4.4 对数函数14题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.4对数函数14题型分类 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． （一） 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数的方法 题型1：对数函数的概念 1-1．（2024高一上·江苏·课前预习）在中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一上·辽宁·期末）若对数函数的图象过点，则 ． 1-3．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 （二） 对数型函数的定义域 （1）求对数型函数定义域的原则 ①分母不能为0. ②根指数为偶数时，被开方数非负． ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. ④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． (2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下: ①分母不为0; ②偶次方根下非负; ③中x≠0; ④对数的真数大于0; ⑤对数、指数的底a满足a>0且a≠1. (3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.　 题型2：对数型函数的定义域 2-1．（2024高二下·北京顺义·阶段练习）函数的定义域为 . 2-2．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 2-3．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 2-4．（2024高二下·重庆·期末）已知函数，则的定义域为 ． 2-5．（2024高二下·山东潍坊·期末）函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 2-6．（2024高一下·上海宝山·阶段练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． （三） 与对数有关的函数的值域与最值问题 (1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围． (2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 题型3：与对数有关的函数的值域与最值问题 3-1．（2024高一上·山东潍坊·阶段练习）已知，． （1）设，，求的最大值与最小值； （2）求的值域． 3-2．（2024高二下·山西运城·期末）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一·全国·课后作业）函数的值域是 ． 3-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3-5．（2024高二下·重庆北碚·期末）已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （四） 对数函数的图象及应用 1．对数型函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 　　　 题型4：对数型函数的图象过定点问题 4-1．（2024高一上·福建莆田·期中）函数的图象恒过定点 . 4-2．（2024高一上·新疆塔城·期末）函数（，且）的图象恒过点 ． 4-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点 . 4-4．（2024高三·北京·专题练习）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 4-5．（2024高一上·全国·课后作业）若函数且的图象恒过定点，则实数 ， ． 题型5：对数型函数的图象的判断 5-1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高三·全国·专题练习）若函数的值域为，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 5-4．（2024高一下·云南保山·期末）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   题型6：对数型函数的图象及应用 6-1．（2024高一上·江西南昌·期末）若，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6-2．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 6-4．（2024高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6-5．（2024高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． （五） 对数型函数的单调性 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 题型7：对数型函数的单调性问题 7-1．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的单调增区间为 . 7-2．（2024高一下·河南·阶段练习）已知函数，则的单调增区间为 . 7-3．（2024高二下·浙江衢州·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D．和 （六） 比较对数值的大小 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． 提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与0或1的大小． 题型8：比较对数值的大小 8-1．（2024高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小． ①. ②. ③. ④且. 8-2．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高一上·河南南阳·期末）三个实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8-4．（2024高二上·湖南长沙·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 8-5．（2024高二上·湖北武汉·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． （七） 求解对数不等式 常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 题型9：求解对数不等式 9-1．（2024高一上·全国·课后作业）解下列关于x的不等式． (1)； (2)； (3)． 9-2．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 ． 9-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数，则使得成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． （八） 根据对数型函数的单调性求参数 已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． 题型10：根据对数型函数的单调性求参数 10-1．（2024高三上·云南昆明·开学考试）设函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10-2．（2024高一·全国·专题练习）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 10-3．（2024高一上·广西玉林·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围 ． （九） 与对数函数有关的函数的奇偶性 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便． 题型11：与对数函数有关的函数的奇偶性问题 11-1．（2024高二下·陕西渭南·期末）若为偶函数，则等于 . 11-2．（2024高一上·江苏南京·期中）已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 11-3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数是定义在上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 ． 11-4．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 . 11-5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 题型12：对数函数性质的综合 12-1．（2024高三上·山西长治·阶段练习）已知函数，． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)讨论函数的值域． 12-2．（2024高一上·湖北十堰·期末）已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）． (1)求f（x）的定义域． (2)是否存在实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 12-3．（2024高一上·江苏淮安·期中）已知是定义在R上的奇函数，其中． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对于任意的都有成立，求实数的取值范围． 题型13：对数函数的实际应用 13-1．（24-25高一上·全国·课堂例题）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（　　） （注：当较小时，） A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 13-2．（2024高二下·云南昭通·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（    ） A．900 B．1200 C．2700 D．8100 13-3．（2024·福建龙岩·三模）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（    ） A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB 13-4．（24-25高一上·全国·课后作业）据统计，某湿地公园越冬的白鹤数量（单位：只）与时间（单位：年）近似满足关系，观测发现年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬有越冬白鹤（    ） A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 13-5．（2024高一下·湖北·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． （十） 反函数的应用 1、求反函数的步骤 (1)求出函数y＝f(x)的值域； (2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)； (3)把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)． 2、(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 题型14：反函数的应用 14-1．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知函数与是互为反函数，则（    ） A． B． C． D． 14-2．（2024高二下·天津·期末）下列各对函数中，互为反函数的是（    ） A． B． C． D． 14-3．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 14-4．（2024高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 2．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一上·内蒙古包头·期中）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·云南大理·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三上·重庆·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A． B．或 C． D．或 10．（2024高二下·山东青岛·期末）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在是增函数 B．是偶函数，且在是增函数 C．是奇函数，且在是减函数 D．是偶函数，且在是减函数 11．（2024高一上·广东汕尾·期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一上·浙江台州·阶段练习）函数与的大致图像是（    ） A．B． C．D． 13．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二上·江苏南通·开学考试）已知函数，在上的值域为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一·全国·单元测试）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2024高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 17．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 18．（2024高一·全国·课后作业）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A．  B．   C．  D．   19．（2024高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 20．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（2024高一下·甘肃武威·开学考试）函数的递减区间为 . 22．（2024高一·全国·课后作业）判断正误 （1）对数函数的定义域为R．( ) （2）与都不是对数函数．( ) （3）对数函数的图象一定在y轴右侧．( ) 23．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 24．（2024高一·全国·专题练习）求函数单调减区间 . 25．（2024高一下·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 . 26．（2024高一上·河南·期中）函数f(x)＝的最大值为 . 27．（2024高一上·全国·课后作业）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 28．（2024高一·全国·专题练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是 . 29．（2024·上海黄浦·三模）已知，设，则函数的值域为 ． 30．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 . 31．（2024高三·全国·对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 . 32．（2024高二下·安徽安庆·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是 ． 四、解答题 33．（2024高三·全国·专题练习）已知x满足式子，求x. 34．（2024高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 35．（2024高三·山东·阶段练习）已知函数（且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 36．（2024高一上·全国·课后作业）设函数，且． （1）求的值； （2）若令，求实数t的取值范围； （3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值． 37．（2024高一上·全国·课后作业）求函数的值域. 38．（2024高三·全国·专题练习）设，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值. 39．（2024高一上·辽宁·阶段练习）已知函数过点． (1)求解析式； (2)若，求的值域． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.4对数函数14题型分类 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． （一） 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数的方法 题型1：对数函数的概念 1-1．（2024高一上·江苏·课前预习）在中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的概念以及不等式计算求解. 【详解】要使式子有意义， 则，解得或.故A，C，D错误. 故选：B. 1-2．（2024高一上·辽宁·期末）若对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【分析】首先求解对数函数，再代入求值. 【详解】设对数函数（，且），因为函数图象过点， 所以，得， 所以. 故答案为： 1-3．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可. 【详解】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 1-4．（2024高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． （二） 对数型函数的定义域 （1）求对数型函数定义域的原则 ①分母不能为0. ②根指数为偶数时，被开方数非负． ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. ④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． (2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下: ①分母不为0; ②偶次方根下非负; ③中x≠0; ④对数的真数大于0; ⑤对数、指数的底a满足a>0且a≠1. (3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.　 题型2：对数型函数的定义域 2-1．（2024高二下·北京顺义·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据对数函数定义域解不等式即可求得结果. 【详解】由函数解析式可得，解得； 所以函数定义域为. 故答案为： 2-2．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意得： ，解得， 定义域为. 故选：A. 2-3．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果. 【详解】已知函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 又，且，解得，且， 所以定义域为. 故答案为：. 2-4．（2024高二下·重庆·期末）已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式和对数式的限制条件可得答案. 【详解】因为，所以， 解得，所以的定义域为. 故答案为： 2-5．（2024高二下·山东潍坊·期末）函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真数大于0列不等式，求解可得. 【详解】由题知，，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：C 2-6．（2024高一下·上海宝山·阶段练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【答案】(-2,2) 【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得. 故答案为：. （三） 与对数有关的函数的值域与最值问题 (1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围． (2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 题型3：与对数有关的函数的值域与最值问题 3-1．（2024高一上·山东潍坊·阶段练习）已知，． （1）设，，求的最大值与最小值； （2）求的值域． 【答案】（1）最大值-1，最小值-2；（2）， 【解析】（1），，，可得在，上是减函数，即可得出． （2），可得在，单调递减，即可得出值域． 【详解】（1），，， 在，上是减函数， 时有最大值； 时有最小值． （2）， 在，单调递减， （即，取得最大值，． （即，取得最小值，． 所以函数的值域，． 【点睛】利用换元法求函数值域是常用的方法也是重要方法. 3-2．（2024高二下·山西运城·期末）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的范围，然后可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 故选：D 3-3．（2024高一·全国·课后作业）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用换元法，令，则，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域即可 【详解】令，则， 因为， 所以的值域为， 因为在是减函数， 所以， 所以的值域为， 故答案为： 3-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出在上的取值范围，依题意需当时，，分、两种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得. 【详解】当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，所以，即； 若函数的值域是，则需当时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得，又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B 3-5．（2024高二下·重庆北碚·期末）已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求出真数部分的范围，再结合对数函数的性质可得结果. 【详解】由，a不等于0时，, 当得， 二次函数没有最大值，有最小值， 没有最大值，有最小值，不合题意. 当得，，二次函数没有最大值，有最小值， ,没有最大值，没有最小值， 当得，二次函数有最大值，没有最小值， ,有最大值，没有最小值，不合题意. 当无解. 当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，. 故选：D. （四） 对数函数的图象及应用 1．对数型函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 　　　 题型4：对数型函数的图象过定点问题 4-1．（2024高一上·福建莆田·期中）函数的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】根据对数的性质即可令求解. 【详解】令，解得，所以， 故函数的图象恒过定点， 故答案为： 4-2．（2024高一上·新疆塔城·期末）函数（，且）的图象恒过点 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求出定点坐标. 【详解】令，解得，此时， 故（，且）的图象恒过点. 故答案为： 4-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点 . 【答案】 【分析】先求出经过的定点，再证明与是一对反函数，即可得到经过的定点. 【详解】由（且）可知，时，，则点为， 由可得，两边取对数得，，交换可得，， 即与是一对反函数，图象关于轴对称， 故经过点. 故答案为： 4-4．（2024高三·北京·专题练习）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】根据对数函数的图象求出定点的坐标，代入求出的值，然后计算函数值即可. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 令，解得，则， 所以点坐标为， 又点在幂函数的图象上，所以，解得， 所以， 所以， 故答案为： 4-5．（2024高一上·全国·课后作业）若函数且的图象恒过定点，则实数 ， ． 【答案】 －2 2 【分析】根据对数函数的性质，结合公式，即可求解. 【详解】∵函数的图象恒过定点， ∴将代入， 得． 又当，且时，恒成立， ，． 故答案为：； 题型5：对数型函数的图象的判断 5-1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过底数范围判断指对函数是增函数还是减函数，即可判断图像，得出答案. 【详解】当时，，函数为底数大于1的指数函数，是增函数，函数为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数， 故选：C. 5-2．（2024高三·全国·专题练习）若函数的值域为，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得，再结合的奇偶性和单调性分析即可. 【详解】∵，且的值域为，∴， 当时，在上是增函数． 又函数，所以为偶函数，图象关于y轴对称， 所以的大致图象应为选项A． 故选：A． 5-3．（2024高一上·四川泸州·期末）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断即可. 【详解】因为， （3）是，（4）是，又与关于轴对称， （1）是． 故选：B． 5-4．（2024高一下·云南保山·期末）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案. 【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误； 对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意； 对于C，时，为上增函数，图象错误； 对于D，时，为上增函数，图象错误； 故选：B 题型6：对数型函数的图象及应用 6-1．（2024高一上·江西南昌·期末）若，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据对数函数的图像特征即可求解结论． 【详解】， 在上单调递减，且过第一，第四象限， 图像向左平移个单位，得到， 故函数的图象不经过第一象限， 故选：． 6-2．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 6-3．（2024·浙江绍兴·模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解. 【详解】函数的图象关于对称，其定义域为， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可得，要使函数的图象不过第四象限， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 6-4．（2024高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 6-5．（2024高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】由图象可得，指数函数为减函数， 对数函数为增函数， 所以， 即. 故选：B （五） 对数型函数的单调性 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 题型7：对数型函数的单调性问题 7-1．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后换元，求出内层函数的单调区间，再利用复合函数“同增异减”的性质，可求得答案 【详解】函数， 所以定义域为，解得或 ， 令（或），则， 因为在上单调递增，而在定义域内为增函数， 所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为 故答案为：. 7-2．（2024高一下·河南·阶段练习）已知函数，则的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据对数复合函数的单调性，注意函数的定义域，进而确定单调增区间即可. 【详解】令，即， 由，则在上递增，在上递减， 综上，在上递增，在上递减，而在定义域上递增， 所以的单调增区间为. 故答案为： 7-3．（2024高二下·浙江衢州·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，在分析内、外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数，令，解得且， 所以函数的定义域为， 又函数， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 又函数在定义域上单调递减， 根据复合函数的单调性，可知的单调递增区间为和. 故选：C （六） 比较对数值的大小 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． 提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与0或1的大小． 题型8：比较对数值的大小 8-1．（2024高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小． ①. ②. ③. ④且. 【答案】答案见解析 【分析】①利用对数函数的单调性即可；②根据对数函数的图像判断；③利用中间量0即可；④根据对数函数的单调性分类讨论即可. 【详解】①因为在上是增函数，且，则，所以 ②作出和的图象如下图．    由图象知. ③因为， ,所以. ④当时，函数在定义域上是增函数，则有； 当时，函数在定义域上是减函数，则有. 综上所述，当时，； 当时，. 8-2．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质和题设条件，化简得到，，结合对数函数的娥单调性，得出，再由在上单调递增，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 可得，， 由对数的运算性质，可得，， 又由，所以， 又因为在上单调递增，所以，即. 故选：D. 8-3．（2024高一上·河南南阳·期末）三个实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断的范围，根据分数指数幂运算化简，判断的范围，即可得答案. 【详解】由于， ， 故， 故选：B 8-4．（2024高二上·湖南长沙·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用对数的运算法则把化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解. 【详解】，，， 因为在定义域上是增函数，且，故. 故选：C. 8-5．（2024高二上·湖北武汉·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由指数函数和对数函数的单调性分别限定的范围即可求出结果. 【详解】由在上单调递减可知，， 即； 由对数函数在上单调递增可知，，即； 又可知，即； 所以可得. 故选：A （七） 求解对数不等式 常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 题型9：求解对数不等式 9-1．（2024高一上·全国·课后作业）解下列关于x的不等式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性，列式求解；（2）讨论和两种情况，解不等式；（3）讨论和两种情况解不等式. 【详解】（1）由题意可得 解得， 所以原不等式的解集为． （2）当时，原不等式等价于， 解得， 当时，原不等式等价于 解得 综上所述， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）当时，由，可得，此时无解； 当时，由，可得． 综上，原不等式的解集为. 9-2．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质，把原不等式转化为不等式组，即可求解. 【详解】因为，可得对数函数为单调递增函数， 则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 9-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数，则使得成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用对数运算性质及对应对数函数的单调性求解集即可. 【详解】由题设，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得. 故选：B （八） 根据对数型函数的单调性求参数 已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系． 题型10：根据对数型函数的单调性求参数 10-1．（2024高三上·云南昆明·开学考试）设函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性列出不等式组解出即可. 【详解】由函数，得， 即函数的定义域为， 令， 由函数的对称轴为：，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以当函数在上单调递增时， 所以根据复合函数的单调性可知：， 解得， 故选：D. 10-2．（2024高一·全国·专题练习）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复合函数单调性可得在单调递减，结合二次函数单调性与对数函数定义域求解即可. 【详解】在单调递增，故在单调递减，则， 又∵在恒成立， 则，故，∴， 故答案为： 10-3．（2024高一上·广西玉林·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数为减函数，则内层函数在区间上是减函数， 所以，，解得. 故答案为：. （九） 与对数函数有关的函数的奇偶性 要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便． 题型11：与对数函数有关的函数的奇偶性问题 11-1．（2024高二下·陕西渭南·期末）若为偶函数，则等于 . 【答案】0 【分析】先求出定义域，然后由可求出，再验证上即可. 【详解】由，得或，则函数的定义域为， 因为为偶函数， 所以， 所以， ，得， 解得， 当时，，则 ， 所以为偶函数， 所以符合题意. 故答案为：0 11-2．（2024高一上·江苏南京·期中）已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于为偶函数，所以，化简可求出实数k的值. 【详解】解：定义域为， ∵是偶函数， ∴， 即， ∴，即， 即， ∵，∴，得． 故选：C 11-3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数是定义在上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性得出函数的周期，再结合对数运算得出函数值. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，可得． 因为是奇函数，所以， 所以，所以是周期为4的周期函数， 所以． 故答案为：. 11-4．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】或. 【分析】由已知可得在上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为，则可得，再对数的性质要求得结果 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减， 所以在上递增， 因为是定义在上的偶函数， 所以由，得， 所以， 所以或， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 11-5．（2024·山东泰安·模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定出的奇偶性，然后再逐项检验定义域和奇偶性即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，即， 所以是定义在R上的偶函数. 对于选项A，因为，所以函数定义域为，所以不满足题意； 对于选项B，函数定义域为R， ，是奇函数，不符合题意； 对于选项C，函数定义域为R， 当时，，， 当时，，， 且，所以为偶函数，符合题意； 对于选项D，函数定义域为R， ，为奇函数，不符合题意； 故选：C. 题型12：对数函数性质的综合 12-1．（2024高三上·山西长治·阶段练习）已知函数，． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)讨论函数的值域． 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由对数的真数大于零可求得函数的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义判断. （3）换元后分和两种情况分析判断. 【详解】（1）且，得，即定义域为. （2）因为定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数. （3）， 令，由，得， 则，， 当时，，所以原函数的值域为； 当时，，所以原函数的值域为. 12-2．（2024高一上·湖北十堰·期末）已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）． (1)求f（x）的定义域． (2)是否存在实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）令3﹣ax＞0，解不等式即可求解； （2）假设存在a满足题意，利用复合函数的单调性以及对数函数的性质和函数的最值即可求解． 【详解】（1）由题意可得3﹣ax＞0，即ax＜3， 因为a＞0，所以解得． 故f（x）的定义域为； （2）假设存在实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2． 设函数g（x）＝3﹣ax，由a＞0，得﹣a＜0， 所以g（x）在区间[1，2]上为减函数且g（x）＞0恒成立， 则g（2）＞0，解得0＜a， 又因为f（x）在区间[1，2]上单调递减， 所以a＞1，即， 又因为f（x）在区间[1，2]上的最大值为2， 所以f（x）max＝f（1）＝loga（3﹣a）＝2， 整理得a2+a﹣3＝0，解得． 因为，所以， 所以存在实数，使函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为2． 12-3．（2024高一上·江苏淮安·期中）已知是定义在R上的奇函数，其中． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对于任意的都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）. 【分析】（1）根据，求的取值；（2）首先设函数，同时函数单调性的定义，设，，判断函数的单调性；（3）根据不等式恒成立，转化为，利用函数的单调性，转化为，参变分离后求实数的取值范围. 【详解】（1） ， 得，，； （2）， 设，设， ， 单调递增，根据复合函数的单调性可知单调递增； （3）， ，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在单调递增，所以函数在上单调递增， ， 当时，恒成立，即， 因为，则， 当时，恒成立，即，因为 ，则， 当时，， 综上可知，对恒成立，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的性质的综合应用，本题第三问的关键是转化为，再根据函数的单调性解抽象不等式. 题型13：对数函数的实际应用 13-1．（24-25高一上·全国·课堂例题）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（　　） （注：当较小时，） A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 【答案】C 【分析】根据题意可得，求出即可得解. 【详解】根据题意可得，所以，解得， 根据参考公式可得， 故与最接近的是1.26． 故选：C. 13-2．（2024高二下·云南昭通·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（    ） A．900 B．1200 C．2700 D．8100 【答案】C 【分析】首先根据条件求，再代入求的值. 【详解】由题意可得，解得，所以. 令，解得，所以游速为时耗氧量的单位数为2700， 故选C. 13-3．（2024·福建龙岩·三模）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（    ） A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB 【答案】D 【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出和，算出，可计算出. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以， 所以一般说话时声音的等级约为60dB. 故选：D 13-4．（24-25高一上·全国·课后作业）据统计，某湿地公园越冬的白鹤数量（单位：只）与时间（单位：年）近似满足关系，观测发现年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2024年冬有越冬白鹤（    ） A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 【答案】C 【分析】根据解得，再令，计算即可. 【详解】由题意，当时，， 所以， 到年，当时，. 故选：C. 13-5．（2024高一下·湖北·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：D （十） 反函数的应用 1、求反函数的步骤 (1)求出函数y＝f(x)的值域； (2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)； (3)把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)． 2、(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 题型14：反函数的应用 14-1．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知函数与是互为反函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到的解析式，再代入计算可得. 【详解】因为函数与是互为反函数， 所以，则，， ，，即正确的只有D. 故选：D 14-2．（2024高二下·天津·期末）下列各对函数中，互为反函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互为反函数的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，的反函数为，所以A正确， 对于B，的反函数为，所以B错误， 对于C，的反函数为，所以C错误， 对于D，的反函数为，所以D错误， 故选：A 14-3．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 【答案】B 【分析】首先代入点的坐标求出，即可求出的解析式，从而求出的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数，且的图象过点，所以，解得（负值已舍去）， 所以，又是的反函数，所以， 则，令，解得， 所以的定义域为，令， 则，所以为奇函数， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：B 14-4．（2024高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可. 【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误； 对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误； 对③，取奇函数函数，当时有和与之对应， 即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误. 故选：A 一、单选题 1．（2024高一上·全国·课后作业）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 2．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真数大于0，分母不等式0得到不等式组，求出定义域. 【详解】由题意得，解得. 故选：D 3．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义直接判断即可. 【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 4．（2024高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的概念即得. 【详解】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数. 故选：D. 5．（2024高一上·内蒙古包头·期中）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质确定定点即可. 【详解】当时，即函数图象恒过. 故选：A 6．（2024高一上·云南大理·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域. 【详解】由知，，值域是． 故选：C 7．（2024高三上·重庆·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的规则和对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为，， 所以． 故选：D 8．（2024高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可. 【详解】因为， 所以，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 9．（2024高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意列出不等式组解出即可. 【详解】由题意得，∴或， 故定义域为或， 故选：D. 10．（2024高二下·山东青岛·期末）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在是增函数 B．是偶函数，且在是增函数 C．是奇函数，且在是减函数 D．是偶函数，且在是减函数 【答案】A 【分析】由奇偶性定义可知为奇函数；利用复合函数单调性的判断方法可确定在是增函数. 【详解】由得：或，的定义域为； ，是奇函数； ， 在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数单调性可知：在上是增函数. 故选：A. 11．（2024高一上·广东汕尾·期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由定义域和，使用排除法可得. 【详解】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确. 故选：B 12．（2024高一上·浙江台州·阶段练习）函数与的大致图像是（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可； 【详解】解：因为在定义域上单调递减， 又，所以在定义域上单调递减， 故符合条件的只有A； 故选：A 13．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解. 【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是， 故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足. 故选：A. 14．（2024高二上·江苏南通·开学考试）已知函数，在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过换元令，，则问题转换为求二次函数的值域问题． 【详解】因为函数，，令，则. 所以原函数转化为,又对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为， 所以所求函数的值域为，    故选：A． 15．（2024高一·全国·单元测试）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解. 【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意； 若，则在上单调递增，则， 又因为的值域为，所以，解得． 故选：A． 二、多选题 16．（2024高一·全国·课堂例题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 【答案】CD 【分析】由对数函数的定义判断， 【详解】对于A，真数是，故A不是对数函数； 对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数； 对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数； 对于D，底数，真数是，故D是对数函数． 故选：CD 17．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可. 【详解】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意； 故选：AC. 18．（2024高一·全国·课后作业）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】AC 【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项. 【详解】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点， 只有A,C的图象符合． 故选：AC 19．（2024高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. 20．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据对数函数的定义知，形如且函数符合要求可得解. 【详解】根据对数函数的定义知，，是对数函数，故AB正确； 而，不符合对数函数的定义，故CD错误. 故选：AB 三、填空题 21．（2024高一下·甘肃武威·开学考试）函数的递减区间为 . 【答案】 【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间，且要满足，从而求出答案. 【详解】因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间， 且要满足，解得或， 其中在上单调递增， 故的递减区间为. 故答案为： 22．（2024高一·全国·课后作业）判断正误 （1）对数函数的定义域为R．( ) （2）与都不是对数函数．( ) （3）对数函数的图象一定在y轴右侧．( ) 【答案】 错误 正确 正确 【详解】（1）对数函数（且）中，自变量，故该结论错误． （2）定义域为，与对数函数（且）的定义域不同，不符合对数函数的定义；中底数不是常数，真数不是自变量，不符合对数函数的定义，故该结论正确． （3）对数函数（且）中，自变量，所以对数函数的图象一定在y轴右侧，故该结论正确． 23．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得出结论. 【详解】显然，∴ ，    令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则， 当且仅当t＝－即x＝时，有. 故答案为： 24．（2024高一·全国·专题练习）求函数单调减区间 . 【答案】 【分析】根据复合函数同增异减性质，结合二次不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为， 由二次函数的图象知. ∴在上是增加的，而在上是减少的，而为减函数. ∴函数的减区间为 故答案为： 25．（2024高一下·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 . 【答案】2（写出中的任意一个实数即可） 【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】当时，，因为函数的定义域为，值域为，所以，解得.取. 故答案为：. 26．（2024高一上·河南·期中）函数f(x)＝的最大值为 . 【答案】0 【解析】根据二次函数的性质求出真数的范围，即可求出结论. 【详解】解：令， 对称轴为，， 当时，， 当时，， 函数的最大值为：. 故答案为：0. 27．（2024高一上·全国·课后作业）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 【答案】 【分析】将点代入对数解析式求出底数，即可求解. 【详解】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以. 故答案为： 28．（2024高一·全国·专题练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分与两种情况，结合对数函数的值域求解即可. 【详解】由于函数且的值域是， 故当时，满足. 若在它的定义域上单调递增， 当时，由，. 若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是. 综上可得，. 故答案为： 29．（2024·上海黄浦·三模）已知，设，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】确定函数的定义域，化简可得的表达式，换元令，可得，结合二次函数的性质即得答案. 【详解】由题意得，则，即的定义域为， 故， 令，则， 函数在上单调递增，故， 故函数的值域为， 故答案为： 30．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用对数换底公式以及函数单调性即可解得不等式解集为. 【详解】易知， 由可得； 又函数在为单调递减， 所以可得，解得. 故答案为： 31．（2024高三·全国·对口高考）若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】第一空，由题意可得对于恒成立，结合判别式小于0即可求得答案；第二空，由题意可得能取到所有正数，结合判别式大于等于0即可求得答案； 【详解】函数的定义域为，则对于恒成立， 故，解得，即； 若函数的值域为，即能取到所有正数， 故，解得或，即， 故答案为：； 32．（2024高二下·安徽安庆·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而解不等式得答案． 【详解】解： 的值域为， ∴， 解得或， 故答案为： ． 四、解答题 33．（2024高三·全国·专题练习）已知x满足式子，求x. 【答案】或 【分析】根据对数函数真数大于0，底数大于0且不等式1，列出方程组，求出答案. 【详解】因为x满足式子. 故，解得. 34．（2024高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（且），且函数的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式； (2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围． 【详解】(1)，解得，故函数的解析式 (2) 即，解得或 故实数m的取值范围是 35．（2024高三·山东·阶段练习）已知函数（且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把已知点的坐标代入求解即可； （2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件． 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点. ，所以，即； （2）因为单调递增，所以， 即不等式的解集是． 36．（2024高一上·全国·课后作业）设函数，且． （1）求的值； （2）若令，求实数t的取值范围； （3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值． 【答案】（1）6；（2）；（3），此时；，此时． 【分析】（1）根据题目函数的解析式，代入计算函数值； （2）因为，根据对数函数的单调性求出实数t的取值范围； （3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x的值. 【详解】（1）； （2），又，，， 所以t的取值范围为； （3）由， 令，， 当时，，即，解得， 所以，此时； 当时，，即， ，此时． 【点睛】求函数最值和值域的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 37．（2024高一上·全国·课后作业）求函数的值域. 【答案】 【分析】求出函数的定义域为，先求出，再结合对数函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为函数的定义域为：， 而方程的， 所以对恒成立， 令： 在上是减函数， 所以，即原函数的值域为 故答案为： 38．（2024高三·全国·专题练习）设，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)2，； (2)2. 【分析】（1）由代入可得的值，列出不等式组可得定义域； （2）根据复合函数的单调性判断在区间的单调性即可得结果. 【详解】（1）∵，∴，∴. 由，解得， ∴函数的定义域为. （2）， ∴当时，是增函数；当时，是减函数， 函数在上的最大值是. 39．（2024高一上·辽宁·阶段练习）已知函数过点． (1)求解析式； (2)若，求的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入，解得，即可得解析式； （2）求得，令，，利用二次函数与对数函数的性质求解即可． 【详解】（1）将代入，得，解得， 所以，其中 （2）， 由，解得， 令，， ∵， ∴由二次函数的性质可知，在时，， 又在上单调递减， 所以的值域为．(注：也正确) 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$