[小升初典型培优]多次相遇与追及问题(知识精讲+典例分析+高频考题)(讲义)-2023-2024六年级下册数学北师大版

多次相遇与追及问题 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 一、多次相遇与追及问题的基本概念 多次相遇与追及是指两个运动物体在同一直线上不断往返运动，多次相遇或追及的情况。 二、多次相遇的规律 1、两地相向出发： 第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； 第n次相遇，共走2n-1个全程。 2、同地同向出发： 第1次相遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； 第n次相遇，共走2n个全程。 三、多次追及的规律 1、环形跑道上，同时同向出发： 第1次追上，多跑1圈； 第2次追上，多跑2圈； 第n次追上，多跑n圈。 2、直线上，同时同向出发： 速度快的在前，速度慢的在后，第1次追上，距离差为初始距离； 第2次追上，距离差为初始距离的2倍； 第n次追上，距离差为初始距离的n倍。 四、解题方法 1、画线段图：清晰地展示运动过程和位置关系。 2、找路程关系：根据相遇或追及的次数，确定总路程。 3、计算速度和或速度差：结合路程和时间，求出速度相关的信息。 【典例1】甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 【答案】解：5小时甲比乙多走的路程：（60-48）×5=60（千米）， 卡车与乙车的速度和：60÷（6-5）=60（千米/小时）， 卡车的速度：60-48=12（千米/小时）， 丙的速度：（60×5-12×3）÷8=33（千米/小时）。 答：丙车的速度是33千米/小时。 【思路分析】甲最快，丙最慢。5小时后甲比乙多走了60千米，甲与卡车相遇后，卡车与乙的距离就是60千米，用60除以相遇时间（6-5）即可求出卡车与乙车的速度和，进而求出卡车的速度。卡车在与甲相遇后，再走3才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此用甲车5小时走的路程与卡车3小时走的路程差除以8即可求出丙车的速度。 【典例2】甲、乙两名同学在周长为 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑 米，乙每秒钟跑 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【答案】解：甲乙两人10次相遇跑的总路程：300×10=3000米 甲乙两人10次相遇共需时间：3000÷（3.5+4）=400（秒） 甲乙两人10次相遇甲跑的圈数：400×3.5÷300=4（圈）......200（米） 甲第十次相遇时再回到出发点还需跑的路程：300－200=100（米） 【思路分析】本题是一道“环形跑道多次相遇”问题，每相遇1次行驶的总路程为一个圆周的长度。根据问题“ 他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ ”可以先求出当甲乙两名同学第10次相遇时行驶的总路程；根据相遇问题关系式“总路程÷速度和”求出相遇时间，根据“速度×时间=路程”又可求出相遇10次时甲行驶的总路程；用“甲行驶的总路程÷一圈的长度”即可求出甲一共跑了4圈多200米， 也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行 米才能回到出发点 。 【典例3】一辆汽车在 A ， B 两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由 A 返 B 又追上小刚。 （1）求汽车的速度；求 A 、B 两地之间的路程； （2）在前面的条件下，若人、车分别从 A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求BC之间的路程。 【答案】（1）解：设汽车的速度为v千米／小时， A、B两地之间的路程为S千米， 4×=（千米） v=（2S-）÷=S-4 4×=8（千米） 8：（2S+8）=4：（S-4） 4×（2S+8）=8×（S-4） S=64 S=40 ×40-4 =48-4 =44（千米/小时） 答：汽车的速度是44千米/小时；A、B两地之间的路程为40千米。 （2）解：设BC长为x千米 （2x+40）÷（4+44）=5 2x+40=240 2x=200 x=100 答：BC 之间的路程为100千米。 【思路分析】（1）设汽车的速度为v千米／小时， A、B两地之间的路程为S千米。 那么从第一次相遇至第二次相遇时，小刚行的距离=小刚的速度×从第一次相遇至第二次相遇时用的时间和，汽车行的距离=从第一次相遇至第二次相遇一共走的距离-小刚行的距离，那么汽车的速度=从第一次相遇至第二次相遇时汽车行的距离÷从第一次相遇至第二次相遇时用的时间和； 从第一次追及至第二次追及时，小刚行的距离=小刚的速度×从第一次追及至第二次追及时用的时间，汽车行的距离=从第一次追及至第二次追及时走的距离+小刚行的距离。 那么两者的路程比等于速度比，据此可以解出S，进而得到汽车的速度； （2）本题可以设BC长为x千米，题中存在的等量关系是：整个过程中走的距离÷车和人的速度和=相遇一共用的时间，据此代入数值作答即可。 【典例4】小华和小红分别从一列火车的两端同时相向而行，往返于火车的两端之间，小红每分钟走86米，小华每分钟走94米，经过5分钟两人第二次相遇。这列火车长多少米？ 【答案】解：（86+94）×5÷3 =180×5÷3 =900÷3 =300（米） 答：这列火车长300米。 【思路分析】两人第二次相遇，两人走了3个火车的长度；两人的速度和×5分钟=两人走的总路程，两人走的总路程÷3=这列火车长度。 【典例5】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离。 【答案】解：A、B两地之间的距离：7×3－5=16（千米）两次相遇地点之间的距离 ：16－（7+5）=4（千米）答： 两次相遇地点之间的距离 是4千米。 【思路分析】本题属于“多次相遇”问题，可以借助线段图分析（实线表示甲车 行进的路线，虚线表示乙车行进的路线 ）。据图可以发现甲乙两车第一次相遇行驶的总路程为1个A、B之间的距离，第二次相遇共行驶的总路程为2个A、B之间的距离，两次相遇共行驶了3个A、B之间的距离时，甲车就行了3个7千米即21千米，而这21千米比一个A、B两地间的距离多5千米，从中减去5千米即为A、B两地间的距离 ，据图可知“用A、B两地间的距离－（第一次相遇地点离A地的7千米 + 第二次相遇距B地的5千米） ”即为两次相遇地点之间的距离 。 1．在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？ 2．快车与慢车同时从A、B两地出发相向而行，快车行完AB全程要10小时，慢车行完AB全程15小时．快、慢两车到达各自目的地后立即返回，两车第二次相遇的地点距离A、B两地的中点有120千米，求A、B相距？ 3．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地68千米处相遇，两车各自到达对方车站后，立即返回原地，途中又在距地52千米处相遇，求两次相遇地点之间的距离。 4．甲、乙两人在长为50米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是40米/分，乙的速度是35米/分，他们同时从水池的两端出发，如果不计转向的时间，他们出发多少分钟后第二次相遇？ 5．甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？ 6．小明和小贝两人同时从相距2千米的两地相向而行，小明每分钟行45米，小贝每分钟行55米，如果一只狗与小明同时同向而行，每分钟行120米，狗遇到小贝后立即返回向小明跑去，遇到小明再返回向小贝跑去。这样不断往返，直到小明和小贝相遇为止，问这只狗一共跑了多少米？ 7．甲乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，6小时后在C点相遇。若甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车仍从A、B两地同时出发，相向而行，则相遇点距离C地12千米；若乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，则相遇点距离C地16千米，甲车原来每小时行驶多少千米？ 8．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相向开出，相遇后两车继续行驶，当摩托车到达甲城。汽车到达乙城后，立即返回，第二次相遇时汽车距甲城160千米，汽车与摩托车的速度比是2：3，则甲、乙两城相距多少千米？ 9．甲、乙二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间、乙走多少路程？ 10．如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。求这个圆的周长。 11．如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 12．小王的步行速度是5千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时，他们两人从甲地到乙地去。小李骑自行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇。问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 13．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？ 14．甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙两人由A地到B地，丙由B地到A地；甲步行，速度是5千米/小时；乙骑自行车，速度是15千米/小时；丙也骑自行车，速度是18千米小时。已知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求丙和乙从出发到相遇用了多长时间？ 15．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4：3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？ 16．周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点．甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 17．有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米? 18．小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 19．甲从A地到B地需要5小时，乙从B地到A地，速度是甲的．现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行．在途中相遇后继续前进．甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇．如果两次相遇点相距72千米，A、B两地相距多少千米？ 20．甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 21．甲、乙两地相距120千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地，客车到达乙地后立即沿原路返回，在途中的丙地与货车相遇．之后，客车和货车继续前进，各自到达甲地和乙地后又马上折回，结果两车又恰好在丙地相遇．已知两车在出发后的2小时首次相遇，那么客车的速度是每小时多少千米？ 22．甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？ 23．李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？ 24．甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 25．客、货两车同时从甲 乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!） 26．下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？ 27．池塘周围有一条道路． 、 、 三人从同一地点同时出发． 和 往逆时针方向走， 往顺时针方向走． 以每分钟80米、 以每分钟65米的速度行走． 在出发后的20分钟遇到 ，再过2分钟，遇到 ．请问，池塘的周长是几米？ 28．甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离． 29．湖海塘一圈5400米，红红每分钟跑120米，明明每分钟跑180米，两人同时反方向跑步。 （1）估计两人在何处相遇，在途中用△标出。 （2）从出发到两人第二次相遇，经过了多长时间？ 30．甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是 ，湖的周长是600米，求丙的速度． 1．【答案】解：设甲走弧CAD所需时间为x分钟。 4：6=x：(4+8) x=8 甲走一周所需时间：8+4+8=20（分） 乙走一周所需时间：20×=30（分） 答：甲环行一周需要20分，乙环行一周需要30分。 【思路分析】本题属于“多次相遇”问题。借助画图分析，设甲乙二人第一次相遇为C点，第二次相遇为D点。据“甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇”可知甲行弧AC，乙行弧BC所需时间相同均需6分钟。据“再过4 分甲到达 B 点”，可知，甲行弧BC仅需4分钟。则甲、乙行相同路程（弧BC）所需时间比为4：6。据“再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇”可知，甲行弧CBD所需时间为4+8=12分，乙行弧CAD所需时间与甲行弧CBD所需时间相同，也为12分。要想求得甲行弧CAD所需时间，需借助关系式甲、乙行相同路程（弧BC）所需时间比为4：6。则甲行弧CAD所需时间：乙行弧CAD所需时间=4：6，可得甲行弧CAD所需时间8分，甲行完一周所需时间为12+8=20分，乙行完一周所需时间为30分。 2．【答案】解：快车行完AB全程要10小时，则快车的速度是 ，慢车行完AB全程15小时．则慢车的速度是 ，在相同时间内甲乙两车所行路程的比为 ： =3：2，快所行路程占共行路程的 = ，慢所行路程占共行路程 = ，第二次两车相遇时，此时两车共行三个全程，则快行了共行路程的3× = ，慢车行了共行路程的3× = ，此时慢车距全程 ﹣1= ；A、B相距：120÷（ ﹣ ），=120÷ ，=400(千米)；答：A、B相距400千米. 【思路分析】将AB两地的距离当作单位“1”，快车行完全程要10小时，快车的速度是，慢车行完AB全程15小时，则慢车速度是，根据两车的速度可知相同时间内两车所行的路程比是，那么甲乙所行的路程分别占共行路程的、.由此可知：第二次相遇时，两车共行三个全程，则甲行了共行路程的3×=，乙车共行了，此时慢车距全程-1=；则120占全程的，根据分数除法的意义即可求出全程. 3．【答案】解：68×3=204（千米） 204-52=152（千米） 152-52-68=32（千米） 答：两次相遇地点之间的距离是32千米。 【思路分析】第一次相遇时乙走了68千米，两车合走了1个AB两地的路程，第二次相遇时，两车合走了3个AB两地的路程，因为速度不变，所以乙走了3个68千米，即68×3=204千米，且第二次相遇时，乙自己走了1个AB全程多52千米，所以一个全程=204-52=152千米，即AB两地相距152千米．所以两次相遇地点的距离=152-68-52=32千米．综合列式为：68×3-52-（68+52）。 4．【答案】解：50×3÷（40+35）=2（分） 答：他们出发2分钟后第二次相遇。 【思路分析】此题主要考查了相遇应用题，根据公式：总路程÷速度和=相遇时间，据此列式解答。 5．【答案】解：800×3﹣500 =2400﹣500 =1900（米） 答：AB两地相距1900米。 【思路分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了800米，再次相遇时，甲应该行驶了3个第一次相遇时行驶的距离，即800×3=2400米，最后减第二次相遇时甲距离B地的距离即可解答． 6．【答案】解：2000÷（45+55）=20（分） 120×20=2400（米） 答：这只狗一共跑了2400米。 【思路分析】总路程÷小明和小贝的速度和=小明和小贝的相遇时间；小明和小贝的相遇时间也是这只狗跑的时间；这只狗的速度×这只狗跑的时间=这只狗跑的路程。 7．【答案】第二次与第三次的速度和是一样的，A、B两地路程一样，则第二次与第三次的相遇时间一样。 对于甲车来说，第三次比第二次多走的路程是16+12=28（千米），因为第三次甲的速度每小时增加5千米，则相遇的时间为28÷5=5.6（小时）。 对于甲车，第二次再与第一次相比，相遇时间少了6-5.6=0.4小时，路程少走了12千米，所以甲的速度=12÷0.4=30（千米/小时）， 答：甲车每小时行驶30千米。 【思路分析】速度=路程÷时间，根据题意可得出第二次与第三次的速度和是一样的，即可得出二次与第三次的相遇时间一样。分析甲车，第三次比第二次多走的路程=第二次相遇点距离C地的路程+第三次相遇点距离C地的路程，再结合第三次甲的速度每小时增加5千米，即可得出第二次与第三次相遇的时间；甲车第二次与第一次比较，计算出相遇时间少了多少，再计算出路程少走了多少，用少走的路程除以少了的相遇时间，即可得出甲车的速度。 8．【答案】解：设甲、乙两城相距x千米。 （2x-160）：（x+160）=2：3 x=200 答：甲、乙两城相距200千米。 【思路分析】此题主要考查了多次相遇应用题，设甲、乙两城相距x千米，则汽车行驶的路程是2x-160，摩托车行驶的路程是x+160，根据相遇应用题中，时间是相等的，依据汽车行驶的路程：摩托车行驶的路程=它们的速度比，列比例解答。 9．【答案】解：甲追击乙一圈所需时间：1÷=（分） 甲行10圈所需时间：4×10=40（分钟） 40分钟甲共追上乙的次数：40÷=4（次） 40分钟乙行的圈数：40÷7=5（圈） 第5次相遇所需时间：(1-)÷(+)=（分钟） 第5次相遇后每次相遇所需时间：1÷(+)=（分钟） 还需相遇次数：15-4-1=10（次） 10次相遇所需时间：×10=（分钟） 15次相遇共需时间：40++×10=（分钟） 乙走到路程：400÷7×66=（米） 答： 第十五次击掌时，甲走分钟，乙走米。 【思路分析】据“甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟”，可得甲速为每分钟走圈，乙速为每分钟走圈。 据“他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发”可知甲走前10圈是追击问题，关系式为：追及时间=追击路程÷速度差。可得每隔几分钟甲追上乙一次。甲走10圈需要：4×10=40（分钟），40分钟甲共追上乙的次数：40÷=4，则甲反向行走前共追上乙4次。当甲走完10圈时，乙走了：40÷7=5圈。据“甲走10圈，改反向出发”，可知甲走10圈后，变为相向相遇问题，关系式为：相遇时间=总路程÷ 速度和，可得又经过几分钟二人迎面相遇。至此，二人已相遇击掌5次。1÷(+)=分钟，即之后每经过分钟两人相遇一次，则再相遇15-5=10次，还需×10=分钟。当二人第15次击掌时，甲共走了40++×10=66分钟。乙走的时间和甲一样，所以共走了400÷7×66=3781米。 10．【答案】解：两次相遇小张所走全部路程：80+80×2=240（米） 半个圆周的路程：240-60=180（米） 圆的周长 ：180×2=360（米） 答： 这个圆的周长 360米。 【思路分析】观察图形，第1次相遇时，两人共同走完半圈，小张走了弧AC为80米；第2次相遇时，两人又共同走完1圈，小张走了弧CBD=2弧AC，为160米；据“D点离B点60米”，可知弧BD=60米，用弧CBD-弧BD，求出弧CB=100米；用弧AC+弧BC，求出弧ACB的长度；圆的周长=弧ACB×2；此题得解。 11．【答案】解：注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+ ＝ 圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈－60）+300，为 圈，所以此圆形场地的周长为480米． 【解析】【解答】解：全过程乙共走的路程：100+100×2=300（米） 设此圆形场地的周长为x米，则全过程甲所走的路程为（x-60）米，2人共走路程为米。 300+x-60= x=480 答：此圆形场地的周长 为480米。 【思路分析】当甲、乙第1次相遇时，甲、乙共同走完 圈；此后，到甲、乙第2次相遇时，两人又共同走完1 圈；两次相遇，两人共同走完圈。 根据“当乙走了100米以后，他们第一次相遇”可知，甲、乙第1次相遇，甲乙共同走完 圈，其中乙走了100米；甲、乙第二次相遇时，甲、乙又共同走完1 圈。其中乙又走了2个100米。据“在甲走完一周前60米处又第二次相遇”，可知，全过程甲走了1圈减60米；全过程圈的路程=乙走了300米+甲走了1圈减去60米。根据这个等量关系，列方程求解，此题得解。 12．【答案】解：30分钟=0.5小时， 小张和小李相遇时，小李与小王的距离：（5+10）×0.5=7.5（千米）， 小李和小张的相遇时间：7.5÷（6-5）=7.5（小时）， 两地距离：7.5×（10+6）=120（千米）， 小李需要的时间：120÷10=12（小时）。 答：小李骑车从乙地到甲地需要12小时。 【思路分析】小张与小李相遇后30分钟，小王与小李相遇，用小王与小李的速度和乘30分钟即可求出小张与小李相遇时小李与小王之间的距离，这个距离也是小王与小张的距离，用这个距离除以小王与小张的速度差即可求出步行的时间，也就是小李与小张的相遇时间。用小李与小张的速度和乘相遇时间即可求出两地的路程。用路程除以速度即可求出小李骑车从乙地到甲地需要的时间。 13．【答案】解：设猫跑35步的路程与狗跑21步的路程、兔跑25步的路程为525米 猫、狗、兔一步的距离各是：525÷35=15（米），525÷21=25（米），525÷25=21（米） 设猫跑15步的时间与狗跑25步、兔跑21步的时间为1个时间单位 猫、狗、兔1个时间单位跑的距离（速度）：15×15=225（米），25×25=625（米），21×21=441（米） 狗追上猫的追及时间为：300÷（625－225）=（个时间单位） 兔追上猫的追及时间为：300÷（441－225）=（个时间单位） 狗、兔、猫三者首次相遇的时间为：=（个时间单位） 狗跑了：×625=23437.5（米） 兔跑了：×441=16537.5（米） 猫跑了：×225=8437.5（米） 【思路分析】根据“猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同，可知“猫跑35步的路程与狗跑21步的路程、兔跑25步的路程相等，假设这个距离为525米，用“假设距离÷对应步数”求出猫、狗、兔一步的距离。根绝“猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同”可知“猫跑15步的时间与狗跑25步、兔跑21步的时间相等”假设这个时间为1个时间单位，用“一步距离×步数”求出在1个时间单位内猫、狗、兔跑的距离（速度）；根据追击问题的数量关系式“路程差÷速度差=追及时间”可得“狗追猫”和“兔追猫”的追及时间单位的个数，再求出这两个时间单位的最小公倍数就是三者首次相遇所用的时间单位，再用“速度×时间”即可求出三者首次相遇时各跑的路程。 14．【答案】解：（18+5）×1÷（15-5） =23÷10 =2.3（小时） 答：丙和乙从出发到相遇用了2.3小时。 【思路分析】先求出乙丙第一次相遇时，甲和乙的路程差，结合题意就是丙在和乙相遇后又经过1小时遇到甲所行的路程。即（18＋5）×1；算出甲乙的速度差，即15－5；最后用路程差÷速度差即可求出丙和乙从出发到相遇用了多长时间。 15．【答案】解：4+3=7 30÷（×3-1-） =30÷ =105（千米） 答： 则A、B两地相距105千米 。 【思路分析】A、B两地距离= 第二次相遇的地点距第一次相遇的距离÷对应占比；对应占比分析如下： 甲、乙的速度之比是4：3 ，可得甲乙二人所行路程比是4：3，第一次相遇时，甲走完全程的，乙走完全程的。第二次相遇时，甲乙共走完3个全程，其中甲走了3个AB，甲到B后立即返回，可知第二次相遇时甲距B是距离是AB-AB，第一次相遇时甲距B是距离是AB，第二次相遇的地点距第一次相遇的距离=（×3-1-）AB。 16．【答案】解：如下图，记甲乙相遇点为C。 当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时间的 . 即AC= ×400=200（米），也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍． 那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程， 所以此后甲还需跑300÷（2-1）×2=600米，加上开始跑的1圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米． 【解析】【解答】另一种方法：甲乙两人第一次相遇时甲行驶的路程：400÷2=200（米） 甲乙两人第一次相遇时乙行驶的路程：200－100=100（米） 在同一时间单位内甲乙两人速度差：200－100=100（米） 追及时间 ：400÷100=4（个时间单位） 甲从出发开始，追上乙需要跑的路程：1×200+4×200=1000（米） 答： 甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了1000米。 【思路分析】本题属于“多次相遇”和“追及问题”的综合应用。可以借助画图分析，图中C表示甲、乙第一次相遇地点。据题意“ 甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变” 可得乙行2个弧BC所用时间与甲行2个弧AC所有时间相等；据题意“当甲跑到A时，乙恰好跑到B”可得2个弧AC等于圆一周的长度，进而得弧AC等于半个圆的周长即200米。据“有相距100米的A、B两点”，可得弧AB为100米。再用“弧ABC－弧AB ”求出弧BC等于100米，即甲乙两人第一次相遇时乙行驶的路程为100米。 据“ 两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B ”。可知甲行200米所需时间与乙行100米所需时间相同，即同一个时间单位内，甲乙两人速度差为100米。根据环形跑道追及问题的关系式“路程差÷速度差”求出追及时间单位的个数，进而求出甲从出发开始，追上乙需要跑的路程。 17．【答案】解：甲、丙6分钟相遇的路程：（100+75）×6=1050（米）， 甲、乙相遇的时间为：1050÷（80-75）=210（分钟）， 两村之间的距离：（100+80）×210=37800（米）。 答：东、西两村的距离是37800米。 【思路分析】用甲、丙的速度和乘6求出甲、乙相遇后甲距离丙的路程是1050米，这个距离也是甲与乙相遇时乙比丙多行的路程，用这个路程除以乙、丙的速度差即可求出甲、乙的相遇时间。用甲、乙的速度和乘相遇时间求出两村的距离即可。 18．【答案】解：5分钟=小时， 小李和小张相遇时，小李和小王的距离：（4.8+10.8）×=1.3（千米）， 小李和小张的相遇时间：1.3÷（5.4-4.8）=（小时）， 两地的距离：（10.8+5.4）×=35.1（千米）， 小李骑车从乙地到甲地的时间：35.1÷10.8=3.25（小时）。 答：小李骑车从乙地到甲地需要3.25小时。 【思路分析】用小李和小王的速度和乘5分钟即可求出小李和小张相遇时小李和小王之间的距离，这个距离也是此时小张比小王多行的路程，用这个路程除以两人的速度差即可求出两人行驶的时间，这个时间也是小李和小张的相遇时间。用小李和小张的速度和乘相遇时间即可求出两地的路程。用两地的路程除以小李的速度即可求出小李骑车从乙地到甲地的时间。 19．【答案】解：将A、B两地的距离看作单位“1”， 则甲每小时行，乙每小时行：， 第一次相遇时间是：（小时）， 此时甲行了全程的：， 乙行了全程的：， 从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了两个全程， 所以，甲走了全程的：， 这个地方离甲的出发点是全程的：， 故两次相遇点之间距离是全程的：， 全程的距离是：（千米）， 答：A、B两地相距156千米． 【思路分析】根据题意，把A、B两地的距离看作单位“1”，则甲每小时行，乙每小时行×，那第一次相遇时间的时间即可求出，此时甲、乙各行了全程的几分之几也可以求出，从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了两个全程，因此甲走了全程的几分之几可以求出，这个地方离甲的出发点是全程的几分之几也可以求出，由此问题即可解决． 20．【答案】解：丙、乙相遇时，丙与甲的距离：（60+75）×2=270（米）， 丙、乙相遇时间：270÷（67.5-60）=36（分钟）， 两镇的路程：（67.5+75）×36=5130（米）. 答：两镇间的路程是5130米。 【思路分析】用丙与乙的速度和乘2即可求出丙与乙相遇时丙与甲之间的距离，这个距离也是丙与乙相遇时乙比甲多行的路程。用乙比甲多行的路程除以乙、甲的速度差即可求出行驶时间，也就是丙与乙的相遇时间。用丙与乙的速度和乘相遇时间即可求出两地的距离。 21．【答案】解：120÷3=40（千米）， （120+40）÷2， =160÷2， =80（千米）； 答：客车的速度是每小时80千米． 【思路分析】第一次相遇，两车合走2个全程，第二次相遇，两车又比第一次相遇时多走2个全程，因为客车、货车第一次相遇时各自走的路程与第一次相遇到第二次相 遇时各自走的路程分别相等．两次相遇又都在丙点，设乙丙之间路程为1份，可得甲丙之间路程为2份，所以乙丙间路程=120÷3=40，由此可以求出客车的 速度． 22．【答案】解：丙与乙相遇时丙与甲的距离：（480+720）×3=3600（米）， 丙与乙的相遇时间：3600÷（540-480）=60（分钟）， 两地距离：（540+720）×60=75600（米）， 甲：75600÷480=157.5（分钟）， 乙：75600÷540=140（分钟）， 丙：75600÷720=105（分钟）。 答：甲行完全程用157.5分钟，乙用140分钟，丙用105分钟。 【思路分析】丙与乙相遇时，丙与甲相对而行，丙与甲的距离是两人的速度和乘3，这个距离也是乙比甲多行的距离，用这个距离除以乙与甲的速度差即可求出行的时间，也就是丙与乙的相遇时间。用丙与乙的速度和乘相遇时间即可求出两地的距离。然后用距离除以速度分别求出三人行完全程需要的时间即可。 23．【答案】解：三人相遇时间：（20.4-4×0.5）÷（4+1.2+4）=18.4÷9.2=2（小时）， 相遇点与学校的距离：4×（0.5+2）=10（千米）， 骑车人的速度：10÷（2-1.5）=20（千米/小时）。 答：骑车人每小时行驶20千米。 【思路分析】李华0.5小时走了2千米，此时与老师的距离是（20.4-2）千米，用这个路程除以李华与老师的速度和即可求出相遇时间是2小时。此时李华一共行了（0.5+2）小时，用李华的速度乘这个时间即可求出相遇点距离学校的路程。这段路程骑车人一共用了（2-1.5）小时，用这个路程除以骑车人用的时间即可求出骑车人的速度。 24．【答案】解：2分钟甲丙行的距离：（50+70）×2=240（米）， 丙和乙的相遇时间：240÷（60-50）=24（分钟）， 路程：（60+70）×24=3120（米）。 答：东西两镇间的路程有3120米。 【思路分析】丙与乙相遇后，2分钟丙与甲相遇，用丙与甲的速度和乘2即可求出丙与乙相遇时丙与甲之间的距离，这个距离也是丙与乙相遇时乙比甲多行的距离，用这个距离除以乙与甲的速度差即可求出行驶时间，这个时间也是丙与乙的相遇时间。用丙与乙的速度和乘相遇时间即可求出两镇的距离。 25．【答案】解： 第二次相遇时，货车共行：80×3=240（千米） 240-50=190（千米），正好是一个全程。 答：甲、乙两地间相距190千米。 【思路分析】在距乙地80米处第一次相遇，两车行驶一个两地间的距离，也就是说两车行驶一个两地间的距离时货车行驶了80米； 第二次相遇时，两车应该走了三个两地间的距离，即第二次相遇时货车应该行驶80×3=240米； 两地间的距离=货车行驶的路程-50米，据此求出两地间的距离。 26．【答案】解：两人第一次相遇需 分，其间乙走了 （米）．由此知，乙没走135米两人相遇一次，依次可推出第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数） 【解析】【解答】 甲、乙第一次相遇所需时间：90÷（75+45）=0.75（分）； 甲、乙第一次相遇甲所走的路程：75×0.75=56.25（米）； 正方形的边长：90÷4=22.5（米）； 甲、乙每相遇一次甲走过的正方形的边数：56.25÷22.5=2.5（个边长）； 据图依次推出第7次在CD边上相遇。 答： 两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第7次相遇。 【思路分析】用“路程÷速度和”，求出相遇时间；用“速度×时间”，求出甲、乙第一次相遇甲所走的路程；用“正方形周长÷4”求出正方形的边长；用“甲所走的路程÷边长”求出甲、乙每相遇一次，甲走过的正方形的边数。据右图，依次可推出第7次在CD边相遇（图中数字表示该点相遇的次数）。 27．【答案】解：20分钟后A与B的距离：（80-65）×20=300（米）， B与C的速度和：300÷2=150（米/分）， C的速度：150-65=85（米/分）， 池塘的周长：（80+85）×20=165×20=3300（米） 答：池塘的周长是3300米。 【思路分析】A和B20分钟时的距离是A、B的速度差乘20，这样先求出20分钟时A、B的距离是300米。此时C与B的距离就是300米，两人2分钟相遇，这样用300除以2即可求出C与B的速度和，用速度和减去B的速度即可求出C的速度。然后用A、C的速度和乘A、C相遇的时间即可求出池塘的周长。 28．【答案】解：甲、乙相遇时，乙和丙之间的距离：（60+40）×15=1500（米）， 甲、乙的相遇时间：1500÷（50-40）=150（分）， 两地的距离：（60+50）×150=16500（米）。 答：A、B两地的距离是16500米。 【思路分析】用甲、丙的速度和乘15即可求出甲、乙相遇时甲、丙之间的距离，这个距离也是甲、乙相遇时乙比丙多行的路程。用乙比丙多行的路程除以乙、丙的速度差即可求出行驶时间，也就是甲、乙的相遇时间。用甲、乙的速度和乘相遇时间即可求出两地的距离。 29．【答案】（1）解： （2）解：5400×2÷（120+180） =10800÷300 =36（分钟） 答：经过了36分钟。 【思路分析】（1）明明的速度快，红红的速度慢，所以相遇时明明比红红跑的路程远，由此确定大约的相遇地点即可； （2）两人第二次相遇共行了2圈，所以用2圈的长度除以两人的速度和求出第二次相遇经过的时间即可。 30．【答案】解：1分15秒=分，3分45秒=， 甲、乙的速度和：600÷（+）=120（米/分）， 甲的速度：120×=72（米/分）， 甲、丙的速度和：600÷（++）=600÷=96（米/分）， 丙的速度：96-72=24（米/分） 答：丙的速度是24米/分。 【思路分析】甲第一次遇见乙后 分钟遇到丙，再过 分第二次遇到乙，所以甲、乙经过 分钟的时间合走了一圈，所以用湖的周长除以两人的相遇时间求出甲、乙的速度和，然后把速度和按照3：2的比分配后求出甲的速度。甲第一次遇见乙后 分钟遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要 分钟，这样用湖的周长除以甲、丙的相遇时间求出甲、丙的速度和，进而求出丙的速度即可。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$