=， ∴A′的坐标为（﹣1，﹣）， 则点A的对应点A′的坐标为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣）； 故答案为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据旋转角的度数判断出点A′的位置，注意构建直角三角形，同时还要分情况讨论求解． 　 19．按要求解一元二次方程： （1）x2﹣10x+9=0（配方法） （2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法） 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． （2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：（1）x2﹣10x+9=0（配方法） （x﹣5）2=16， ∴x﹣5=4 或x﹣5=﹣4， ∴x1=9 或x2=1． （2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法） （x﹣2）（x+1）=0， ∴x﹣2=0或x+1=0， ∴x1=2或x2=﹣1． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解的方法和配方的方法是解本题的关键． 　 20．选择适当的方法解方程： （1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）． （2）2x2﹣3x+1=0． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）方程移项后，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． （2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）． （x﹣3）（3x﹣2）=0， ∴x﹣3=0或3x﹣2=0， ∴x1=3或x2=． （2）2x2﹣3x+1=0． （x﹣1）（2x﹣1）=0， ∴x﹣1=0或2x﹣1=0， ∴x1=1或x2=． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解． 　 21．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1，再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2． （2）点B1的坐标为　（﹣2，﹣3）　，点C2的坐标为　（3，1）　． 【考点】作图-旋转变换． 【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用（1）中所画图形，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示△AB1C1，△A1B2C2，即为所求； （2）如图所示：B1（﹣2，﹣3），C2（3，1）； 故答案为：（﹣2，﹣3），（3，1）． 【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 22．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论； （2））设每星期利润为y元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）根据题意可得： y=300+30（60﹣x） =﹣30x+2100； （2）设每星期利润为W元，根据题意可得： W=（x﹣40）（﹣30x+2100） =﹣30（x﹣55）2+6750． 则x=55时，W最大值=6750． 故每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． 　 23．国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实情况，有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（小时）进行分组（A组：t＜0.5，B组：0.5≤t＜1，C组：1≤t＜1.5，D组：t≥1.5），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题： （1）此次抽查的学生数为　300　人，并补全条形统计图； （2）从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是　0.4　； （3）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有　720　人． 【考点】概率公式；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得此次抽查的学生数和在A和C组的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得相应的概率； （3）根据题意可以求得达到国家规定体育活动时间的学生数． 【解答】解：（1）由图可得， 此次抽查的学生数为：60÷20%=300（人）， 故答案为：300； C组的人数=300×40%=120（人），A组的人数=300﹣100﹣120﹣60=20人， 补全条形统计图如右图所示； （2）该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是： =0.4， 故答案为：0.4； （3）当天达到国家规定体育活动时间的学生有1200×=720人 故答案为：720． 【点评】本题考查概率公式、条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问需要的条件． 　 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．菁 【分析】（1）待定系数法分别求解可得； （2）根据题意可设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），继而可得PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，知PM最长值为，根据S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案； （3）由PM∥OB，可知当PM=OB时点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，据此可分以下三种情况：①当P在第四象限；②当P在第一象限；③当P在第三象限；由PM=OB=3列出关于t的方程分别求解可得． 【解答】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得 ， 解得：， 所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3． 设直线AB的解析式是y=kx+b， 把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得：， 解得：， 所以直线AB的解析式是y=x﹣3； （2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3）， ∵p在第四象限， ∴PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+， 当t=时，二次函数取得最大值，即PM最长值为， 则S△ABM=S△BPM+S△APM=××3=． （3）存在， 理由如下： ∵PM∥OB， ∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3， 解得t1=，t2=（舍去）， 所以P点的横坐标是； ③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=， 所以P点的横坐标是． 所以P点的横坐标是或． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值．同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法． 学科网（北京）股份有限公司 $$