四川省成都市新津中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题

四川省新津中学高2021级(高一)下学期3月月考试题 数 学 （满分：150分，时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1. 1.的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若则（ ） A. B. C. D. 3 对于向量，有下列表示： ①，； ②，； ③，； ④，． 其中，向量，一定共线的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 4. 如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 5. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量＝(0,－2)，＝(1,)，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. 3 C. － D. －3 7. 在中，点是上一点，且，又，则的值为( ) A. B. C. D. 8. 已知向量，是不平行于轴单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量若则的值为( ) A. B. C. D. 10. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中，若对任意恒成立，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 12.定义域为R的函数满足f(x+2)=3f(x),当x时，f(x)=-2x,若x时，f(x)恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A.(- B.(- C.[-1,0） D.[-，0[） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13. 已知两个不共线向量，，且，，，若，，三点共线，则的值为______． 14. 求函数的定义域. ______ 15. 已知，，且，，则______． 16. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 19. 设向量 （I）若 （II）设函数 20. 已知函数f(x)= （1）求函数f(x)单调递减区间； （2）若将函数f(x)向右平移φ(φ>0)个单位得到函数g(x)，且g(x)为奇函数，求的最小值； 21. 已知函数（，，是常数，）的最小正周期为，并且当时，． （1）求的解析式； （2）在闭区间上是否存在的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在．请说明理由． 22. 已知函数f（x）＝cosx． （1）若α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值； （2）函数，若对任意x都有恒成立，求实数a的最大值； （3）已知，α，β∈（0，π），求α及β的值． 新津中学高2021级(高一)下学期3月月考 数学答案 一、选择题：1—5:DAAAC 6---10:DABCC 11—12:CC 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解：（1）由题意， 所以． （2）由（1）得，， 所以． 18. 解（1）设，由可得①， ②，由①②可得：或， 所以的坐标为或， （2）因为与垂直，所以， 即，设与的夹角，所以 因为，所以，所以， 解得：，因为，所以. 19. 【详解(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1， 及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝. (2) sinx·cosx＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为. 20. 解（1）因为 令，则 所以函数的单调递减区间为： （2），由为奇函数， 故，由 故的最小值为 21. 解（1），其中， 所以最小正周期为，解得：，因为当时，， 所以且，解得：，， 所以， （2）令，可得：，令，解得： 因为，所以，此时，所以在闭区间上存在的一条对称轴 22. 解：（1）∵tanα＝， ∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝＝， ∵α，β为锐角，即，∴2α∈（0，π），α+β∈（0，π）． ∴sin2α＝＝，∴tan2α＝， ∵f（x）＝cosx，∴f（α+β）＝cos（α+β）＝， ∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2， ∴tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣2α）＝＝＝． 综上，cos2α＝，tan（β﹣α）＝． （2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos2x﹣3， ∵对任意x都有g2（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立， ∴（cos2x﹣3）2≤（2+a）（cos2x﹣3）﹣2﹣a恒成立，即（cos2x﹣4）a≥（cos2x﹣3）2﹣2（cos2x﹣3）+2恒成立， 设cos2x﹣4＝t，则t∈[﹣5，﹣3]，∴at≥（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1，则a≤t+． 设y＝t+，由对勾函数的性质可知，函数y在区间[﹣5，﹣3]上为增函数， ∴y＝t+≥﹣5﹣＝，∴a≤， 故a的最大值为． （3）∵， ∴cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝， ∴cosα+cosβ＝+cos（α+β）＝+（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）+cosαcosβ﹣sinαsinβ ＝+（sin2α﹣2sinαsinβ+sin2β）+（cos2α+2cosαcosβ+cos2β） ＝+（sinα﹣sinβ）2+（cosα+cosβ）2， ∴（sinα﹣sinβ）2+[（cosα+cosβ）2﹣2（cosα+cosβ）+1]＝0 即（sinα﹣sinβ）2+（cosα+cosβ﹣1）2＝0， ∴sinα﹣sinβ＝0且cosα+cosβ﹣1＝0， 当α＝β时，cosα＝cosβ＝，∵α，β∈（0，π），∴α＝β＝； 当α＝π﹣β时，cosα＝﹣cosβ与cosα+cosβ﹣1＝0相矛盾，不符合题意． 综上所述，α＝β＝． 考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$