精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

2024-2025学年方城县第一高级中学高一开学考试 数学试卷 一、单选题（共8题，每题5分，共计40分） 1. 已知正数，，满足，则有（ ） A. 最小值1 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值1 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可的解. 【详解】解：因为正数，，满足， 所以，当且仅当时，取等号， 所以有最大值1. 故选：D. 2. 下列命题是全称量词命题的是（ ） A. 存在一个实数的平方是负数 B. 至少有一个整数x，使得是质数 C. 每个四边形的内角和都是360° D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 3. 下列对象能构成集合的是（ ） A. 我国近代著名的数学家 B. 的所有近似值 C. 所有的欧盟成员国 D. 2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的性质的判断即可. 【详解】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 故选：C 4. ，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】图中阴影部分表示的是集合的交集部分，根据集合交集得到结果即可. 【详解】图中阴影部分表示的是集合的交集部分， ， 由集合交集运算得到结果为： 故选：A. 5. 由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】化简根式，再按x值的正负0，分类讨论即可判断作答. 【详解】显然，， 当时，集合中有1个元素0； 当时，，集合中有2个元素，； 当时，，集合中有2个元素，， 所以集合中最多含2个元素. 故选：A 6. 下列说法正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 是的必要条件 C. 四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件 D. “”是“” 的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件对选项一一分析即可. 【详解】对于A，当时，满足，此时存在，故A错误； 对于B，，等价于或，故是的充分不必要条件，故B错误； 对于C，四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的必要不充分条件，故C错误； 对于D，“”是“” 的充分不必要条件，故D正确； 故选：D 7. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，然后根据，即可求解. 【详解】由，得，所以， 因为，，所以，故D正确. 故选：D. 8. 对于集合A，B，“”不成立的含义是　　 A. B是A的子集 B. A中的元素都不是B的元素 C. A中至少有一个元素不属于B D. B中至少有一个元素不属于A 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的定义可知，“”不成立即A中至少有一个元素不在集合B中. 【详解】“”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素， 不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B， 故选C． 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题． 二、多选题（共3题，每题6分，共计18分） 9. （多选）下列说法中，正确的有（    ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 若，，则 C. 任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D. 如果不属于的元素一定不属于，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空集的定义和性质可判断A，C正确与否，根据真子集的性质可判断B正确与否，根据韦恩图可判断D正确与否. 【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错； 子集具有传递性，故选项B正确； 若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错； 由韦恩图易知选项D正确. 故选：BD 10. 下列不等式中不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据特值，不等式的性质及作差法逐项分析即得. 【详解】A. 若，当时，，故A满足题意； B. 若，则，即，故B不满足题意； C. 若，则，即，故C满足题意； D. 若，则，即，故D不满足题意. 故选：AC. 11. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素，即可判断. 【详解】依题意可知中存在小于的元素且不存在大于或等于的元素， 则集合和均符合题意. 故选：AD 三、填空题（共3题，每题5分，共计15分） 12. 已知全集，集合，，则__，__. 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】 化简集合，并求出的补集，根据交集，并集的定义求出结论即可. 【详解】全集，集合，或， ， 因此，，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查了集合的化简与交集，并集、补集的运算问题，是基础题目. 13. 含有3个实数的集合既可表示成又可表示成{a²，a+b，0}，则_______ 【答案】－1 【解析】 【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为， 显然，故，则；此时两集合分别是，， 则，解得或－1． 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意． 所以 故答案为：－1． 14. “一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______； 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据题意分析可得，结合充分、必要条件可得结果. 【详解】由解得或， 若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， 则，解得， 所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 四、解答题（共5题，共计77分） 15. 已知，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】将所证不等式利用三次基本不等式即可得到证明. 【详解】证明： ， ， ， 上面三式相加，得： ， 所以，. 【点睛】本题考查基本不等式在证明题中的应用，属于基础题. 16. 已知全集为，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）当时，求得集合，进而可求； （2）由已知可得，可得且，求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以； 小问2详解】 ，因为， 又因为，所以且，解得，． 17. 已知集合． （1）若，求集合A（用列举法表示）； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）代入，求出，然后求解集合A即可. （2）通过讨论当时，当时情况，结合二次函数的性质求出实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以，解得， 解方程可得或， 所以集合． 【小问2详解】 当时，方程为， 此时集合， 当时，集合中至多有一个元素只需判别式，即，即， 综上所述，a的取值范围是或 18 已知集合，． （1）当时，求，； （2）求能使成立的实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合A，进而可以求解； （2）由题可知，然后根据子集定义建立不等式关系，即可求解． 【小问1详解】 当时，集合，， 所以，. 【小问2详解】 由，可知， 则，解得， 故实数的取值范围为． 19. 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． （1）请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； （2）比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 【答案】（1）；. （2），甲先到达B地． 【解析】 【分析】（1）分别根据两人的运动情况表述出所需时间； （2）利用作差法比较大小即可得到结论. 【小问1详解】 设A地到B地的路程为， 因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走， 所以，所以， 因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走， 所以, 【小问2详解】 因为，所以，因为 所以 所以，所以甲先到达B地． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年方城县第一高级中学高一开学考试 数学试卷 一、单选题（共8题，每题5分，共计40分） 1. 已知正数，，满足，则有（ ） A. 最小值1 B. 最小值 C 最大值 D. 最大值1 2. 下列命题是全称量词命题的是（ ） A. 存在一个实数的平方是负数 B. 至少有一个整数x，使得是质数 C. 每个四边形的内角和都是360° D. ， 3. 下列对象能构成集合的是（ ） A. 我国近代著名的数学家 B. 的所有近似值 C. 所有的欧盟成员国 D. 2023年全国高考数学试题中所有难题 4. ，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 5. 由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列说法正确是（ ） A. 是充分条件 B. 是的必要条件 C. 四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件 D. “”是“” 的充分不必要条件 7. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对于集合A，B，“”不成立含义是　　 A. B是A的子集 B. A中的元素都不是B的元素 C. A中至少有一个元素不属于B D. B中至少有一个元素不属于A 二、多选题（共3题，每题6分，共计18分） 9. （多选）下列说法中，正确的有（    ） A. 空集是任何集合的真子集 B 若，，则 C. 任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D. 如果不属于的元素一定不属于，则 10. 下列不等式中不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3题，每题5分，共计15分） 12. 已知全集，集合，，则__，__. 13. 含有3个实数的集合既可表示成又可表示成{a²，a+b，0}，则_______ 14. “一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______； 四、解答题（共5题，共计77分） 15. 已知，求证：. 16. 已知全集为，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知集合． （1）若，求集合A（用列举法表示）； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 18. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）求能使成立的实数的取值范围． 19. 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为，．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且． （1）请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间和； （2）比较与的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$