精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模数学试题

东北育才学校科学高中2024届高考适应性测试数学学科试卷 命题人，校对人：高三数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 【详解】求解二次不等式可得：， 求解一次不等式可得：. 由于，故：，解得：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 3. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是（ ） A. 300 B. 240 C. 150 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，人员构成可能为、、或、、，再将3组全排列即可得. 【详解】先将5名志愿者分成3组， 若这三组的人员构成为、、，则共有种分组方案， 若这三组的人员构成为、、，则共有种分组方案， 再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有种分配方案， 故共有种分配方法. 故选：C. 4. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ） A. 190 B. 210 C. 220 D. 420 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可求出数列的通项，最后根据等差数列求和公式计算可得； 【详解】解：依题意等比数列的各项都为正数，且当时有 所以，所以 所以 所以数列的前20项和为 故选：B 【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题. 5. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解． 【详解】由题意知， 所以，两边取以10为底的对数，得， 所以． 故选：D． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，进一步，根据余弦函数单调性得，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 从而， 注意到，而在上单调递减， 从而，即， 所以. 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象关于对称、关于点中心对称可得的周期，根据周期可得答案． 【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称， 且．由，，得， 所以函数的图象关于对称，． 根据图象变换的规律，由的图象关于点中心对称， 得的图象关于点中心对称，， 则的周期为，， 故． 故选：A． 8. 函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到恒成立，构造函数，利用的单调性，得到在区间上恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【详解】因为， 因为对任意，都有，即恒成立， 令，易知在定义域上单调递增， 所以在区间上恒成立，也即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：，构造函数，从而将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出的最大值，即可求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的四则运算与的乘方性质判断A，举反例排除B，利用复数的四则运算与模的运算判断C，利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，设且不同时， 则 ，故C正确； 对于D，设复数，则点， 由，得， 则点到点与点的距离和为， 故点的轨迹是线段，故D错误. 故选：AC. 10. 在中，角所对的边依次为，已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 若的外接圆半径是，内切圆半径为r，则 D. 若，则的面积是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，令，选项A，将代入，得，即可判断A错误；选项B，利用余弦定理得，即可求解；选项C，利用正弦定理得，再利用等面积法得，即可求解；选项D，根据条件得，，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理知， 令， 对于选项A，，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以角为钝角，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，由正弦定理得， 所以，得到， 又，得到，所以，故选项C正确， 对于选项D，，得到，所以，又， 所以的面积为，故选项D错误， 故选：BC. 11. 点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为. B. 周长的最小值为. C. 当最大时，直线的方程为. D. 过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项：通过抛物线方程计算可得； B选项：运用抛物线定义，将转换为到准线的距离即可求出周长最小值； C选项：将最大问题，转换为的最大值问题，再讨论； D选项：结合A选项得到的结论，判断四边形的面积最小时点坐标. 【详解】对于A选项，设，则， 当且仅当时取等号，此时或，所以， ，故A选项错误； 对于B选项，抛物线的准线方程为，如图1，过作准线的垂线，垂足记为， 则，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即，此时， 又，所以周长的最小值为，故B选项正确； 对于C选项，如图2，当与圆相切时，且时，取最大． 连接，，由于，， ，所以，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，故C选项错误； 对于D选项，如图3，连接，， 由A选项知，，且当或时，， 此时四边形的面积最小，的横坐标是1，所以D选项正确， 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知二项式展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 【答案】10 【解析】 【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得． 故答案为：10. 13. 函数的极小值点为，则实数的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】对求导，得到，由题设可得或，再进行检验，即可求解. 【详解】因为，得到， 由题知，解得或， 当时，， 由，得到或，由，得到， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时是极大值点，不合题意， 当时，，由，得到或，由，， 则f(x)在上单调递增，在上单调递减， 此时极小值点，符合题意， 故答案为：. 14. 设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴： 则，，，设，由，可得：， 整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足， 故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆， 球心距为， 所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段的中点，，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再利用线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及，利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 设，连接， 因为四边形为矩形，所以为中点， 又为中点，则， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，，，的正方向分别为x，y，z轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为：， 且，令，解得：，，所以， 设直线与平面所成角为，所以. 则直线与平面所成角的正弦值为. 16. 刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 【答案】（1）68 （2）①分布列见详解，；②选择方案二更划算. 【解析】 【分析】（1）根据直方图估算平均数的方法直接计算即可； （2）①先确定X的取值，然后根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②确定实际付款金额Y的值，然后根据所给概率写出分布列，即可计算出期望，通过比较期望大小即可作出判断. 【小问1详解】 由直方图可知，满意度的平均数为： . 【小问2详解】 ①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为； 摸到个红球，返消费金额的，实际付款为， 所以的可能取值为， 因为， 所以， 的分布列为： X 800 900 1000 P 所以（元）. ②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为， 因为， 所以，Y的分布列为： Y 800 900 950 P 所以，（元） 因为，所以选择方案二付款更划算. 17. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）极大值为，无极小值；（3）． 【解析】 【分析】（1），求得，得到，然后计算切点纵坐标，求导数，计算切线斜率，写出切线方程，进而得到函数解析式; （2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性，进而得到极值. （3）令,，由于，，故先对时的情况利用导数研究函数的单调性，即可得到，符合题意.当时，再利用导数研究函数的单调性，设的零点情况分和讨论，进而求得 时符合题意，时不符合题意，从而综合可得. 【详解】解：（1），∴， ，， ，， 切线方程为,即, ∴． （2）由（1）知，函数定义域为， 所以， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）令, ，，, 1．当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意； 2．当时，设， ①当，，，所以在上单调递增， ，所以在上单调递增，所以， 所以符合题意； ②当时，，，所以在上递增， 在上递减，，所以当，， 所以在上单调递减，，所以，，舍去. 综上：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和求解不等式恒成立中的参数取值范围问题，关键难点是不等式恒成立中的分类讨论思想，要理解分类讨论的依据. 18. 椭圆的焦点为和，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上、下顶点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点（不与、两点重合）. ①求证：与的交点的纵坐标为定值； ②已知直线，求直线、、围成的三角形面积最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质直接求解即可； （2）①由题知直线斜率存在，设直线，，，联立方程，结合韦达定理，表示出直线和的方程，化简得到，即可判断直线，的交点在直线上. ②设直线与直线，的交点分别为，，表示出，即求的最小值，利用换元法可得，即可得到结果. 【小问1详解】 根据题意可得，，， 则，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①因为直线过点， 可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交， 可设直线，，， 联立方程，消去可得， 则， 由根与系数的关系可得：，， 因为，， 可得直线，直线， 所以 ． 即，解得， 所以直线，的交点在直线上. ②设直线与直线，的交点分别为，， 则由（1）可知：直线，直线． 联立和方程， 解得，， 因为， 又因为点到直线的距离， 可得，只需求的最小值． 由弦长公式可得 ． 令，则． 可得 ， 当且仅当，即时等号成立． 即的最小值为，可得面积的最小值为． 故直线，，围成的三角形面积的最小值为. 19. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据求出，构造出，得到为首项为，公比为的等比数列，并求出通项公式，得到； （2）变形得到，构造，作差得到，得到数列单调性，得到； （3），结合及二项式定理得到当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得到，利用二项式定理得到除以16的余数为除以16的余数，求出答案. 【小问1详解】 当时，，又，所以， 当时，①， 故②， 式子①-②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故， 【小问2详解】 由（1）知，，故， 对于任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8. 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北育才学校科学高中2024届高考适应性测试数学学科试卷 命题人，校对人：高三数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 2. 已知，且，则的最小值为（ ） A 4 B. C. D. 3. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是（ ） A. 300 B. 240 C. 150 D. 50 4. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ） A. 190 B. 210 C. 220 D. 420 5. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，） A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 8. 函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则 C 若，则 D. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆 10. 在中，角所对边依次为，已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 若的外接圆半径是，内切圆半径为r，则 D. 若，则的面积是 11. 点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为. B. 周长的最小值为. C. 当最大时，直线的方程为. D. 过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 13. 函数的极小值点为，则实数的值为______. 14. 设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段的中点，，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）据此估计这人满意度平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 17. 已知曲线在处的切线方程为，且． （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 椭圆的焦点为和，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上、下顶点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点（不与、两点重合）. ①求证：与的交点的纵坐标为定值； ②已知直线，求直线、、围成的三角形面积最小值. 19. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$