特训03 2.5-2.8 直线与圆的位置关系 圆的有关计算（中考仿真模拟）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训03 2.5-2.8 直线与圆的位置关系 圆的有关计算（中考仿真模拟） 一、单选题 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 2．（2024·江苏无锡·二模）将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏常州·一模）如图，与相切于点B，连接OA交于点C，弦，连接．若，的半径是9，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图、是四分之一圆的半径，其中两个半圆、相切于点，若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2023·江苏南京·三模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弧的长是（　　） A． B． C． D． 7．（2023·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，与x轴相切．点A，B在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（　　）    A． B． C． D． 8．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 二、填空题 9．（2023·江苏苏州·模拟预测）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ． 10．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为 ． 11．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，是的切线，切点为，连接交于点，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于 ． 13．（2024·江苏泰州·一模）在中，，， D为边上的一点，若线段上存在两个点到D的距离等于则 的取值范围为 ． 14．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点D，E，连接，的延长线交于点F，则 ． 15．（2024·江苏泰州·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的内心，连结、、、．若，，那么四边形的周长 ． 16．（2022·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是 ． 三、解答题 17．（2024·江苏宿迁·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 18．（2024·江苏南通·二模）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B， ，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 19．（2024·江苏南京·三模）如图：已知直线，及同侧两点．用直尺与圆规作图． (1)在图（1）中作出点，使（保留作图痕迹）； (2)在图（2）中作出点，使（保留作图痕迹，简要说明画法） 20．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 21．（2024·江苏无锡·三模）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；    （2）在（）中，如图，若，且，求以为直径的圆覆盖的面积 ．    22．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A 出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．    (1)当时． ①求的度数； ②判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求t的值． 23．（2022·江苏盐城·三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形．    (1)请你利用图2证明勾股定理； (2)如图3，以为直径画圆O，延长交于点E，判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； (3)若，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示） 24．（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 25．（2022·江苏南京·二模）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． (1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ； (2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标； (3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 26．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，，点、分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处． (1)如图1，当与线段交于点时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连结交于点连结．求证：； (3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长． 27．（2024·江苏·模拟预测）在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 2.5-2.8 直线与圆的位置关系 圆的有关计算（中考仿真模拟） 一、单选题 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【解析】过点A作于点D，    根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， 以长为半径的与的位置关系是相离， 故选：D． 2．（2024·江苏无锡·二模）将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，扇形弧长公式；利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长，先求出圆锥母线长，再求出侧面积即可． 【解析】解：设圆锥母线长为l，则有：， 解得：， 则圆锥侧面积为：， 故选：B． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到． 【解析】解：连接，   直线与相切于点， ， 又， ， ， ， 故选：A． 4．（2024·江苏常州·一模）如图，与相切于点B，连接OA交于点C，弦，连接．若，的半径是9，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理及弧长公式，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先根据切线的性质得出，再根据平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，继而根据弧长公式求解即可． 【解析】连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径是9， ∴， 故选：B． 5．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图、是四分之一圆的半径，其中两个半圆、相切于点，若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不规则图形面积计算、勾股定理等知识，确定的半径是解题关键．设的半径为，首先根据题意可得的半径，，，再根据勾股定理可得，代入数值并求解，确定的半径，然后计算阴影部分的面积即可． 【解析】解：连接，如下图， 设的半径为， ∵、是四分之一圆的半径，其中两个半圆、相切于点，， ∴的半径，，， 由勾股定理，可得， 即， 解得， 即的半径为2， 所以阴影部分的面积． 故选：B． 6．（2023·江苏南京·三模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O作，连接，根据题中条件可得，，进一步可推出，用弧长公式求解即可． 【解析】解：过点O作，连接，，如图所示，    ∵将半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的折叠问题，涉及解直角三角形、圆心角、弧的关系定理，垂径定理、圆周角定理、弧长公式等，正确作出辅助线是关键． 7．（2023·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，与x轴相切．点A，B在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点P作轴于点，轴于点，求出A、B的坐标，当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，进而得到此时点P的坐标，根据旋转过程中的长度不变，确定A的位置，再进行求解即可． 【解析】解：连接，过点P作轴于点，轴于点，    ∵， ∴， ∵与x轴相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B的横坐标为9，， ∴P、B在平行于x轴的直线上，即：， ∴， ∴的长为， 当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长， ∴此时P点的坐标为：， ∵沿着x轴向右作无滑动的滚动，的长度保持不变， ∴点A位置转动到如图所示的位置：    ∵， ∴， ∴，即：， 故选B． 【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，勾股定理．解题的关键是确定点B第一次落在x轴上时，点P和点A的位置． 8．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 9．（2023·江苏苏州·模拟预测）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边差的一半． 根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后运用直角三角形内切圆半径公式求解． 【解析】解：设直角三角形的两直角边为，斜边为c，内切圆半径为r， 则：，， 由勾股定理，得：， ， 故直角三角形内切圆的半径为1． 故答案为：1． 10．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/216度 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理及弧长公式，首先根据圆锥的高与母线之比为，设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为，利用勾股定理即可得到圆锥底面半径的长为，然后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长为，再利用弧长公式列出方程，即可求得． 【解析】解：设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为， 圆锥底面半径的长为， ， 解得：， 其侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 11．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，是的切线，切点为，连接交于点，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、扇形面积以及圆的性质，根据切线的性质可以得到，由于，算出后即可求出面积． 【解析】解：是的切线，切点为， ， ， 是的直径 ， ， 在中， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 12．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于 ． 【答案】/46度 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理． 连接，先利用圆周角定理得，再根据切线的性质得，然后利用互余计算的度数． 【解析】解：连接，如图所示， ∵， ∴， 为的切线， ， ， ， 故答案为：． 13．（2024·江苏泰州·一模）在中，，， D为边上的一点，若线段上存在两个点到D的距离等于则 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，切线的性质，两点间距离，以点D为圆心，为半径画圆，分别找出当经过点A时，当与线段相切时，的值，即可得出答案． 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∴， 以点D为圆心，为半径画圆，当经过点A时，如图所示：    此时，在线段上刚好有两个点到点D的距离为，则， 以点D为圆心，为半径画圆，当与线段相切时，如图所示：    此时在线段上刚好有一个点到点D的距离为， 设与线段相切于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段上存在两个点到D的距离等于时，的取值范围为：． 故答案为：． 14．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点D，E，连接，的延长线交于点F，则 ． 【答案】/29度 【分析】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出是解题的关键． 由的内切圆与，分别相切于点D，E，得，，则，所以，于是得到问题的答案． 【解析】解：的内切圆与，分别相切于点D，E， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 15．（2024·江苏泰州·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的内心，连结、、、．若，，那么四边形的周长 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得，，，求得，作的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、，可求得，则，，再证明四边形是正方形，则，求得，，同理可得，，即可求得四边形的周长，于是得到问题的答案． 【解析】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 作的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 同理可得，， 四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、三角形的内切圆的定义和性质、切线的性质定理、切线长定理、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．（2022·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】当直线y过P、N两点时，由中心对称图形的特征可得直线y平分7个小圆的面积，由直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系求得N、P的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可； 【解析】解：如图，⊙N、⊙G、⊙M与x轴相切于F、O、E，连接NF、NG、GM、ME、PM，直线y过P、N两点， ∵右边6个小圆关于点P中心对称，直线y经过点P， ∴直线y平分右边6个小圆的面积， ∵直线y经过左边小圆的圆心， ∴直线y平分⊙N的面积， ∴直线y平分7个小圆的面积， NF⊥x轴，GO⊥x轴，则NF∥GO， NF=GO=1，则NFOG是平行四边形， ∠GOF=90°，则NFOG是矩形， ∵⊙N、⊙G相切， ∴NG=2，即N（-2，1）， 同理可得M（2，1）， ∵P在⊙M的正上方，E点在⊙M的正下方， ∴PE为⊙M的直径，即P、M、E共线， ∴P（2，2）， 设直线y=kx+b，则 ，解得：， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了中心对称图形的特征，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，一次函数解析式；掌握中心对称图形的特征是解题关键． 三、解答题 17．（2024·江苏宿迁·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可． （1）连接，根据，求出，根据，则，即可； （2）根据，则，再根据，，求出，；根据勾股定理求出，根据三角形的外角，则，阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可． 【解析】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）∵是的切线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 18．（2024·江苏南通·二模）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B， ，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由与相切，可得．由．可得．由，可得，则， （2）如图，连接，过点O作．则．为等边三角形．，．．．证明四边形为矩形．则，． ，，． 根据，计算求解即可． 【解析】（1）解：∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点O作． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵． ∴． ∴． ∵与相切， ∴． ∵，， ∴四边形为矩形． ∴，． ∴，，． ∴， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，正切，矩形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，正切，矩形的判定与性质，扇形面积是解题的关键． 19．（2024·江苏南京·三模）如图：已知直线，及同侧两点．用直尺与圆规作图． (1)在图（1）中作出点，使（保留作图痕迹）； (2)在图（2）中作出点，使（保留作图痕迹，简要说明画法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点M为圆心，以适当长度为半径画弧，交于C，D两点，然后分别以点C，D为圆心，以长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接交于点P，即为所求； （2）首先作出点N关于的对称点E，连接，作出的垂直平分线，连接两弧的交点交于点F，以点E为圆心为半径画圆，以点F为圆心，以为半径画圆，两圆交于点G，连接交于点Q，即为所求． 【解析】（1）如图所示，点P即为所求； ∵点Q和点M关于对称 ∴ ∵ ∴； （2）如图所示，点Q即为所求； ∵点N和点E关于对称 ∴ ∵是直径 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了复杂作图，切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，推出，推出，推出，即可得出答案； （2）求出，求出，求出，即可求出，连接，继而求得半径，，根据弧长公式求得，即可求解． 【解析】（1）连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 连接， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，弧长公式，三角形的内角和定理，含30度角的直径三角形，勾股定理，等腰三角形等知识点的应用，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2024·江苏无锡·三模）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；    （2）在（）中，如图，若，且，求以为直径的圆覆盖的面积 ．    【答案】（）作图见解析；（）． 【分析】（）利用作垂直平分线，作一个角等于已知角即可； （）连接，设圆与交于点，连接，由是的直径， 则，从而证明是等腰直角三角形，得，由三角形内角和求出，，最后由即可求解． 【解析】（）如图，   作的垂直平分线，交于点， 以为圆心，作， 作，交于点，则有， ∴， ∴即为所求； （）如图，连接，设与交于点，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴以为直径的圆覆盖的面积为： ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，扇形面积和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22．（2024·江苏淮安·一模）如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A 出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．    (1)当时． ①求的度数； ②判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求t的值． 【答案】(1)①；②与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）①由题意可知，，根据弧长公式，设，当时，，求解即可； ②连接，由①可知，，，可知为等边三角形，则，再证，则，得，即可求得，可证得与相切； （2）由（1）可知，，，由轴对称可知，，，根据勾股定理的逆定理可证明，则，再由弧长公式得，即可求得． 【解析】（1）解：①∵是的直径，， ∴， 设，当时， ∴，即：； ②与相切，理由如下： 连接，    由①可知，，， ∴为等边三角形，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， ∴与相切； （2）由（1）可知，，， 由轴对称可知，，， 在中，，， ∴， ∴，则， 则，解得：． 23．（2022·江苏盐城·三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形．    (1)请你利用图2证明勾股定理； (2)如图3，以为直径画圆O，延长交于点E，判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； (3)若，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2)与⊙相切，理由见详解 (3) 【分析】（1）利用两种方法表示正方形的面积证明勾股定理； （2）过圆心O作作于点G，推出解题； （3）求出阴影部分的中心角度，运用扇形面积减去三角形的面积即可解题． 【解析】（1）证明： ∵， ， ， ， ∴，即； （2）与⊙相切，理由为：    过O点作于点G， 则， ∵， ∴ ∴与⊙相切； （3）如图，设交点为H，L， ， 在中 ， ∴， ∴      【点睛】本题考查勾股定理的推导，直线和圆的位置关系以及利用扇形和直角三角形求阴影部分的面积，作辅助线是解题的关键． 24．（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；② (3)见解析 【分析】（1）①利用圆的面积公式计算，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积计算； ②利用参考数据计算近似值再比较即可； （2）①依题意补全方案3的示意图即可； ②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可； （3）作等边，首先让点B在上运动，点A在的延长线上，运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明． 【解析】（1）解：①由依题意得：， ， ∴ 又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长． ∴ 故答案是：，； ②∵，，， ∴； （2）①依题意补全方案3的示意图如下：    ②连接，M为切点，则的中点，    设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． （3）设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．    对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时， 又作，则 依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为， 则有，F为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（2022·江苏南京·二模）点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”． (1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ； (2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标； (3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点，，进行分析判断； （2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标； （3）设“垂距点”的坐标为，则，画出函数图像，分情况讨论即可解得． 【解析】（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4． ，， 故答案为：． （2）解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标． 由题意得 ． ①当时，． ∴． ②当时，． ∴（不合题意，舍）． ③当时，． ∴． ∴  综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是，． （3）解：设“垂距点”的坐标为，则 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形， ∴ 当过点时，上不存在“垂距点”， 此时 ∴若存在“垂距点”，则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算． 26．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，，点、分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处． (1)如图1，当与线段交于点时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连结交于点连结．求证：； (3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换的性质，等腰三角形的判定，弧长公式以及解直角三角形等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）由平行线的性质得，由翻折的性质得，则，即可得出结论； （2）同（1）易证，由AAS证得，得出，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； (3)证出，得，再证点运动的路径是以为圆心，以为半径的弧，求出，再求出，，利用弧长公式运算即可． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， ∵，， ∴（AAS）， ∴， ∴； （3）解：连接，交于，连接，如图3所示： 同（2）：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴点为、的交点，且， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴（SAS）， ∴， 当点由点移动到中点时，则点移动到的中点，点落在点处， ∴点运动的路径是以为圆心，以为半径的弧， 在中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴点G运动的路径的长． 27．（2024·江苏·模拟预测）在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)直角三角形；理由见解析 (3)①存在；0或② 【分析】（1）当运动时间为t秒时，，，，，由三角形面积得，即可求解； （2）由勾股定理得，，，由勾股定理逆定理即可求解； （3）①（ⅰ）可得与、不相切；（ⅱ）当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，由切线的判定即可求解；（iii）当正好与四边形的边相切时，由勾股定理得，即，即可求解； ②（i）当时，与四边形有两个公共点；（ii）当经过点D时，与四边形有两个公共点；由勾股定理得，即可求解． 【解析】（1）解：当运动时间为t秒时，，， ，， 的面积等于， ， ， 解得：，， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于； （2）解：的形状是直角三角形， 理由如下： 当秒时，，， ，， 在中， ， 同理，在和中， 由勾股定理得，， ， ， 是直角三角形； （3）解：①存在； （ⅰ）由题意可知与、不相切； （ⅱ）如图1，当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合， ， ， ， 为的切线； （iii）当正好与四边形的边相切时，如图2所示， 由题意可知：，，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：，（舍去）， 综上，当或时，与四边形的一边相切； ②（i）当时，与四边形有两个公共点； （ii）如图3，当经过点D时，与四边形有两个公共点； 由题意知：，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 即：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，与四边形有三个公共点． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的性质，切线的判定及性质，掌握判定方法及性质，能熟练利用勾股定理求解，能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$