2.6.1等腰三角形（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

2.6.1等腰三角形 题型一 性质“等边对等角”的应用 1．如图，已知，△ABC是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交，于点D，E，连接，则有 3．如图，在中，，D是上一点，连接，，，求的度数． 4．如图，在三角形中，，点B、P、Q三点在同一条直线上，且，．求的度数．  题型二 “三线合一”的应用 1．如图，在中，，平分交于点D，，则 ． 2．如图，D为△边延长线上一点，且，E是的中点，平分交AB于点F．求证：． 3．中，，D是中点，于E，于F，求证：．    4． 如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 5．如图，中，，，点D是边的中点，于点H，交于点F，交的延长线于点E．求证： (1)； (2)． 题型三 尺规作图：作等腰三角形 1．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知等腰三角形的底边长为a，顶角的角平分线长为b，求作：等腰三角形 2．已知：如图1，已知线段和线段． 求作：等腰，使得，，于，．    (1)如图2，首先作射线，在截取：接下来，请使用直尺和圆规，在图2中作出的垂直平分线，使交于点，再作出满足条件的一个等腰，使得点在线段上方（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． ∵与交于点， ∴， ． ∵点在上， ∴（填写理由： ） 3．如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)的底边长为，底边上的中线为； (2)的底边长为，腰上的中线为． 1．如图，中，，；点C，D，E在的延长线上，且，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交边于E、F点， 若点D为边的中点， 点M为线段上一动点，则周长的最小值为 （       ）    A．10 B．12 C．13 D．15 3．如图，在中，，．点是上一点，过点作，交的延长线于点，连接，若， 度．    4．如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 5．已知等腰三角形，，D为线段上一动点，连接，以为边在的右侧作等腰三角形，，连接． (1)如图1，当点 D 在边上时， ①若，则 ； ②请探究之间的数量关系； (2)如图2，当点D在的延长线上时，（1）的②中之间的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 1．课上我们学习了应用尺规作“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习． 【材料阅读】 如图①，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现侗族工匠的数学应用能力．例如古代侗族没有量角器，仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知， 第一步：分别在的和边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点和，使得；第二步：连接，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点与垂直的线段就是的平分线． 【探究与应用】 (1)请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线； (2)小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为______三角形；第三步作图完成后，平分的依据是：______． 2．【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 3．【概念理解】 如图1，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【问题探究】 （1）如图2，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 如图3，小明认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤四边形的面积；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． （2）你认为正确的结论有______；（只需填序号） （3）请你任选一个你认为正确的结论进行证明． 1．已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的周长为（　　） A． B． C．或 D． 2．已知一等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是，则该等腰三角形顶角是（    ） （1）甲的结果是；（2）乙的结果是；（3）丙的结果是． A．甲、乙的结果合起来才对 B．乙、丙的结果合起来才对 C．甲、乙、丙的结果合起来才对 D．甲、乙、丙的结果合起来也不对 4．已知等腰三角形的一个角是，则底角的度数是 ． 5．已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.1等腰三角形 题型一 性质“等边对等角”的应用 1．如图，已知，△ABC是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交，于点D，E，连接，则有 【答案】/35度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，同时涉及到等腰三角形的性质，灵活利用这两个性质求角的度数是解题的关键． 首先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，然后利用垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵的垂直平分线交，于点D，E， ∴ ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，D是上一点，连接，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质两个知识点，掌握这两个知识点是解题的关键；由三角形内角和定理求得的度数，再由等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 因为． 所以． 4．如图，在三角形中，，点B、P、Q三点在同一条直线上，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，得出，根据等腰三角形的性质即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．  题型二 “三线合一”的应用 1．如图，在中，，平分交于点D，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是等腰三角形的三线合一，根据等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是边上的中线， ∴． 故答案为：4． 2．如图，D为△边延长线上一点，且，E是的中点，平分交AB于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，根据三线合一定理证明平分，然后根据平分，根据邻补角的定义即可证得． 【详解】证明：是的中点， ． 平分， ． ， 即， ． 3．中，，D是中点，于E，于F，求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，利用三线合一的性质可得出平分，然后利用角平分线的性质即可得证． 【详解】证明∶连接，    ∵，D是中点， ∴平分， 又于E，于F， ∴． 4．如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识，过作垂直于于点，由，利用三线合一得到为中点，同理得到为中点，利用等式的性质变换后可得证，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 【详解】过点作，垂足为点， ，， ， ∵，， ∴， ， ． 5．如图，中，，，点D是边的中点，于点H，交于点F，交的延长线于点E．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质的应用． （1）根据，得到；根据得到，继而得到，证明即可． （2）证明是等腰直角三角形即可． 【详解】（1）∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵ ∴． ∴． （2）∵，,点D是边的中点， ∴，； ∵，， ∴，， ∴, ∴． 题型三 尺规作图：作等腰三角形 1．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知等腰三角形的底边长为a，顶角的角平分线长为b，求作：等腰三角形 【答案】见解析 【分析】首先根据题意得到是以为顶角，为底边的等腰三角形，先作出底边，然后作出的垂直平分线，进而根据顶角的角平分线长为b作出点A即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角， ∴是等腰三角形的底边，即， ∵顶角的角平分线长为b， ∴底边上的高长为b， 作法：①作射线，以点B为圆心，a为半径画弧，交射线于点C， ②作出线段的垂直平分线，以线段的中点为圆心，b为半径画弧，，交的垂直平分线于点A， ③连接，，等腰三角形即为所求作三角形． 【点睛】本题考查-复杂作图、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 2．已知：如图1，已知线段和线段． 求作：等腰，使得，，于，．    (1)如图2，首先作射线，在截取：接下来，请使用直尺和圆规，在图2中作出的垂直平分线，使交于点，再作出满足条件的一个等腰，使得点在线段上方（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． ∵与交于点， ∴， ． ∵点在上， ∴（填写理由： ） 【答案】(1)见解析 (2)，线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 【分析】（1）首先作射线，在上截取，再作线段的垂直平分线，使交于点，以点为圆心，以的长度为半径作弧，交于点，连接，即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）∵与交于点， ∴，． ∵点在上， ∴（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）． 故答案为：，线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作等腰三角形、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握和运用尺规作图的方法是解决本题的关键． 3．如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)的底边长为，底边上的中线为； (2)的底边长为，腰上的中线为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，然后在直线上截取，则为所作． （2）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，接着作的垂直平分线，然后以点为圆心，为半径画弧交直线于点，于是延长交直线于点，连接，则为所作． 本题考查了基本作图，熟练掌握常见基本作图是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，作图如图1所示： 则为所作． （2）根据题意，作图如图2所示： 则为所作． 1．如图，中，，；点C，D，E在的延长线上，且，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，先求解，再求解，再进一步求解即可； 【详解】解： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交边于E、F点， 若点D为边的中点， 点M为线段上一动点，则周长的最小值为 （       ）    A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质，利用两点之间线段最短求最值是解答的关键．连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的最小值为的长度，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，，    ∵的垂直平分线分别交边于E、F点， ∴， ∴，当A、M、D共线时取等号， ∴的最小值为的长度， ∵，，点D为边的中点， ∴，， ∵的面积是30， ∴，则， ∴周长的最小值为， 故答案为：C． 3．如图，在中，，．点是上一点，过点作，交的延长线于点，连接，若， 度．    【答案】112.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．延长、交于点，由等腰三角形的性质得，，再证，得，则，然后证，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长、交于点，   ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：112.5． 4．如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据等边对等角可知，，再由三角形的内角和定理即可得到，由此即可证明结论； （2）证明，可得，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （3）设，则，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 5．已知等腰三角形，，D为线段上一动点，连接，以为边在的右侧作等腰三角形，，连接． (1)如图1，当点 D 在边上时， ①若，则 ； ②请探究之间的数量关系； (2)如图2，当点D在的延长线上时，（1）的②中之间的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)①或；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）①根据三线合一求解即可； ②证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）①∵，， ∴． 故答案为：或； ②∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 1．课上我们学习了应用尺规作“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习． 【材料阅读】 如图①，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现侗族工匠的数学应用能力．例如古代侗族没有量角器，仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知， 第一步：分别在的和边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点和，使得；第二步：连接，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点与垂直的线段就是的平分线． 【探究与应用】 (1)请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线； (2)小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为______三角形；第三步作图完成后，平分的依据是：______． 【答案】(1)见解析 (2)等腰，等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题． 【详解】（1）解：如图③中，射线即为所求； （2）解：由作图可知是等腰三角形，平分的理由是等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 故答案为：等腰，等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 2．【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 【答案】数学知识：；数学应用：；拓展： 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， 数学知识：根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； 数学应用：由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； 拓展：由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：数学知识：∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 故答案为：． 数学应用：，，、分别为和的中线， ，， ， ； 拓展：∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 3．【概念理解】 如图1，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【问题探究】 （1）如图2，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形； 【性质探究】 如图3，小明认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤四边形的面积；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． （2）你认为正确的结论有______；（只需填序号） （3）请你任选一个你认为正确的结论进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）①④⑤⑥ ；（3）证明见解析 【分析】本题考查中垂线的判定，等腰三角形的性质，掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上以及等腰三角形三线合一，是解题的关键． （1）格点向下平移4个单位长度，得到点，连接和即可； （2）根据，，得到垂直平分，等腰三角形三线合一，得到平分一组对角和，利用四边形的面积，得到四边形的面积，进而得到任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半； （3）同（2）进行求证即可． 【详解】（1）如图，四边形就是求作的图形． （2）正确的有①④⑤⑥； 故答案为：①④⑤⑥． （3）对于④：∵，， ∴点在线段的中垂线上， ∴垂直平分， 对于①：∵，，垂直平分， ∴平分，平分， ∴对角线平分一组对角和； 对于⑤：∵四边形的面积； 对于⑥：同⑤法可得：任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 1．已知等腰三角形有两条边的长分别是，，则这个等腰三角形的周长为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质求解即可 【详解】解：等腰三角形有两条边的长分别是， 当腰长为时，，构不成三角形； 当腰长为时，等腰三角形周长为： 故选：A 2．已知一等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键．根据题意分长为的边为腰或底两种情况分析，根据构成三角形的条件取舍，即可求得答案． 【详解】解：①是腰长时，底边为：， 三角形的三边长分别为、、，能组成三角形； ②是底边长时，腰长为：， 三角形的三边长分别、、，能组成三角形； 综上所述，该等腰三角形的腰长是或， 故选：B． 3．等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是，则该等腰三角形顶角是（    ） （1）甲的结果是；（2）乙的结果是；（3）丙的结果是． A．甲、乙的结果合起来才对 B．乙、丙的结果合起来才对 C．甲、乙、丙的结果合起来才对 D．甲、乙、丙的结果合起来也不对 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题时考虑问题要全面，必要时可做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．分情况先画出图形，再解答即可． 【详解】解：当等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为时， 当等腰三角形为锐角三角形时如图1， 于点，∠， ∴； 当为钝角三角形时如图2， 于点，， ∴， ∴． 当等腰三角形底边上的高与腰的夹角为时，如图3 于点，， ∴， ∴甲、乙、丙的结果合起来才对； 故选：C． 4．已知等腰三角形的一个角是，则底角的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和．分100°角是顶角和底角两种情况讨论即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角是， ∴这个角是顶角时， ∴底角的度数是， 当这个角是底角时， 则，不能构成三角形； 故答案为：． 5．已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长． 【答案】11或13 【分析】本题考查的是偶次方的非负性、解二元一次方程组，等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系．根据偶次方和绝对值的非负性，建立关于a、b的二元一次方程，即可分别求出a、b，再根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得． 【详解】解：， ， ， 当这个等腰三角形的腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、3、5， ， 能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：； 当这个等腰三角形的腰长为5时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、5、5， ， 能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：； 综上，这个等腰三角形的周长为：11或13． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$