第二十二章二次函数 单元达标测试卷2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数 单元达标测试卷 一、单选题 1．如图，二次函数的图象的对称轴为x＝，且经过点（﹣2，0），（），（），下列说法正确的是（　　） A．bc＞0 B．当≥﹣时， C．a＝2b D．不等式的解集是﹣2＜x＜ 2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，则下列说法，错误的是（　　） A．开口方向向下 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣1 D．顶点坐标是（﹣1，3） 4．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 5．如图，抛物线 交 轴于点 ，对称轴为直线 ，若 ，则x的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 6．已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，某菜农身高1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚内左右活动的范围是（　　） A． 米 B． 米 C．1.6米 D．0.8米 8．将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A． B． C． D． 9．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）…求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（　　） A．过点（3，0） B．顶点是（﹣2，﹣2） C．在x轴上截得的线段的长度是2 D．c=3a 10．已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．y＝x2的图象沿y轴向上平移3个单位，得到的函数表达式是　 　. 12．形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为　 　． 13．把抛物线向左平移一个单位，所得抛物线的表达式为：　 　 14．当 时，直线 与抛物线 有交点，则a的取值范围是　 　． 三、解答题 15．我市某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件． （1）求平均每次降价的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．当商场降价多少元时，获得的利润w最大？ 16． 已知抛物线y＝x2-2ax+b经过点A（-2，0），B（0，-8）． （1）求抛物线的函数表达式和对称轴： （2）抛物线的图象经过点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜1，x1+x2＞2，求y1，y2的大小关系． 17．种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓.因受疫情影响，多地封村封路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动.在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg.第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式为.第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg.已知种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为pkg，利润为W元（利润=销售收入－成本）. （1）k=　 　，b=　 　； （2）请写出p关于x的函数关系式：　 　； （3）求销售草莓第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少元？ 18．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分. 如图，甲 在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式 ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度1.55m. （1）当a=− 时，①求h的值.②通过计算判断此球能否过网. （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值. 四、综合题 19．某品牌童装平均每天可售出 件，每件盈利 元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价 元，那么平均每天就可多售出 件． （1）要想平均每天销售这种童装上盈利 元，那么每件童装应降价多少元？ （2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元？ 20．已知二次函数 （1）当k=3时，求函数图象与x轴的交点坐标； （2）函数图象的对称轴与原点的距离为3，求k的值 （3）设二次函数图象上的一点P（x，y）满足 时，y≤2，求k的取值范围。 21．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x. （1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式. （2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由. 22．如图，已知二次函数的顶点为（2， ），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点. （1）求该函数的解析式； （2）连结AB、AC，求△ABC面积. 23．如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当的面积等于的面积的时，求的值． （3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝2， ∴点A与点B关于x＝2对称. ∴点B的坐标为（6，0）. ∴AB＝8. 故答案为：D. 【分析】由抛物线的对称性可知点B的坐标（6，0），从而可求得AB的长. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：A、抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，此选项正确； B、抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的对称轴为x＝﹣1，开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，此选项错误； C、抛物线y＝﹣2（x+1）2+3对称轴x＝﹣1，此选项正确. D、抛物线y＝﹣2（x+1）2+3顶点坐标是（﹣1，3），此选项正确； 故答案为：B. 【分析】根据抛物线的顶点式的性质可知该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（-1,3），二次 项的系数小于0，图象开口向下，故在对称轴左侧，即当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，在对称轴右 侧，即当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，从而即可一一判断得出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数的图象的顶点坐标是 故答案为：C. 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k），据此解答. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵交y轴于点（0，5）， ∴c＝5， ∵对称轴为直线x＝−2， ∴ ＝−2， ∴b＝−4， ∴y＝−x2−4x＋5， 当y＝0时，−x2−4x＋5＝0， ∴x＝−5或x＝1， ∴y＞0时，−5＜x＜1； 故答案为：B． 【分析】由交y轴于点（0，5），求出c=5；由对称轴为直线x=-2，求出b，确定函数解析式求出二次函数与x轴的交点即可求解。 6．【答案】B 7．【答案】B 【解析】【解答】如图， 设抛物线的解析式为y=a（x-2.5）2+2， 由待定系数法求出抛物线的解析式y=- （x-2.5）2+2， 将y=1.6时代入解析式得- （x-2.5）2+2=1.6， 解得 ， ， 他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是：x1-x2= ． 故答案为：B. 【分析】根据题意建立直角坐标系，利用函数图象可得出抛物线的顶点坐标为（2.5，2）且图像经过（5，0），利用待定系数法求出函数解析式，再求出当y=1.6时的x的值，就可得出答案。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位，向下平移1个单位可得， y=3（x+2）2-1 故答案为：C. 【分析】根据二次函数平移的性质，结合横坐标“左加右减”，纵坐标“上加下减”，即可得到平移后的抛物线。 9．【答案】B 【解析】【解答】A、因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2，另一个对称点为（3，0），正确，不符合题意； B、顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误，符合题意； C、抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确，不符合题意； D、图象过点（1，0），且对称轴是直线x=﹣ =2时，则b=﹣4a，即a﹣4a+c=0，即可得出c=3a，正确，不符合题意． 故答案为：B． 【分析】分别利用二次函数的对称性及二次函数图象上的点的坐标性质，对各选项逐一判断即可。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：①根据函数图象的开口向下知， ， ∵抛物线与x轴交点一个在（-2，0）和（-1，0）之间，另一个在（0，0）和（1，0）之间，可得抛物线的对称轴在 的右边，在 轴左边， ， ， ∵抛物线与 轴交于正半轴， ， . 故①正确； ②∵抛物线的对称轴在 的右边， ， ， ， ， ， 故②错误； ③由函数图象可知，当 时， ， 即 ， 故③正确； ④由函数图象可知，当 时， ，即 ，当 时， ，即 ， ，故④正确； 故答案为：C. 【分析】① 根据函数的图象开口得出a<0 ， 结合对称轴的位置得出b<0，根据抛物线与y轴的交点位置得出c>0 ，则可判断abc的正负性 ； ② 根据对称轴x=，结合a<0，从而推出； ③ 根据x=-2在图象中找出对应的函数值的正负性即可； ④ x= - 1时和x= 1时对应的函数值的正负，然后通过分解因式，再作判断即可. 11．【答案】y=x2+3 【解析】【解答】解：将二次函数y=x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度，得到：y=x2+3. 故答案为：y=x2+3. 【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m. 12．【答案】 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为：，设抛物线的解析式为， ∵该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同， ∴， ∴， 故答案为． 【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。 13．【答案】y=x2-1 【解析】【解答】 根据平移规律：将抛物线向左平移1个单位得到： y=（x-1+1）2-1， y=x2-1． 故答案为：y=x2-1． 【分析】先把抛物线表达式写成顶点式，再根据二次函数图象的平移规律：左右平移，x改变：左加右减，y不变；上下平移，x不变，y改变，上加下减进行计算即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解:法一： 与抛物线 有交点 则有 ，整理得 解得 ，对称轴 法二：由题意可知， ∵抛物线的 顶点为 ，而 ∴抛物线y的取值为 ，则直线y与x轴平行， ∴要使直线 与抛物线 有交点， ∴抛物线y的取值为 ，即为a的取值范围， ∴ 故答案为： 【分析】根据 与抛物线 有交点，将其联立方程组，然后转化为一元二次方程，可得△≥0，建立关于a的不等式,解出a≥-3，由当x=3时，可得y=1，可得a＜1，从而得出a的范围. 15．【答案】（1）10% （2）35.5元 16．【答案】（1）解：把点A（-2，0），B（0，-8）代入抛物线y＝x2-2ax+b得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：y＝x2-2x-8， ∵y＝x2-2x-8＝（x-1）2-9， ∴抛物线的对称轴为：直线x＝1； （2）解：y1＜y2，理由如下： ∵x1＜1，x1+x2＞2， ∴x2＞1， ∴点（x1，y1），（x2，y2）在对称轴的两侧， ∵x1+x2＞2， ∴x2-1＞1-x1， ∴点（x2，y2）到直线x＝1的距离比（x1，y1）到直线x＝1的距离远， ∴y1＜y2． 【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线方程求出a，b得到抛物线解析式，再将抛物线方程化为顶点式写出对称轴即可； （2）由x1＜1，x1+x2＞2， 得x2-1＞1-x1，再根据二次函数对称性，比较y1，y2的大小 . 17．【答案】（1）；25 （2）p=4x+16 （3）当1≤x＜20时， W= (4x+16)( )-(4x+16)×18 =， 故当x=18时，W=968， 即第18天的利润最大，最大利润为968元； 当20≤x≤30时， W= (4x+16)×25- (4x+16)×18 =28x+112， ，y随x的增大而增大， 故当x=30时，W=840+112=952， 即第30天的利润最大，最大利润为952元； ∵968＞952， ∴第18天的利润最大，最大利润为968元． 【解析】【解答】解：（1）根据题意，得12k-76k=32，解得 ；故答案为：．根据题意，得12k-76k=32，解得 ；∵ b是常数，b就是第26天的售价，∴b=25，故答案为：；25． （2）∵ 以后每天比前一天多4kg，∴第x天的销售量就是，∴p=4x+16，故答案为：p=4x+16． 【分析】（1）根据题意，得12k-76k=32，计算可得，根据b是常数，b就是第26天的售价； （2）根据以后每天比前一天多4kg，第x天的销售量为； （3）分1≤x＜20时，20≤x≤30时，分别求出最值，比较两个最值的大小，即可得解． 18．【答案】（1）解：①∵a=− ，P（0，1）； ∴1= +h； ∴h= ； ②把x=5代入y= 得： y==1.625； ∵1.625＞1.55； ∴此球能过网. （2）解：把（0，1），（7， )代入y=a得：； ；解得：； ∴a=. 【解析】【分析】（1）①利用a=，将点（0，1）代入解析式即可求出h的值；②利用x=5代入解析式求出y，再与1.55比较大小即可判断是否过网； （2）将点（0，1），（7，）代入解析式得到一个二元一次方程组求解即可得出a的值。 19．【答案】（1）解：设每件童装应降价x元，根据题意得：（40﹣x）（40+4x）=2400， 整理得：x2﹣30x+200=0，即（x﹣20）（x﹣10）=0， 解得：x=20或x=10（不合题意，舍去）， 则每件童装应降价20元； （2）解：根据题意得：利润y=（40﹣x）（40+4x）=﹣4x2+120x+1600=﹣4（x﹣15）2+2500， 当x=15时，利润y最多， 即要想利润最多，每件童装应降价15元． 【解析】【分析】（1）等量关系为：降价后：每一件的利润×销售量=2400，设未知数，列方程，再解方程，然后根据扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，可得出结果。 （2）总利润y=降价后每一件的利润×销售量，列出y与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质，可求解。 20．【答案】（1）解：当k=3时，令y=0， 解得函数与x轴的两个交点坐标为（ ），（ ） （2）解：∵函数图象的对称轴与原点的距离为3， ∴ 解得，k=4或k=-2 （3）解：∵函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），开口向上， 时，y≤2， ∴函数的对称轴 ，k≥3 【解析】【分析】（1）由题意把k=3和y=0代入解析式即可求解； （2）由题意可得x=-=±3，把二次项系数和一次项系数的代入计算即可求解； （3）由题意根据-2可得关于k的不等式，解不等式即可求解. 21．【答案】（1）解：由题意得：每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣30）. 又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣30）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣4860. ∵x﹣30≥0，∴x≥30. 又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴30≤x≤54，∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）. （2）解：由（1）得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元. ∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元. 【解析】【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围； （2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案. 22．【答案】（1）解：设该二次函数的解析式为 ∵顶点为（2， ） ∴ 又∵图象经过A（0，3） ∴ 即 ∴该抛物线的解析式为 （2）解：当 时， ，解得 ， ∴C（3，0） B（1，0） 得 ∴ 【解析】【分析】（1）设该二次函数的解析式为 ，因为顶点（2，-1），可以求出h，k，将A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函数解析式.（2）由（1）求出函数解析式，令y等于0可以求出函数图象与x轴的两个交点为B，C两点，然后利用面积公式 ，即可求出三角形ABC的面积. 23．【答案】（1）解：由抛物线交点式表达式得： ， 即 ，解得： ， 故抛物线的表达式为： ； （2）解：由抛物线的表达式知，点 ， 由点 、 的坐标，得直线 的表达式为： ， 如图所示，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ， 设点 ，则点 ， 则 ， ， 即： ， 解得： 或 舍去 ， 故 ； （3）解：当 时，点 ， 设点 ，点 ，则 ， ①当 是边时， 点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，同样点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ， 故 或 ， 联立①②并解得： 不合题意的值已舍去 ； 故点 的坐标为 或 或 ； ②当 是对角线时， 由中点公式得： ， 联立①③并解得 ， 故点 的坐标为 ； 综上，点 的坐标为 或 或 或 ． 【解析】【分析】（1）由A、B的坐标可设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8)=ax2-2ax-8a，则-8a=6，求出a的值，进而可得抛物线的解析式； （2）由抛物线的表达式知C（0，6），求出直线BC的解析式，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，设D（m，m2+m+6），则H（m，m+6），根据三角形的面积公式表示出S△BDC，结合题意可得m的值； （3）当m=2时，点D（2，6），设M（x，0），N（t，n），则n=t2+t+6，然后分①BD是边，②BD为对角线，结合平行四边形的性质可得x、t、m、n的值，进而可得点M的坐标. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$