7.4平行线的性质 （课件） 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

7.4平行线的性质 两直线平行 1. 同位角相等 2. 内错角相等 3. 同旁内角互补 问题 平行线的判定方法是什么？ 思考 反过来，如果把平行线的判定定理的条件和结论互换，那么得到的命题是真命题吗? 两条直线被第三条直线所截， 合作探究 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”， 你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 平行线的性质 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行线被第三条直线所截， 同位角相等. 已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和 ∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截 得的同位角. 求证：∠1 =∠2. 文字语言 符号语言 A B C D E F M N 1 2 问题3：你能说说证明的思路吗？ G H 证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD. 又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2. 如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？ A B C D E F M N 1 2 一般地，平行线具有如下性质： 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. b 1 2 a c ∴∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）. ∵ a∥b（已知）， 应用格式： 总结归纳 议一议 利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？ 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 尝试来证明一下！ 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是 直线 a，b 被直线 c 截得的内错角. 求证：∠1 =∠2. 证明：∵ a∥b (已知)， ∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等). ∵∠1＝∠3 (对顶角相等)， ∴∠1＝∠2 (等量代换). 1 2 b c 3 a 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是直 线 a，b 被直线 c 截得的同旁内角. 求证：∠1 +∠2 = 180°. 证明：∵ a∥b (已知)， ∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等). ∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)， ∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) . 1 2 b c 3 a 证明：∵ a∥b，c∥b， ∴∠1 =∠2，∠2 =∠3. ∴∠1 =∠3. ∴ a∥c. 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 已知：如图，直线 a，b，c 被直线 d 所截，且 a∥b，c∥b. 求证：a∥c. 平行线的性质 性质定理 1： 两直线平行，同位角相等. ∵ a∥b，∴∠1 =∠2. 性质定理 2： 两直线平行，内错角相等. ∵ a∥b，∴∠1 =∠2. 性质定理 3： 两直线平行，同旁内角互补. ∵ a∥b，∴∠1 +∠2 = 180°. a b c 2 1 a b c 1 2 a b c 1 2 这些结论，以后可以直接运用. 总结归纳 归纳总结 证明一个命题的一般步骤： (1) 弄清题设和结论； (2) 根据题意画出相应的图形； (3) 根据题设和结论写出已知，求证； (4) 分析证明思路，写出证明过程. 解：∠A =∠C，∠B =∠D. 理由：∵ AB∥CD，AD∥BC (已知)， ∴∠A +∠D = 180°， ∠C +∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补). ∴∠A =∠C (同角的补角相等). 同理，∠B =∠D. 典例精析 例1 如图，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC， 试问∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小关系如何？ A D C B 证法一： ∵ AB∥DC（已知）， ∴∠B +∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠B =∠D（已知）， ∴∠D +∠C = 180°（等量代换）. ∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）. 例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D. 求证：AD∥BC. A D C B 证法二： 如图，延长 BA（构造一组同位角） ∵AB∥CD（已知） ∴∠1 = ∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B = ∠D（已知） ∴∠1 = ∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D. 求证：AD∥BC. 1 A D C B 证法三： 如图，连接 BD (构造两组内错角). ∵ AB∥CD (已知)， ∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等). ∵∠ABC =∠ADC (已知)， ∴∠ABC－∠1 =∠ADC－∠4 (等式的性质). ∴∠2 =∠3. ∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行). 1 2 3 4 A D C B 例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D. 求证：AD∥BC. 平行线的判定与性质 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 线的关系 角的关系 性质 角的关系 线的关系 判定 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定 有什么区别？ 解：∵ AB∥DE ( )， ∴∠A =_______ ( ). ∵ AC∥DF ( ) ， ∴∠D =______ ( ). ∴∠A =∠D ( ). 1. (1) 有这样一题：如图 1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明 ∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. P F C E B A D 图 1 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 等量代换 解：∵ AB∥DE ( )， ∴∠A = ______ ( ). ∵AC∥DF ( ) ， ∴∠D + _______=180° ( ). ∴∠A +∠D=180° ( ). 1. (2) 有这样一题：如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF， 试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程， 括号内填写依据. 图2 F C E B A D P 已知 ∠CPD 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行,同旁内角互补 等量代换 （3）∠4 = 70°， 两直线平行，同旁内角互补. 2. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截. (1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度？为什么？ (2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度？为什么？ (3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度？为什么？ 2 3 E 1 4 A B D C 解：(1) ∠2 = 110°， 两直线平行，内错角相等. （2）∠3 = 110°， 两直线平行，同位角相等. 3. 如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行. 第 一次拐的∠B 是 142°，第二次拐的∠C 是多少度？ 为什么？ 解：∠C = 142°. 两直线平行，内错角相等. B C 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 判定 性质 得到 课堂小结 已知 得到 已知 同学们，再见！ $$