精品解析：山东省菏泽市鄄城县鄄城县第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

高一数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知i是虚数单位，复数，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（ 　　） A. B. C. D. 3. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个斜边长为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，BC是的斜边，过A作所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，则图中直角三角形的个数是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为 A. B. C. D. 7. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 8. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每题选对得6分，少选按比例得分，多选错选不得分，） 9. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 10. 据医院对某种病情治愈率统计为：老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为.现医院共有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则（ ） A. 若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取5人 B. 该医院中年患者所占的频率为 C. 估计该医院的平均治愈率大约是 D. 估计该医院的平均治愈率大约是 11. 如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（ ） A. B. 直线PC与直线异面 C. 存在点P使得PC与所成的角为60° D. 存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60° 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与的夹角为，，，则______. 13. 已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为___________. 14. 如图，正方体的棱长是2，S是的中点，P是的中点，点Q在正方形及其内部运动，若平面，则点Q的轨迹的长度是___________. 四、解答题（77分） 15. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的. (Ⅰ）求乙答对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 16. 在中，为直角，，AD与BC相交于点M，． （1）试用表示向量； （2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过M，设，求的值． 17. 在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，，. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）若点为棱上一点，且平面，求的值； （3）求证：平面平面. 18. 我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 8 第2组 第3组 20 第4组 第5组 3 合计 （1）求出的值； （2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晩会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （3）估计这50名学生成绩的众数､中位数､平均数. 19. 已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 . （1）求; （2）求的内切圆半径 的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知i是虚数单位，复数，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数运算求，再根据共轭复数的概念求解即得. 【详解】, 则的共轭复数是. 故选:B. 2. 某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，男生30人，女生20人，按照分层抽样方法从中抽取5人，则男生为人，女生为， 从这5人中随机选取2人，共有种，全是女生的只有1种， 所以至少有1名女生的概率为，故选D. 3. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 4. 一个斜边长为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，从而可求出其表面积 【详解】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2， 所以圆锥的表面积为， 故选：B 5. 如图，BC是的斜边，过A作所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，则图中直角三角形的个数是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面垂直的性质即可判断作答. 【详解】依题意，，，则，即都是直角三角形， 又，则，而，，平面，因此，平面， 平面，即，又AD是的斜边上的高，点D与B，C都不重合， 于是得都是直角三角形， 所以给定图中共有8个直角三角形. 故选：D 6. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用枚举法确定总事件数，再从中确定奇数个数，最后根据古典概型概率公式得结果. 【详解】任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有： 109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631， 145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532， 307，370，703，730，406，460，604，640，共40个， 其中奇数有20个， ∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为. 故选C． 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属中档题. 7. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案. 【详解】，由正弦定理得，， 又， 所以， 因为，所以，故， 因为，所以， 由三角形面积公式可得，故， 由余弦定理得， 解得或（舍去）， 故三角形周长为. 故选：B 8. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合， 为的外心，，即为斜边的中点， 又为中点，， 为中点， ． 故选：． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 二、多选题（本大题共3小题，每题选对得6分，少选按比例得分，多选错选不得分，） 9. 已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A. 复数z的共轭复数的模为1 B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C. 复数z是方程的解 D. 复数满足，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】因为，所以， 对于选项A，因为，所，故选项A正确； 对于选项B，因为复数z在复平面内对应的点为，故选项B正确； 对于选项C，，所以，故选项C错误； 对于选项D，设，则由，得到，又，由几何意义知，可看成圆上的动点到原点的距离，所以的最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 据医院对某种病情治愈率统计为：老年患者治愈率为，中年患者治愈率为，青年患者治愈率为.现医院共有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则（ ） A. 若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取5人 B. 该医院中年患者所占的频率为 C. 估计该医院的平均治愈率大约是 D. 估计该医院的平均治愈率大约是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率的计算即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取的人数为，A对； 对于B，该医院中年患者所占的频率为，B对； 对于CD，估计该医院的平均治愈率大约是，C对D错. 故选：ABC. 11. 如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（ ） A. B. 直线PC与直线异面 C. 存在点P使得PC与所成的角为60° D. 存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60° 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；证明平面，PC平面，可判断B；求出PC与所成的角的最大值恒小于60°可判断C；求出PC与底面ABCD所成的角为60°时，的长度可判断D. 【详解】对A，在正方体中，易得，底面， 平面，， ，平面，则平面， 因为平面，所以，故A正确； 对B，因为平面，平面，平面，且， 所以直线PC与直线异面，故B正确； 对C，因为，所以PC与所成的角即为PC与所成的角， 由图可知，当点位于点处时，最大，此时， 所以PC与所成的角恒小于60°，故C不正确； 对D，过点作平面交直线于点，则， 设正方体的边长为，PC与底面ABCD所成的角即为， 若，则， 则，所以存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°. 故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与的夹角为，，，则______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解. 【详解】由题意，向量与的夹角为，，， 所以， 所以, 故答案为：6 13. 已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用异面直线所成的角可求的长度，将四棱锥补成长方体后可求外接球的直径，从而可求外接球的表面积. 【详解】 如图，因为，故或其补角为异面直线与所成的角， 因为平面，平面，故， 故为锐角，故，故，故. 将该四棱锥补成如图所示的长方体： 则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为， 故表面积为. 故答案为：. 14. 如图，正方体的棱长是2，S是的中点，P是的中点，点Q在正方形及其内部运动，若平面，则点Q的轨迹的长度是___________. 【答案】 【解析】 【分析】作交于E，连接，易证平面平面，设平面平面=EF，则在上求解. 【详解】解：如图所示： 要使平面，作交于E， 则平面， 因为正方体的棱长是2， 所以， 连接，取的中点，连接， 则为平行四边形，则， 则平面，又， 所以平面平面， 设平面平面=EF， 则， 连接，则为平行四边形，在上， 所以， 故答案为： 四、解答题（77分） 15. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的. (Ⅰ）求乙答对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）设乙答对这道题的概率为，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率； （Ⅱ）设丙答对这道题的概率，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案. 详解：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件, 设乙答对这道题的概率， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件. 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得 解得， 所以，乙对这道题的概率为 (Ⅱ）设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件,丙答对这道题的概率. 由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得, 解得 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件， 所以，所求事件概率为 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率关系，解题时要认真审题，注意相互独立事件和对立事件的辨析. 16. 在中，为直角，，AD与BC相交于点M，． （1）试用表示向量； （2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过M，设，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用三点共线的结论：若A、B、C三点共线，则，且． 【小问1详解】 ∵C、M、B三点共线，则， 又∵D、M、A三点共线，则， 可得，解得 ∴． 【小问2详解】 ∵Ｅ、M、Ｆ三点共线，则 ∴，整理得：． 17. 在四棱锥中，为与的交点，平面，是正三角形，，. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）若点为棱上一点，且平面，求的值； （3）求证：平面平面. 【答案】（1）. （2） （3）证明如下： 取的中点，连接，， 因为是正三角形，，所以， 因为是中点，所以， 因为平面， 所以，，， 因为，所以，， 设，在等腰直角三角形中，， 在中，， 在直角梯形中，， 因为，点为的中点， 所以， 在中，， 在中，由，，，可知， 所以， 由，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解， （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解， （3）根据线面垂直的判定求证平面，即可由面面垂直的判定求解. 【小问1详解】 因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即， 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为. 【小问2详解】 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为，， 所以， 所以. 【小问3详解】 略 18. 我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 8 第2组 第3组 20 第4组 第5组 3 合计 （1）求出的值； （2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晩会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （3）估计这50名学生成绩的众数､中位数､平均数. 【答案】（1）15；0.06；0.03；0.006 （2） （3）75；71； 【解析】 【分析】（1）按频率分布表和频率分布直方图的定义及性质列式求解即可； （2）由列举法求古典概型概率； （3）估计时取每组中间成绩，结合图表按定义求值即可. 【小问1详解】 由题意得，样本容量，， ∴的频数为，，∴的频率为， ∴，. 【小问2详解】 成绩是80分以上（含80分）的同学共有人，其中第4组4人，记为A、B、C、D，第5组3人，记为X、Y、Z. 则从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有AB、AC、AD、AX、AY、AZ、BC、BD、BX、BY、BZ、CD、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共21种； 所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组有AX、AY、AZ、BX、BY、BZ、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共15种. 故所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率为. 【小问3详解】 由直方图可知，众数为. 从左到右累计人数有名，故中位数在组，故中位数为. 平均数为 19. 已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 . （1）求; （2）求的内切圆半径 的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化为边，再由余弦定理求解即可； （2）根据等面积法可得出的表达式，利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围. 【小问1详解】 由正弦定理可得，，即， 所以， 由可知，， 所以，故. 【小问2详解】 因为的内切圆半径 ， 所以， 即， 又因为，所以， 所以， 由正弦定理 ， 又，则， 所以，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $