4.3.1利用平方差公式进行因式分解 （课件） 2023-2024学年北师大版（2012）数学八年级下册

4.3.1 利用平方差公式进行因式分解 第四章 因式分解 小华 992-1=? (a+b) (a-b) = a2 - b2 平方差公式 a2 - b2 = (a+b) (a-b) 芝麻开门 992-1 = 992-12 = (99+1) (99-1) = 100 98 = 9800 逆向思维 992-1 = 9801-1 = 9800 观察下列多项式,尝试将它们分别写成两个因式的乘积. (1) m2-1 (2) n2-25 (3) 9x2-y2 = (m+1)(m-1) = (n+5)(n-5) = (3x+y)(3x-y) 新知探究 a2 - b2 = (a+b)(a-b) = m2-12 = n2-52 = (3x)2-y2 x2 32 =(3x)2 an bn=(ab)n (1) m2-1 (2) n2-25 (3) 9x2-y2 = (m+1)(m-1) = (n+5)(n-5) = (3x+y)(3x-y) 多项式 整式的积 因式分解 新知探究 a2 - b2 = (a+b)(a-b) 观察下列多项式,尝试将它们分别写成两个因式的乘积. 能利用平方差公式因式分解的多项式有何特点? (1) m2 1 (2) n2 25 (3) 9x2 y2 = (m+1)(m-1) = (n+5)(n-5) = (3x+y)(3x-y) ①由两项组成 ②两项都是平方形式,且符号相反 + + + - - - 新知探究 - - - 分解的结果是 这两项的和与 这两项差的乘积 a2 - b2 = (a+b)(a-b) 下列多项式能否利用平方差公式因式分解? (1) x2 y2 (5) x y (4) x2 y2 (3) x2- (2) x2 -y2 -z2 不能 不能 能 不能 不能 火眼金睛 + + 2 2 + - - - y 三项式 不是平方 + - - 2 2 - + 写出一个可以用平方差公式因式分解的多项式,尝试对它进行因式分解. a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) 4x2-49y2 = (2x) 2-(7y) 2 = (2x+7y)(2x-7y) 探究新知 1. 将多项式写成两项平方差的形式. 2. 运用公式 a 2 - b 2 = (a + b)(a - b). 2x a b 7y 小文 利用平方差公式因式分解的步骤: (1) 25-16x2 把下列各式因式分解. 应用练习 (2) -16x2+81y2 (3) (x-y)2-9 (1) 25-16x2 =5 - (4x) =(5+4x)(5-4x) 解:原式 应用练习 2 2 - 小轩 2 2 把下列各式因式分解. (2) -16x2+81y2 应用练习 小婷 =(9y)2-(4x)2 =(9y+4x)(9y-4x) 解:原式=81y2-16x2 = (4x+9y)(9y-4x) 小强 解:原式= - (16x2-81y2) = - [(4x)2-(9y)2] = - (4x+9y)(4x-9y) -16x2 81y2 - =(9y)2-(4x)2 (9y)2-(4x)2 把下列各式因式分解. (3) (x-y)2-9 解:原式=x2-2xy+y2-9 解:原式=(x-y)2-32 =(x-y+3)(x-y-3) 应用练习 小璐 小鑫 不是因式分解 =x2-2xy+(y+3)(y-3) =x2-2xy+y2-32 整体思想 x-y 把下列各式因式分解. 把下列各式因式分解. (1) 9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] 解:原式=32(m+n)2-(m-n)2 =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n) 能力提升 因式分解需彻底. 3(m+n) m-n 4 4 2 2 [3(m+n)]2-(m-n)2 =[2(2m+n)] [2(m+2n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) (2) 2x3-8x 解:原式=2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2) 能力提升 当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式,然后再进一步因式分解. x2-4 把下列各式因式分解. 走进生活 解:S环=S大-S小 =- =-) =)) 当R=8.45cm,r=3.45cm时 S环= (8.45+3.45) (8.45-3.45) =3.14 11.9 5 =186.83cm2 答:环形面积是)cm2;当R=8.45cm,r=3.45cm,环形面积是186.83cm2. 如图,大小两圆的圆心相同,已知它们的半径分别是R cm和r cm,求它们所围成的环形的面积.如果R=8.45cm,r=3.45cm呢?(取3.14) 课堂小结 1. 平方差公式:a2 - b2 = (a+b) (a-b) 2. 注意事项: (1) 多项式有公因式先提公因式,再运用公式; (2) 检查是否分解彻底. 3. 数学思想方法:逆向思维、整体思想 进行因式分解 利用平方差公式 当堂检测 1. 把2a2-8因式分解,结果正确的是 ( ) A. 2(a2-4) B. 2(a-2)2 C. 2(a+2)(a-2) D.2(a+2)2 2. 下列各式中,能用平方差公式因式分解的是 ( ) A. x2+4y2 B. x2-2y+1 C.-x2-4y2 D.-x2+4y2 3. 因式分解:(2x+y)2-(x+2y)2= . 4. 计算7282-2282的结果为 . 5. 若2m+n=4,2m-n=3,直接写出4m2-n2= ;n2-4m2= . C D 3(x+y)(x-y) 478000 12 -12 布置作业 1. 判断正误: (1) x2+y2=(x+y)(x-y) ( ) (2) x2-y2=(x+y)(x-y) ( ) (3) -x2+y2=(-x+y)(-x-y) ( ) (4) -x2-y2= -(x+y)(x-y) ( ) 2. 下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是( ) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 3. 把下列各式因式分解. (1) a2b2-m2 (2) (m-a)2-(n+b)2 (3)5a2-20b2 基础题 布置作业 1. 把下列各式因式分解. (1) m3n-mn3 (2) p4-1 (3) -16x4+81y4 2. 简便计算: 5652-4352 3. 如图,在一块边长为a cm的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b cm的正方形,求剩余部分的面积,如果a=3.6,b=0.8呢? a b 拓展题 同学们,再见! 20544.0 29448.0 $$