11.2 锥体（第1课时）（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

11.2锥体（第1课时） 题型1：棱锥的结构特征和分类 判断几何体是否为棱锥 1．下列说法正确的是 (填序号). ①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥. 2．下列说法正确的有( )个. ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ②正棱锥的侧面是等边三角形； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 3．下列叙述正确的是 (只填序号)． ①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形； ②三棱锥的四个面都可以是直角三角形； 4．下列说法正确的是 . ①一个棱锥至少有四个面； ②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等； ③五棱锥只有五条棱； ④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似. 5．八棱锥的侧面个数是 . 题型2：正棱锥及其有关计算 6．正六棱锥底面边长为1，侧棱长为2，则棱锥高为 . 7．华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为 米． 8．从正方体的8个顶点中取4个顶点，取出的4个顶点构成一个正三棱锥的4个顶点，则取法种数为 . 9．一个底面边长等于侧棱长的正四棱锥和一个棱长为1的正四面体恰好可以拼接成一个三棱柱，则该三棱柱的高为 ． 10．在正三棱锥S—ABC中，点D是的中点，若，则大小为 ． 题型3：棱锥的展开图 11．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 12．在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ． 13．如图，在三棱锥中，，，如图，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ．    题型4：棱锥中截面的有关计算 14．如图所示，在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，周长的最小值为 ． 15．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形． 16．已知正六棱锥的底面边长和高都是a，那么最大的轴截面面积是 ． 17．已知棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为121，则截得的棱台的高为 . 18．底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 . 题型5：圆锥的结构特征辨析 判断几何体是否圆锥 19．给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 . 20．下列结论不正确的是 （填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 21．将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为 A．一个圆台 B．两个圆锥 C．一个圆柱 D．一个圆锥 22．如图所示的图形中有 A．圆柱、圆锥和圆台 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥和圆锥 题型6：圆锥中截面的有关计算 23．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是 .（填序号） 24．若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥顶点到底面的距离为 . 25．从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 . 26．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面面积与原圆锥的底面面积之比为1：4，圆台的母线长为9 cm，则原来的圆锥的母线长为 . 题型7：圆锥的展开图及最短距离问题 27．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于 . 28．已知圆锥底面半径为，母线长为2，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 29．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 题型8：棱台、圆台综合 30．棱台与圆台 （1）棱台 如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个 后剩下的多面体称为棱台，其中，由正棱锥截得的棱台称为 . （2）圆台 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为 .如图，大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台.由圆锥的形成过程，容易看出圆台是由 绕 旋转一周所形成的几何体. 31．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为 ． 32．正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为 ． 33．下列几何体中是棱台的有 （填序号）. 34．若棱台的上、下底面的面积之比为1∶2，则上，下底面的周长之比为 ． 35．一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为 . 36．正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于 ． 37．圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值是 38．圆台的母线与轴的夹角为，母线长为2，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，则两底面面积之和为 ． 39．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 40．已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    41．已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 一、填空题 1．已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 2．已知三棱台的上、下两底面均为正三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱从上到下分为长度之比为的两部分，则截面的面积为 ． 3．四棱锥中，底面是边长为的菱形ABCD，平面ABCD，且，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 ． 4．如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    5．如图，正方形的边长为，已知，将沿BE边折起，折起后A点在平面上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：其中正确的有    ①AB与DE所成角的正弦值是；②ABCE；③的体积是； ④平面平面；⑤二面角的大小为. 6．如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 二、单选题 7．一个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，另一个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，这两个棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 8．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知菱形中，，AC与BD相交于点E，将沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使为等边三角形； ②DM与BC不可能垂直，成立的是（    ） A．①为假命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①②均为真命题； D．①②均为假命题 三、解答题 10．（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 11．将常见的几个棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）作如下统计： 空间图形 顶点数 面数 棱数 三棱锥 4 三棱柱 5 三棱台 9 四棱锥 5 四棱柱 21 四棱台 8 五棱锥 10 五棱柱 10 五棱台 7 …… (1)把上表中空缺的数据补上； (2)由此表可猜得棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）满足一个关系式：_____________，并用石膏晶体和明矾晶体的空间图形中顶点数、面数、棱数验证你猜测的关系式的正确性． 12．如图，已知四面体中，平面，. (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度. 13．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2锥体（第1课时） 题型1：棱锥的结构特征和分类 判断几何体是否为棱锥 1．下列说法正确的是 (填序号). ①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥. 【答案】⑤ 【分析】根据正棱锥的定义结合反例可判断各选项的正误，从而可得正确的选项. 【解析】对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥， 故①错误. 对于②，如图（1），棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形， 此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误. 对于③④，如图（2），侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥， 故③④错误. 对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥， 故顶点底面上的射影为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确. 故答案为：⑤ 2．下列说法正确的有( )个. ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ②正棱锥的侧面是等边三角形； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 【答案】0 【分析】根据棱锥的结构特征逐一判断：①根据棱锥的定义，“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的；②正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误；③由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥，故错误. 【解析】①错误，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的； ②错误，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误； ③错误，由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥. 如图所示的三棱锥中有， 满足底面为等边三角形， 三个侧面，，都是等腰三角形， 但长度不一定，三个侧面不一定全等，故错误. 故答案为：0.    【点睛】本题考查棱锥的结构特征，考查对棱锥的特征的熟练掌握与应用，属于基础题. 3．下列叙述正确的是 (只填序号)． ①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形； ②三棱锥的四个面都可以是直角三角形； 【答案】①② 【分析】在正方体中分别作出满足题意的棱锥即可. 【解析】（1）如图所示：在正方体中四棱锥的四个侧面均为直角三角形.    （2）如图所示：在正方体中三棱锥的四个面均为直角三角形.    【点睛】本题考查了棱锥的结构性质，熟练掌握棱锥的结构特征是解题的关键,同时考查了补体思想． 4．下列说法正确的是 . ①一个棱锥至少有四个面； ②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等； ③五棱锥只有五条棱； ④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似. 【答案】①④ 【分析】根据棱锥的结构特征逐一判断即可. 【解析】①正确， ②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不等， ③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱， ④正确， 故答案为：①④ 5．八棱锥的侧面个数是 . 【答案】 【分析】根据棱锥的概念可得答案. 【解析】八棱锥有个侧面． 故答案为： 题型2：正棱锥及其有关计算 6．正六棱锥底面边长为1，侧棱长为2，则棱锥高为 . 【答案】 【分析】 由正六棱锥图形特征，结合勾股定理可得答案. 【解析】因几何体为正六棱锥，则其底面为正六边形，则底面中心O到底面一顶点B的距离，六棱锥上顶点A与底面中心连线为六棱锥的高，又侧棱长 2， 则棱锥高. 故答案为： 7．华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为 米． 【答案】20 【分析】做底面于点，取的中点，可得、，根据四个玻璃侧面的面积求出可得，再由勾股定理可得答案. 【解析】如图，做正四棱锥底面于点，则为底面的中心，取的中点， 连接、，则，， 因为，所以， 因为四个玻璃侧面的面积约1500平方米，所以平方米， 由可得， 所以， 则塔高约为米， 故答案为：20. 8．从正方体的8个顶点中取4个顶点，取出的4个顶点构成一个正三棱锥的4个顶点，则取法种数为 . 【答案】 【分析】由正方体和正三棱锥的结构特征，列举全部的情况即可得解. 【解析】根据题意，如图， 从正方体的8个顶点中取4个顶点，取出的4个顶点构成一个正三棱锥， 这样的三棱锥有， ，共个. 故答案为：. 9．一个底面边长等于侧棱长的正四棱锥和一个棱长为1的正四面体恰好可以拼接成一个三棱柱，则该三棱柱的高为 ． 【答案】/ 【分析】由正三棱锥的各棱长为1，知四棱锥的各棱长也为1，于是该三棱柱的高等于正三棱锥的高，由此能求出该三棱柱的高． 【解析】解：如图，正三棱锥的各棱长为1， 四棱锥的各棱长也为1， 于是该三棱柱的高等于正三棱锥的高， 正三棱锥的各棱长为1， ． 故答案为：． 10．在正三棱锥S—ABC中，点D是的中点，若，则大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件及余弦定理及锐角三角函数，再结合勾股定理即可求解. 【解析】有题意知，过点作于，连接,,过点作于， 如图所示, 设，则 因为棱锥S—ABC正三棱锥，所以， 分别是的中点，点D是的中点, 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得 ， 所以， 又因为，所以， 在中，由勾股定理，知 ，即，解得， 在中，, ，即 所以 故答案为：. 题型3：棱锥的展开图 11．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【分析】立体图形中爬行距离最短问题可以转换到平面展开图中求两点距离最短，即为线段的长，解三角形求出线段的长度即可 【解析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点间的线段距离最短. 即蚂蚁爬行的最短的路线为， 由，，， ， 从而最短距离为. 12．在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ． 【答案】 【分析】沿棱将正三棱锥展开，做出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结果. 【解析】 将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形， 由展开图可得，沿爬行时，路程最短； 因为，， 所以， 因此. 故答案为：. 13．如图，在三棱锥中，，，如图，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ．    【答案】 【分析】沿着三棱锥的侧棱剪开展在一个平面上，得到三棱锥的侧面展开图，连接，在直角中，即可求得蚂蚁爬过的最短路程. 【解析】如图所示，沿着三棱锥的侧棱剪开展在一个平面上，得到三棱锥的侧面展开图， 连接，因为，， 所以， 在直角中，可得， 即蚂蚁爬过的最短路程为. 故答案为：.    题型4：棱锥中截面的有关计算 14．如图所示，在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】将三棱锥沿着剪开，将侧面、、延展至同一平面，计算出的长，即为周长的最小值. 【解析】如图，将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上， 则线段的长即为所求的周长的最小值． 取的中点，连接，则，. 在中，，则， 即周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题． 15．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是 ．（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形． 【答案】①② 【分析】用平面截一个三棱锥，找到所有截面的种类即可求解. 【解析】如图：按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形； 按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形； 截面形状不可能为五边形， 所以①②正确， 故答案为：①② 16．已知正六棱锥的底面边长和高都是a，那么最大的轴截面面积是 ． 【答案】 【分析】先判断出△PAD即为最大轴截面，直接求面积即可. 【解析】如图示：正六棱锥的最大的轴截面即为平面PAD. 底边为，高为,所以面积是. 故答案为：. 17．已知棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为121，则截得的棱台的高为 . 【答案】5 【分析】根据对应边比与面积比关系即可求解． 【解析】设棱台的高为x，则有 ，解之，得x＝5． 故答案为：5 18．底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 . 【答案】56 【分析】根据给定条件，利用棱锥的结构特征，结合棱锥的体积公式计算即得. 【解析】由，截去的正四棱锥的高为3，得原正四棱锥的高为6， 因此原正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 故答案为：56 题型5：圆锥的结构特征辨析 判断几何体是否圆锥 19．给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 . 【答案】（2）（3）（4） 【分析】根据圆锥的定义及几何特征，逐一分析即可得出答案. 【解析】解：（1）不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； （2）正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； （3）正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； （4）正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）. 20．下列结论不正确的是 （填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 【答案】①②③ 【分析】根据空间几何体知识对结论逐一判断 【解析】①错误，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥. ②错误，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体不是圆锥. ③错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则，故，侧棱长要大于底边长 ④正确，符合圆锥母线的定义 故答案为：①②③ 21．将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为 A．一个圆台 B．两个圆锥 C．一个圆柱 D．一个圆锥 【答案】B 【分析】根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，即可求解. 【解析】由题意，根据旋转体的定义，可得将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到两个同底的圆锥组成的组合体，故选B. 【点睛】本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题. 22．如图所示的图形中有 A．圆柱、圆锥和圆台 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥和圆锥 【答案】B 【解析】根据空间几何体的定义和特征，对（1）、（2）、（3）图形逐一判断即可. 【解析】根据题中图形可知， （1）是圆柱； （2）是圆锥； （3）不是圆台，因为上下两个面不平行； 因此图所示的图形中有圆柱和圆锥， 故选：B. 【点睛】本题考查圆柱、圆锥和圆台的几何结构特征，属于基础题. 题型6：圆锥中截面的有关计算 23．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是 .（填序号） 【答案】①⑤ 【分析】考察直观想象的能力，分为截面过圆锥的轴，以及截面平行于圆锥的轴，两种情况，即可得出答案. 【解析】当该截面过圆锥的轴时，所截得的图形为图①； 当该截面平行于圆锥的轴时，所截得的图形边缘为弧形，为图⑤. 故答案为：①⑤. 24．若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥顶点到底面的距离为 . 【答案】 【分析】画出圆锥图像，根据题意顶点到底面的距离即圆锥的高，在直角三角形中即可解决. 【解析】如图所示， 是边长为2的等边三角形， 该圆锥顶点到底面的距离为. 故答案为： 25．从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为 . 【答案】 【分析】作出如图所示的轴截面，根据平面几何关系即可得解. 【解析】解：如图所示作出轴截面， 圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径， 设圆锥的截面圆的半径为， 因为，所以是等腰直角三角形. 又，所以，故， 所以截面积. 故答案为：. 26．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面面积与原圆锥的底面面积之比为1：4，圆台的母线长为9 cm，则原来的圆锥的母线长为 . 【答案】18 cm 【分析】根据比例即可求解. 【解析】设轴截面如图所示，由已知得圆 与圆的面积比为 ，所以半径比 ，进而得，所以是的中点，且，故 , 故答案为：18 cm 题型7：圆锥的展开图及最短距离问题 27．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于 . 【答案】或 【分析】确定圆心角为或，根据弧长公式和圆柱高的计算公式计算得到答案. 【解析】侧面展开图圆心角的正弦值为，则圆心角为或，设底面圆半径为， 当时，，则，高； 当时，，则，高； 综上所述：高为或. 故答案为：或. 28．已知圆锥底面半径为，母线长为2，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，结合等腰直角三角形，即可求得最短距离. 【解析】由题意，圆锥底面半径为，母线长为2， 因为圆锥底面半径为，可得底面周长为， 可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，如图所示， 则三角形为边长为2的等腰直角三角形，所以最短距离为. 故答案为： 29．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 【答案】 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥侧面展开图的问题，转化为平面上两点的距离问题即可. 【解析】解：由题意得： 圆锥的底面周长是，则，解得： 可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示： 则圆锥的侧面展开图中：，， 所以在圆锥侧面展开图中： 故答案为： 题型8：棱台、圆台综合 30．棱台与圆台 （1）棱台 如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个 后剩下的多面体称为棱台，其中，由正棱锥截得的棱台称为 . （2）圆台 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为 .如图，大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台.由圆锥的形成过程，容易看出圆台是由 绕 旋转一周所形成的几何体. 【答案】 小棱锥 正棱台 台体 直角梯形 直角边 【分析】根据棱台和圆台的形成过程以及定义即可求解. 【解析】略 31．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱台的性质与勾股定理可以得到. 【解析】根据题意可得如图所示图形，则,, 过作于点，过作于点, 则，所以，即该正四棱台的高为.    故答案为：. 32．正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为 ． 【答案】/ 【分析】根据棱台的几何特点，结合已知数据，作出辅助线，解三角形即可. 【解析】取的中点分别为，连接，取上靠近的三等分点分别为， 连接，过作，垂足为，作图如下： 根据题意可得：，即为所求斜高； 易知四边形为平行四边形，故可得， 在△中，，在△中，， 在△中，，故. 故答案为：. 33．下列几何体中是棱台的有 （填序号）. 【答案】④ 【解析】根据棱台的定义判断． 【解析】用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台．因此棱台一定是两个面互相平行，其他各个面都是等腰梯形，且所有侧棱延长后交于同一点， ①②③都不符合棱台的定义；故①②③不满足题意.只有④符合棱台的定义. 故答案为：④ 【点睛】本题考查棱台的定义，掌握棱台的概念是解题关键． 34．若棱台的上、下底面的面积之比为1∶2，则上，下底面的周长之比为 ． 【答案】 【分析】根据棱台的特征可得面积之比为对应边之比的平方，可得上，下底面的对应边长之比，从而可求解. 【解析】解：由棱台的结构特征可知，棱台的上下底面是相似多边形， 所以面积之比为对应边之比的平方，即上，下底面的对应边长之比为. 所以上，下底面的周长之比为. 故答案为: . 35．一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为 . 【答案】 【分析】由正四棱台的几何特征知四边形为高为3的等腰梯形，进而结合梯形的面积公式即可求出结果. 【解析】 由正四棱台的几何特征知，,,且四边形为高为3的等腰梯形， 所以, 所以, 因此经过相对两侧棱的截面的面积为， 故答案为：. 36．正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且与底面平行的截面面积等于 ． 【答案】 【分析】根据正四棱台的结构特征知道正四棱台与底面平行的截面为正方形，计算面积即可. 【解析】根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，得到梯形的中位线长度是． ∵正四棱台与底面平行的截面为正方形， ∴截面面积． 故答案为： 37．圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值是 【答案】 【分析】求出轴截面时所补成的等腰三角形的顶角的余弦值，则判断其为钝角，再计算出截面积的表达式，得到最值． 【解析】由题意作出轴截面，并将其补充成等腰三角形，    则，，， 因为，， 所以为三角形的中位线，则， 在中利用余弦定理得，， 因为，所以， 过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成的等腰三角形，设其顶角为， 则， 因为，且，则当时，的最大值为． 故答案为：． 38．圆台的母线与轴的夹角为，母线长为2，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，则两底面面积之和为 ． 【答案】 【分析】画出圆台的轴截面，色出上底半径和下底半径，根据圆台的母线与轴的夹角为，写出和的边长，根据母线长为2，求出，再求底面面积之和. 【解析】设圆台的轴截面如图，上底半径为r，则下底半径为．作，则由已知得， ∴． ∵母线长为2， ∴，两底面面积之和为． 故答案为： 39．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【解析】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为（cm）. 故答案为： 40．已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    【答案】5 【分析】求出侧面扇环圆心角，画出圆台侧面展开图，利用勾股定理可得答案. 【解析】圆台上下底面半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面扇环圆心角为， 圆台侧面展开图如图示，    在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为． 由题意可得A是FB的中点，因为， 所以．由为中点，可得， 所以． 故答案为：5 41．已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得. 【解析】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，即，得，于是是的中点，， 因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内， 所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，. 故选：B 一、填空题 1．已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【答案】 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【解析】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 2．已知三棱台的上、下两底面均为正三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱从上到下分为长度之比为的两部分，则截面的面积为 ． 【答案】 【分析】作出原来三棱锥，根据已知长度关系推得截面三角形的边长，即可根据三角形的面积公式，得出答案. 【解析】 如图所示，延长，，交于点，设截面为． 由题意知， 由棱截的截面性质得， 所以，所以. 由，可得， 所以，所以， 所以. 因为，截面为等边三角形，所以 . 故答案为：． 3．四棱锥中，底面是边长为的菱形ABCD，平面ABCD，且，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 ． 【答案】 【分析】应用面面平行得出线面平行，再计算边长进而得出周长. 【解析】取AB中点F，SB中点G，连接EF，FG，GE． 因为E，F分别是BC，BA中点，所以，又平面SAC，平面SAC，所以平面SAC，同理平面SAC， 又平面EFG，所以平面平面SAC， 所以平面中任意直线平行于平面SAC，则平面EFG． 又点P在四棱锥表面上运动，所以动点P的轨迹周长即为的周长 因为四边形ABCD是边长为的菱形且，所以，则，又，所以，，则， 所以的周长为．    故答案为：. 4．如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 （填序号）. ①2；②；③3；④.    【答案】①③ 【分析】设，由正四棱锥的性质，易知平面，过M作//分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 【解析】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 5．如图，正方形的边长为，已知，将沿BE边折起，折起后A点在平面上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：其中正确的有    ①AB与DE所成角的正弦值是；②ABCE；③的体积是； ④平面平面；⑤二面角的大小为. 【答案】①②④ 【分析】由可得为与所成角，计算出长度后即可判断①；由线面垂直的判定可得平面，再由线面垂直的性质即可判断②；由三棱锥体积公式及等体积法即可判断③；由面面垂直的判定即可判断④；由面面角的求解方法即可判断⑤；即可得解. 【解析】由题意，，，平面， 所以，，由于，所以为与所成角， 因为，，，所以， 所以在中，，故①正确； 连接交于，因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以，故②正确； ，故③错误； 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故④正确； 在平面中，由①知，在平面中，， 则即为二面角的平面角， 在中，，，，所以， 则，所以二面角的大小为，故⑤错误.    故答案为：①②④. 6．如图，正四面体中，点，，，，，分别是所在棱的中点，则当，（），，（）时，的所有可能取值共有 种. 【答案】13 【分析】分类考虑的两个端点的所处位置情况，即当两点取自四面体的顶点，或当两点取自6条棱的中点，或当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点，再分类考虑的情况，分类计算，综合即可求得答案. 【解析】正四面体中，设棱长为a，四个面上每个顶点与对边中点的连线长均为， 连接，则，则，同理， 则每组相对棱中点的连线长均为， 当两点取自四面体的顶点时，不妨假设为， 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值，其中有，等， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点取自6条棱的中点时，不妨假设为，同理可计算取等情况时的值； 此时当，j从2取到10时，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时，不取2，则的值为： ， ， ， 同理求出当，j从1取到10时（），则的值， 比较以上数量积的结果可知的不同数值为： 共9个； 当两点中一个取自四个顶点中，另一个取自6条棱的中点时， 可求得的不同值为： 共13个， 综合以上可得可能取值共有： 共13种， 故答案为：13 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要分类讨论，先考虑向量所处的位置情况，再考虑，结合数量积的定义，分类计算，可求得答案. 二、单选题 7．一个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，另一个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，这两个棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，画出相应的直观图即可求出相应的高即其比值. 【解析】如图， 设正三棱锥的边长为，则四棱锥的边长也为，点为四棱锥底面中心，点为的中点，为底面三角形的中心也为点在底面的投影， 解得， ，于是， 因为为底面三角形的中心，所以 所以 所以. 故选：B 8．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可． 【解析】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况： ①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻， 取中点为，连接，如图所示， 由正三角形可知，， 在中，由于，即， 解得；    ②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻， 取中点为，连接 ，如图所示，    由为等腰三角形，得， 在中，，即，解得； 综上所述，的取值范围是， 故选：A． 9．已知菱形中，，AC与BD相交于点E，将沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使为等边三角形； ②DM与BC不可能垂直，成立的是（    ） A．①为假命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①②均为真命题； D．①②均为假命题 【答案】B 【分析】根据运动过程中三棱锥成为正四面的特殊情况，判断命题的真假即可. 【解析】由题意知，，当四面体为正四面体时，此时为等边三角形，故①为真命题； 当三棱锥是正四面体时，设顶点在底面上的投影为，连接延长交于，如图， 由正四面体性质可知，是三角形中心，是中点， 所以，又, 平面， 所以平面，又平面， 所以，所以②为假命题. 故选：B 三、解答题 10．（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 【答案】（1）作图见解析，周长为；（2）作图见解析，边数为五． 【分析】（1）利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长；（2）利用延长找公共点的方法作出截面，可得形状. 【解析】(1)分别取，为棱，的中点，则由中位线性质得到：，所以四边形为平面四边形， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 由，平面，平面，所以平面，同理平面， ，由面面平行的判定定理可得平面平面，所以四边形即为所求截面，且为梯形， 由截面作法可知，所以截面四边形的周长为. （2）延长的延长线于，连接的延长线于连接于，连接，则五边形即为所求.所以截面多边形的边数为五. 11．将常见的几个棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）作如下统计： 空间图形 顶点数 面数 棱数 三棱锥 4 三棱柱 5 三棱台 9 四棱锥 5 四棱柱 21 四棱台 8 五棱锥 10 五棱柱 10 五棱台 7 …… (1)把上表中空缺的数据补上； (2)由此表可猜得棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）满足一个关系式：_____________，并用石膏晶体和明矾晶体的空间图形中顶点数、面数、棱数验证你猜测的关系式的正确性． 【答案】(1)填表见解析 (2)，验证见解析 【分析】（1）根据几何体的结构特征依次填空即可； （2）由题归纳猜想得，再结合石膏晶体与明矾晶体验证即可. 【解析】（1）解： 空间图形 顶点数 面数 棱数 三棱锥 4 4 6 三棱柱 6 5 9 三棱台 6 5 9 四棱锥 5 5 8 四棱柱 8 6 12 四棱台 8 6 12 五棱锥 6 6 10 五棱柱 10 7 15 五棱台 10 7 15 …… （2）解：由于，，，，，，……， 所以，猜想棱柱、棱锥、棱台的顶点数（）、面数（）、棱数（）满足. 验证如下： 空间图形 顶点数 面数 棱数 石膏晶体 20 12 30 明矾晶体 12 8 18 显然，顶点数（）、面数（）、棱数（）满足. 12．如图，已知四面体中，平面，. (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直； （2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可； （3）将平面与平面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可. 【解析】（1）因为平面，平面BCD，则， 又，，平面ABC，所以平面， 因为平面ABC，所以. （2）由（1）可知：，， 且平面，平面ABC，则， 且其余各棱均不垂直，可得； 由平面，且平面，平面， 可得平面平面，平面平面， 同理：由平面可得：平面平面， 且其余各面均不垂直，可得； 由平面，平面，且其余各线面均不垂直，可得； 综上所述：. （3）将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD， 所以彩带的最小长度为图2平面图中的长， . 由（1）知， 在图1中，因为平面，平面BCD，所以， 又因为，所以， 故在图2中，， 所以在图2中，在中，由余弦定理得， 所以彩带的最小长度为. 13．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 【答案】(1)详见解析 (2)或； (3) 【分析】（1）不同的直角三角形中，分别表示所求角的余弦值，即可证明； （2）首先将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，再分和两种情况求余弦值； （3）首先作辅助线，构造的高，再设，利用相似关系，勾股定理表示，并表示的面积，求面积的最小值. 【解析】（1）如图，因为底面，平面 所以，又，且， 所以平面，平面， 所以， 所以，，, 所以； （2）如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角， 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 当时，，，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为； 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或； （3）如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以， 又因为，， 所以平面，平面，所以， 设，，由， 得，， 中，，得， 当且仅当时，等号成立， 所以. 所以面积的最小值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$