1.3线段的垂直平分线 （课件） 2023-2024学年北师大版（2012）数学八年级下册

线段的垂直平分线 P N M 点P是码头的位置 线段的垂直平分线——创设情境,回顾性质 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? 线段垂直平分线性质定理: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线——创设情境,回顾性质 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC, 点P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. 证明:∵ MN⊥AB,垂足为C, ∴ ∠PCA=∠PCB=90 . ∵ AC=BC,PC=PC, ∴ PCA≌ PCB(SAS). ∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等).. 线段的垂直平分线——创设情境,回顾性质 如果点P与点C重合,那么结论显然成立. 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC, 点P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. 线段的垂直平分线——创设情境,回顾性质 文字语言: 定理 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言: ∵ MN⊥AB,AC=CB, 点P在MN上, ∴ PA=PB. 线段的垂直平分线——创设情境,回顾性质 线段的垂直平分线——逆向思维,探索判定 定理:线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等. 逆 命 题 逆命题:到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上. 是否为真命题? 已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 考虑P是否在线段AB上 P A B 线段的垂直平分线——逆向思维,探索判定 证明:当点P在线段AB上时, ∵ PA=PB, ∴ 点P为线段AB的中点, 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上. 线段的垂直平分线——逆向思维,探索判定 已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 当点P在线段AB外时 思路一: 过点P 作已知线段AB的垂线PC,垂足为点C,则PC是 PAB的高. ∵ PA=PB, ∴ PAB是等腰三角形. ∴ PC是 PAB的中线. ∴ AC=BC. ∴ 直线PC是线段AB的垂直平分线. ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上. 线段的垂直平分线——逆向思维,探索判定 当点P在线段AB外时 思路二: 取AB的中点C,过PC作直线. ∵ AP=BP,PC=PC,AC=CB, ∴ APC≌ BPC(SSS). ∴ ∠PCA=∠PCB. 又∵ ∠PCA+∠PCB=180 , ∴ ∠PCA=∠PCB=90 ,即PC⊥AB. ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上. 线段的垂直平分线——逆向思维,探索判定 当点P在线段AB外时 思路三: 过点P作∠APB的角平分线,交AB于点C. ∵ AP=BP,∠APC=∠BPC,PC=PC, ∴ APC≌ BPC(SAS). ∴ AC=BC,∠PCA=∠PCB. ∵ ∠PCA+∠PCB=180 , ∴ ∠PCA=∠PCB=90 ,即PC⊥AB. ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上. 线段的垂直平分线——逆向思维,探索判定 文字语言: 定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言: ∵ PA=PB, ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上. 线段的垂直平分线——逆向思维,探索判定 线段的垂直平分线——理性思考,归纳总结 线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点)的集合. 线段是一个轴对称图形,垂直平分线是它的一条对称轴. = = = = = = 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线. A B = = = = 线段的垂直平分线——理性思考,归纳总结 深刻理解判定定理 注意分析基本图形 读透图形重要信息 证明直线垂直平分线段 该直线上两点到线段两端点距离相等 该直线垂直线段且平分线段 线段的垂直平分线——理性思考,归纳总结 线段的垂直平分线——开放训练,体现应用 例1 如图,在 ABC中,AB=AC, O是 ABC内 一点,且OB=OC. 求证:直线AO垂直平分线段BC. 证明: ∵ AB=AC, ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上. 同理,点O在线段BC的垂直平分线上. ∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线. PC (P) - 是否还有 其他证法? 利用三角形的全等证明 例1 如图,在 ABC中,AB=AC, O是 ABC内 一点,且OB=OC. 求证:直线AO垂直平分线段BC. 线段的垂直平分线——开放训练,体现应用 证明:延长 AO 交 BC 于点 D, ∵ AB = AC,AO = AO,OB = OC , ∴ ABO ≌ ACO (SSS). ∴ ∠BAO = ∠CAO, ∵ AB = AC, ∴ AO ⊥ BC. ∵ OB = OC ,OD = OD , ∴ Rt DBO ≌ Rt DCO (HL). ∴ BD = CD. ∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC. D 线段的垂直平分线——开放训练,体现应用 线段的垂直平分线 点与点的距离 重点找准关键点 得到线段相等 利用性质 解决线段相等角相等 证明全等延伸拓展 线段的垂直平分线——理性思考,归纳总结 线段的垂直平分线——深入理解,方法提炼 1.已知:如图,AB是线段CD的垂直平分线, E,F是AB上的两点. 求证:∠ECF=∠EDF. 证明:∵AB是CD的垂直平分线, ∴EC=ED,FC=FD. 又∵EF=EF, ∴ ECF≌ EDF(SSS). ∴∠ECF=∠EDF. 2.如图,在 ABC中,AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E, BCE的周长等于50,求BC的长. ∵AB的垂直平分线交AB于点D, 交 AC于点E, ∴AE=BE. ∴AC=AE+EC=BE+EC=27. 又∵ BCE的周长等于50, 即BC+BE+EC=50,∴BC=23. 线段的垂直平分线——深入理解,方法提炼 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 性质定理 判定定理 线段的垂直平分线——自主反思,总结收获 同学们,再见! 在探究变化的数学现象中发现不变的实质! 用数学感知世界美好! $$