立方根 （课件） 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

立方根 1.经历用类比的方法学习立方根的过程，了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根; 2.通过归纳思考，理解立方根的性质，了解立方与开立方互为逆运算，会用立方运算求一个数的立方根; 3.经历对立方根的探究过程，体会分析和解决数学问题的一般步骤和类比的数学思想. 学习目标 “每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”——康德 复习引入，获得路径 你还记得我们研究了平方根的哪些内容吗？ 我们是怎样研究平方根的呢？ 能不能利用研究平方根的路径来研究立方根呢？ 复习引入，获得路径 生活问题 定义 符号表示 求法 性质 应用 复习引入，获得路径 平方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）. 符号表示 ± 求法 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 平方与开平方互为逆运算. 性质 正数 有两个平方根，它们互为相反数. 0 只有一个平方根，是0本身. 负数 没有平方根. 被开方数取值范围 a≥0 生活问题 定义 符号表示 求法 性质 应用 问题情境，探究新知 将棱长为 1 cm 的两个正方体铁块，熔成一个大的正方体铁块，那么这个新正方体的棱长是多少？ 棱长3=体积 13=1 1+1=2 ( )3=2 ? 如何解决这个问题呢? 魔方是一种益智玩具，这是一个正方体魔方，体积是8cm3，你会计算它的棱长吗？ 化难为易 ( )3=8 棱长3=体积 ( )3=27 ( )3=64 正方体魔方体积变为27cm3呢？体积变为64cm3呢？ 2 棱长为2cm 3 棱长为3cm 4 棱长为4cm 要解决( ？ )3=2这类的问题，如何表示这样的数，我们需要类比平方根的学习. 类比学习，获得概念 （1）因为( )3=8, 所以8的立方根是_____ 根据立方根的定义填空: 理解概念 （2）因为( )3=27, 所以27的立方根是_____ （3）因为( )3=64, 所以64的立方根是_____ （4）因为( )3=, 所以的立方根是_____ （5）因为( )3= 0, 所以0的立方根是_____ （1）因为( )3=8, 所以8的立方根是_____ 根据立方根的定义填空: 理解概念 （2）因为( )3=27, 所以27的立方根是_____ （3）因为( )3=64, 所以64的立方根是_____ （4）因为( )3=, 所以的立方根是_____ （5）因为( )3= 0, 所以0的立方根是_____ 0 2 3 4 0 2 3 4 想一想： 正数有几个立方根？ 0有几个立方根？ 负数有几个立方根？ （1）2的立方等于多少？ 是否有其他数，它的立方也是8？ （2）-3的立方等于多少？ 是否有其他数，它的立方也是-27？ 类比学习，探究性质 你能再举一些例子来验证吗？ 23=8 没有其他数了 ( -3 )3=-27 没有其他数了 8的立方根只有2 -27的立方根只有-3 正数的立方根是正数； 0的立方根是0； 负数的立方根是负数. 立方根的性质 每个数都有一个立方根. 立方根的表示 将棱长为 1 cm 的两个正方体铁块，熔成一个大的正方体铁块，那么这个新正方体的棱长是多少？ 棱长3=体积 13=1 1+1=2 ( )3=2 ? 解决问题 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数. 开立方运算 立方 开立方 互为逆运算 立方根与平方根有哪些区别和联系？ 立方根与平方根有哪些区别和联系？ 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）. 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根） 符号表示 ± 求法 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 平方与开平方互为逆运算. 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，a叫做被开方数. 立方与开立方互为逆运算. 性质 正数 有两个平方根，它们互为相反数； 正数的立方根是正数； 0 只有一个平方根，是0本身； 0的立方根是0； 负数 没有平方根. 负数的立方根是负数. 被开方数取值范围 a≥0 a为任意数 立方根与平方根有哪些区别和联系？ 关系 平方根 立方根 区别 符号表示 性质 正数 正数有两个平方根，它们互为相反数； 正数的立方根是正数，只有一个； 负数 负数没有平方根. 负数的立方根是负数. 被开方数取值范围 a≥0 a为任意数 联系 定义 求法 0 1.定义类似； 2.开平方和开立方都与相应的乘方运算互为逆运算，求法类似； 3. 0的平方根和立方根都是0； 求下列各数的立方根: (1)-27 (3)0.216 (4)-5 学有所用，应用新知 例1 解: (1)因为(-3 )3=-27,所以-27的立方根是-3，即 =-3; (2)因为( )3= ,所以的立方根是 ，即 = ; (3)因为0.63= 0.216,所以0.216的立方根是0.6，即 =0.6; (4) -5的立方根是. 求下列每组式子的值，你有什么发现？ 观察归纳 = ， = ， = , = , = . = . = , = ; = , = ; 第一组： 第二组： 第三组： = , = ; 8 -27 0 -2 0 -3 -3 -1 -1 - - 一个数的立方根的立方是它本身； 一个数的立方的立方根是它本身； 一个数的相反数的立方根等于它的立方根的相反数. 也就是说：负号可从“根号内” 直接移到“根号外” 求下列各各式的值: 例2 经过本节课的学习，你有哪些收获？ 畅谈收获，内化提升 1.知识内容 2.研究路径 3.数学思想 畅谈收获，内化提升 立方根 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根） 符号表示 求法 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，a叫做被开方数. 立方与开立方互为逆运算. 性质 正数 正数的立方根是正数； 0 0的立方根是0； 负数 负数的立方根是负数. 被开方数取值范围 a为任意数 知识内容 畅谈收获，内化提升 生活问题 定义 符号表示 求法 性质 应用 知识内容 研究路径 畅谈收获，内化提升 知识内容 研究路径 数学思想 立方根 平方根 类比 抽象能力 应用意识 运算能力 用类比这个方法往往能指引我们前进! 旧方法 新问题 解决 已有的学习经验 未知世界 探究 2.求下列各式的值： ， ， ， ， . 分层作业，巩固提升 基础题：1.填写下表： a 1 8 27 64 5 6 7 8 9 10 提升题：一个正方体木块的体积为1000cm3,现要把它锯成8块同样大小的 正方体小木块，小木块的棱长是多少？ 拓展题：一个正方体的体积变为原来的8倍，棱长变为原来的多少倍？体积变为原来 的27倍，棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来 的n倍呢？ 同学们，再见！ $$