1.1等腰三角形(第一课时)教学设计 2023-2024学年北师大版（2012）数学八年级下册

附件5 学科课程教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 春季 课题 等腰三角形(第一课时) 教科书 书 名:八年级数学下册教材 出版社:北京师范大学出版社 教学目标 1.通过三角形全等和等腰三角形的证明过程,掌握综合法证明的方法,发展推理能力. 2.经历自主探究、合作交流等活动,能证明等腰三角形的性质定理,并能用定理解决实际问题. 3.经历观察——操作——猜想——证明的过程中,感受研究几何图形的一般方法,不断积累活动经验,进一步发展推理能力、几何直观. 教学重难点 教学重点: 能够用综合法证明等腰三角形的性质定理及推论. 教学难点: 在证明的过程中发现数学证明的要求及步骤,体会证明的思想。 教学过程 一、回顾旧知,明确路径 回顾对三角形全等和等腰三角形已经完成的研究,我们经历了怎么的学习过程? 在七年级下册,我们通过观察、实验操作、折纸及轴对称等直观方法探索三角形全等的条件和等腰三角形的相关结论。从八年级上册“平行线的证明”一章开始,我们对几何命题进行严格证明,图形的研究从直观几何和实验几何走向论证几何。本节课我们将对三角形全等的条件和等腰三角形的相关结论进行推理证明。 【设计意图】: 以三角形研究知识发展的逻辑,确定了研究对象——等腰三角形. 通过类比构建等腰三角形的研究路径,用相似的路径研究不同的问题。 二、知识再现、探究学习 问题1:在七年级下册《三角形》一章中,我们学习了三角形全等的条件有哪些? 1.三边分别相等的两个三角形全等(SSS); 2.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS); 3.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA); 4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS). 其中,SSS.SAS.ASA 是公理,不需要证明,是证明其他定理的基本依据,而 AAS 不是公理,需要证明。 【设计意图】: 回顾旧知为本节课证明做准备,同时也明确本节课的研究内容. 三、合作探究,获得新知 探究一:探究1——全等三角形的判定和性质 结论:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS). 问题2:你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗? 学生回答:证明一个命题的一般步骤: (1)弄清条件和结论; (2)画出相应的图形; (3)写出已知和求证; (4)证明过程. 已知: 如图, 在 ABC和 DEF中, ∠A=∠D, ∠B=∠E, BC=EF. 求证: ABC≌ DEF. 分析:利用三角形内角和定理将本题中“角角边”的关系转化为“角边角”的关系 证明两个三角形全等. 证明: ∵∠A+∠B+∠C=180 ,∠D+∠E+∠F=180 ∴∠C=180 -(∠A+∠B), ∠F=180 -(∠D+∠E). ∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知), ∴∠C=∠F(等量代换). 在 ABC和 DEF中, ∵∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F . ∴ ABC≌ DEF(ASA). 归纳1——全等三角形的判定和性质 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS) 根据全等三角形的定义,我们可以得到: 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 【设计意图】: 通过这个环节的内容,三角形全等的研究就完整经历了“观察-操作-猜想-证明”的过程。为我们探究三角形的特例等腰三角形做好知识和方法的准备。 探究2——等腰三角形的性质定理 回顾1:等腰三角形的定义是什么? 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 回顾2:通过剪纸得到等腰三角形的活动,你还记得等腰三角形具有哪些性质? 性质 等腰三角形的两底角相等. 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合. 师生活动: 师生共同归纳得出性质是从定义出发,推出等腰三角形的组成要素——边和角的关系,以及相关要素——高、中线、角平分线之间的位置关系、大小关系. 学习效果评价: 学生能说出等腰三角形的对称性和其他的性质即可。 【设计意图】: 通过折纸活动过程,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸和发展,熟悉证明的基本步骤和书写格式. 证明:等腰三角形的两个底角相等. 已知: 如图,在 ABC中,AB=AC. 求证: ∠B=∠C. 思考:如何证明两个角相等呢? 学生:可以运用全等三角形的性质"对应角相等”来证。 思考:如何构造两个全等的三角形? 学生:通过等腰三角形剪纸活动的过程,我想到折痕就是它的对称轴,沿着对称轴可以将一个等腰三角形分成了两个全等的三角形。 所以我可以试着沿他的折痕做一条辅助线就可以将一个三角形分成两个全等的三角形,证明两个三角形全等可以得到对应角相等。 要求:学生自主尝试在任务单上尝试完成证明过程. 师生活动: 教师引导学生分析命题的已知和求证。并结合折叠的操作过程,得到启发,可以利用三角形全等证明这些结论,得出结论,利用三角形的底边BC的中线构建全等形。学生以口述证明过程展示小组成果,老师PPT出示规范格式. 【设计意图】: 小组讨论,即对命题证明的回顾,又体现合作交流的过程。 已知: 如图,在 ABC中,AB=AC. 求证: ∠B=∠C. 方法一:作底边上的中线 证明: 作底边BC的中线AD,则BD=CD. 在 BAD和 CAD中 ∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD, ∴ BAD≌ CAD (SSS). ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 方法二:作顶角的平分线 证明:作顶角的平分线AD, 则∠BAD=∠CAD. 在 BAD和 CAD中 ∴ BAD ≌ CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法三:作底边上的高 证明:作底边上的高AD, 则∠ADB=∠ADC=90 . 在Rt BAD和Rt CAD中 ∵ AB=AC,AD=AD, ∴ Rt BAD≌Rt CAD (HL). ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 学习效果评价: 学生能说出命题证明的基本步骤。等腰三角形的两底角相等的证明,大部分学生能书写证明过程。 归纳2——等腰三角形的性质定理 定理 等腰三角形的两个底角相等. 简述为:等边对等角 几何语言: 如图,在 ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 师生活动:老师指出,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的。并给出等腰三角形性质定理的符号语言格式,归纳等腰三角形常用的辅助线作法。并强调又多了一个证明角相等的方法。 【设计意图】: 通过PPT展示规范学生的证明格式,让学生既能明白几何证明的严谨性又能规范数学语言表达。 探究3——等腰三角形性质的推论 问题3:在等腰 ABC中,若线段AD是中线,则线段AD还具有怎样的性质?由此你能得到什么结论? 解:由辅助线的做法可知, ∵AD是底边BC上的中线, ∴ BAD≌ CAD ∴∠BAD=∠CAD. 则AD是顶角∠BAC的角平分线. ∴∠ADB=∠ADC, 又∵ ∠ADB+∠ADC=180 , ∴ ∠ADB=∠ADC=90 , ∴AD是底边BC上的高线. 归纳3——等腰三角形性质定理的推论 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一). 几何语言: 如图,在 ABC中,AB=AC (1)∵AB=AC, BD=CD (已知), ∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形三线合一). (2)∵AB=AC, ∠1=∠2(已知), ∴BD=CD,AD⊥BC(等腰三角形三线合一). (3)∵AB=AC, AD⊥BC(已知), ∴BD=CD, ∠1=∠2(等腰三角形三线合一). 【设计意图】: 通过等腰三角形等边对等角的性质的证明,总结出等腰三角形三线合一的性质,学生自主思考,展示交流,体现学生的总结提炼能力和类比迁移能力。 学习效果评价: 学生能独立写出证明过程,教师点评证明过程。 【设计意图】: 引导学生分析命题的已知和求证,并结合折叠的操作过程,得到启发,可以利用三角形全等证明这些结论,得出结论。 四、学以致用,应用新知 风筝的骨架如图所示,AB=AC,点D,E都在边BC上,且AD=AE,那么BD与CE相等吗?请说明理由. 学习效果评价: 学生能够独立完成,并能够尝试一题多解,参照教师的证明过程自我评价。 【设计意图】: 1.体会等腰三角形性质定理在解决实际问题中的作用,可以利用三角形全等证明也和可以用等腰三角形“三线合一”进行证明,实现由边到角的转化. 2.在解题过程中,体会从复杂图形中分解出等腰三角形,用转化思想和数形结合思想解决几何问题. 五、学法回顾,盘点收获 通过本节课的学习,你有什么收获? 【设计意图】: 通过引导学生回忆等腰三角形的研究过程,再次进行整体构建,形成体系,形成问题研究的“基本方法”,为后续的学习提供思路和方法. 从整体上认识几何图形研究的一般方法,感受数学研究对象的确定、研究方法的选择和研究过程的发展脉络. 六、作业布置,温顾新知 1.知识性作业 习题来源:课本习题1.1 第4题 如图,在 ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D, 点E是AD上一点,连接BE,CE. 请找出图中所有相等的角,并说明理由. 2.实践性作业 风筝,北方谓鸢,南方称为鹞,起源于中国,具有悠久的历史,其制作技艺被列为国家级非物质文化遗产。 请你搜集风筝制作中所用到的“等腰三角形”相关的知识,并结合数学语言进行表达. 【设计意图】: 课后作业少而精,考察等腰三角形的判定。同时,设置了实践作业,通过等腰三角形风筝的设计制作,既考察学生等腰三角形的性质和判定的应用,又增强了学生数学学习的兴趣。 七、板书设计 【设计意图】: 通过板书结构化展示本节课的研究对象、研究路径、研究方法,对学生更有引导性。 八、课后反思 本节课从回顾三角形全等和等腰三角研究方法出发,为本节课为什么证明做好铺垫,同时也让学生更加明确几何图形研究的完成过程。几何图形的研究路径:定义-性质-判定-应用,研究方法:观察-操作-猜想-证明。通过本节课几何图形研究的基本思路讲清楚,并且将进入几何研究的第二阶段:演绎推理。 在三角形全等的角角边的环节,从回顾八年级上册最后一章的基本证明步骤开始本节课的证明,为学生建立起知识间的桥梁,也让学生明确本节课证明的基本方法。 在等腰三角形的性质定理的探究和证明,是基于七年级轴对称学习的基础,让学生在直观演示的基础上回忆等腰三角形的性质,为证明提供思路。对于等腰三角形的性质完成证明后,本节课基本完整体现了一个几何图形通过“观察-操作-猜想-证明”的研究过程。 最后的习题选择以风筝的制作和设计为主要问题,引导学生用数学的知识解决现实问题。学生能够做到一题多解灵活运用三角形全等和等腰三角形的性质定理,对本节课的知识掌握加以巩固。 本节课以证明为主,渗透几何图形研究方法和研究路径,基本上能有大单元教学的思路。 学科网(北京)股份有限公司 $$