排列组合(讲义)-2023-2024-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

排列组合 (知识精讲+典例分析+高频真题+答案解析) 1、排列组合的综合应用具有一定难度．突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石．其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？ ②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析．有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握． 2、 解题方法总结： （1）、优先法 在解决排列组合问题时，对于有限制条件的元素（或位置），优先考虑。 （2）、捆绑法 当要求某些元素必须相邻时，将它们“捆绑”在一起视为一个整体，与其他元素一起进行排列，然后再考虑“捆绑”元素内部的排列。 （3）、插空法 当要求某些元素不能相邻时，先排其他元素，然后将这些不相邻元素插入到已排好元素的空隙中。 （4）、排除法 先求出总的排列数，然后减去不符合条件的排列数。 （5）、隔板法 用于解决相同元素的分组问题。 （6）、分类讨论法 当问题包含多种情况时，分别对每种情况进行讨论，最后将结果相加。 【典例1】小华、小明、小东、小勇四个好朋友一起到公园去游玩，四个人站成一排拍一张照片，如果小华站在最右边，有多少种不同的站队方法？每两人租一条小船，有几种不同的搭配方法？ 【答案】解：3+2+1=6（种） 答：有6种不同的站队方法，6种不同的搭配方法。 【思路分析】小华站在最右边，剩下3个位置，第一个位置有3种站法，第二个位置有2种站法，第三个位置有1种站法，各种不同的站法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数； 每两人租一条小船，第一个人有3种选择，第二个人有2种选择，第三个人有1种选择，各种选择种数加起来，其和就是完成这件事的方法总数。 【典例2】文具店里有四种圆珠笔，售价分别是1元、2元、3元和4元。笑笑花了10元钱买了4支笔，那么他买笔的组合有几种不同的方式?请用算式列出。 【答案】解：共5种：①10=1+1+4+4，②10=1+2+3+4，③10=2+2+3+3，④10=1+3+3+3，⑤10=4+2+2+2。 答：买笔的组合有5种不同的方式。 【思路分析】因为是买了4支笔，先确定一种笔，然后依次确定第二种、第三种、第四种，总钱数一定是10元，这样列举出不同的组合方式即可。 【典例3】家福超市里三种陶瓷碗，单价分别是6.8元/个，9.6元/个，5.6元/个；两种陶瓷盘单价分别是16元/个，12元/个。 （1）买一个陶瓷碗和一个陶瓷盘，一共多少种不同搭配？ （2）买6个陶瓷碗和4个陶瓷盘，最多用多少元？ 【答案】（1）解：3×2=6（种） 答：一共有6种不同的搭配。 （2）解：9.6×6+16×4 =57.6＋64 =121.6（元） 答：最多用121.6元。 【思路分析】（1）一共有的搭配方法=陶瓷碗的种类数×陶瓷盘的种类数； （2）最多用的钱数=最贵的陶瓷碗的单价×数量＋最贵的陶瓷盘的单价×数量，据此列式计算即可。 【典例4】有两名男生和四名女生，要组成一对选手参加男女混合两人三足比赛，共有多少种组合方式？请用符号或字母表示男生和女生并画图说明。 【答案】解： 4+4=8（种） 答：一共有8种不同的选法。 【思路分析】本题也可以用乘法计算，从2名男同学中选1人有2种选法，从4名女同学中选出1人有4种选法，根据乘法原理可知，共有2×4=8种不同的选法。 【典例5】一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分．那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？ 【答案】解：由题意可知，这次比赛共需比 （盘）。因为每盘比赛双方得分的和都是1分 或 ），所以10名选手的总得分为 （分）．每个队的得分不是整数，就是“&.5”这样的小数．由于乙队选手平均得3.6分，3.6的整数倍不可能是“&.5”这样的小数．所以，乙队的总得分是18或36。但 ，而三个队一共才10名选手（矛盾）．所以乙队的总分是18分，有选手 （名）。甲、丙两队共有5名选手。由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分，18分（不可能是27分）．因为 ，甲队选手总得分为0分），丙队选手人数相应为1名、2名，甲队选手人数相应为4名，3名，经过试验，甲队4名选手，丙队1名选手。答：甲队4名选手，乙队5名选手，丙队1名选手。 【思路分析】第一名选手比赛9盘，第二名选手与剩下的选手比赛8盘，第三名选手与剩下的选手比赛7盘，……，第九名选手与第十名选手比赛1盘，这样先计算出比赛总盘数45。每盘比赛得分和都是1分，因此得分总和是45分。然后根据每个队选手的平均得分推理出每个队的选手人数即可。 1．明明为自己搭配早餐。饮料有2种：牛奶、果汁；点心有3种：蛋糕、油条、面包。饮料和点心各选一种。一共有多少种不同的搭配方法？ 2．学校举行兵乓球比赛，A组、B组两个小组各有18人。每组两人一对进行比赛，负者被淘汰、胜者进入下一轮，最后两组第一名进行决赛。两个小组要进行多少场比赛？ 3．某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有多少人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同? 4．学校举行青少年法律知识竞赛，共有8人参加比赛，其中4名男生，4名女生，要求一男一女组成一队. （1）共有多少种组队方案？ （2）若A、B两同学已成一队，还有多少种组队方案？ （3）若男B，D不能一队，有多少种组队方案？ 5．书架上放有3本不同的排球书，5本不同的篮球书，6本不同的羽毛球书 （1）若从这些书中任意取一本有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取排球书、篮球书、羽毛球书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同内容的书两本，有多少种不同的取法？ 6．麦香村面包房有四种面包，单价分别是8.9元/个、6.6元/个、4.4元/个、2.8元/个；有三种果酱，单价分别是12元/瓶、23元/瓶、28元/瓶。 （1）买一个面包并配一瓶果酱，一共有多少种不同的搭配？ （2）买5个面包和1瓶果酱，最少要多少元？最多呢？ 7．由张小丽、李小娟、罗小华、陈小亮每两人组成一个小组跳舞，共有多少个不重复的小组？并分别写出每组的姓名？ 8．学校举行了中国象棋比赛，已知参赛选手共64人. （1）如果采用单循环赛制，决出冠军和亚军，至少需赛多少场？ （2）如果采用淘汰制比赛，决出冠军和亚军一共要赛多少场？ （3）如果先分成8个小组，在小组内采用单循环赛制，小组前2名共16名队员进行淘汰制，一共要多少场？ 9．从学校大门口到教学楼有3条路，从教学楼到科技楼有2条路，如果小敏从学校大门口先到教学楼，再去科技楼，一共有几种不同的走法？ 10．17支排球队分成三组，其中两组各6支队，第三组5支队，第一阶段各组进行单循环比赛；第二阶段，由各组前两名举行单循环比赛，决出冠亚军，共需举行多少场比赛？若第二阶段中，原同一组的两队免赛，共需举行多少场比赛？若17支球队不分组，直接利用单循环赛制，共要赛多少场？ 11．饭店里晚上供应A，B，C，D四种炒菜，E，F，G三种主食，如果一种炒菜和一种主食配成一份套餐，共有多少种不同的搭配方法? 12．坐座位动物王国的狮子国王要表彰英勇救人的小老鼠、小兔和小狗，它们在记者招待会的主席台上留下了3个座位．请问：小老鼠、小兔和小狗参加记者招待会有几种坐法？ 13．教三年级的4位老师进行乒乓球比赛，按照规定，每两人之间都要打一场，4位老师要打几场？用连线的方法表示出来。 14．春节期间，青青、乐乐、莹莹、丽丽4人之间互相送上新春祝福。如果他们每2人之间互相寄一张贺年卡，一共寄了多少张? 15．深圳地铁5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、福田区、南山区，西至前海片区赤湾站。线路总长55.311千米，共有34个站点。下图是它的部分站点。从赤湾站到前海湾站共有8个站，单程需要准备多少种不同的车票？ 16．小丽有3张数字卡片2，4，9．小雨有3张数字卡片3，5，7．每次抽出一张，谁大谁胜出． （1）小丽胜的可能性是多少?小雨胜的可能性是多少? （2）这个游戏规则公平吗?小雨一定会胜吗? 17．小刚、小华、小勇三名同学进行男子400米决赛，前两名有奖品。请你猜一猜，获得奖品的会是哪两个同学?一共有几种可能?(三人到达终点的时间不同) 18．一列客车在上海与南京之间往返行驶，中间停靠苏州、无锡、常州，每两地之间的路程都不同，铁路局应准备多少种不同的火车票? （在相同的两站往返的车票是不同的） 19．小华、小光、小红、小军在儿童节互相问候，每两人通一次电话，一共通了几次电话？如果互相赠一张贺卡，需要几张贺卡？ 20．学校食堂某天中午的菜单如图所示。现在每位同学在每一类中只能选一种，你认为有多少种不同的选择方法？请你写出所选择的菜单。 菜类：A.肉排 B．鱼 C．炒三鲜 汤类：D.蛋汤 E．青菜汤 主食类：F.米饭 G．面条 H．馒头 21．某足球邀请赛有16个城市参加， 每市派出甲乙两个队， 根据比赛规则， 每两个队之间至多赛一场， 并且同一城市的两个队之间不进行比赛， 比赛若干场后进行统计， 发现除 市甲队外， 其他各队已经比赛过的场数各不相同， 问 市乙队已赛多少场？ 22．爸爸给兄弟俩买回一套连环画，共三册．兄弟俩商量要做一个游戏：让爸爸闭上眼睛，把连环画打乱顺序，如果顺序是1，2，3，哥哥就获胜；如果顺序是3，2，1，弟弟就获胜． 你认为这个游戏规则公平吗? 23．中国最小的铁路只有4站，分别是临山、双龙桥、乡会桥、团山。从临山开往团山方向，需要准备多少种不同的单程车票？在下面画一画，算一算，表示出解决问题的过程. 24． 、 、 、 、 五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止， 已经赛 盘， 赛 盘， 赛 盘， 赛 盘．问：此时 同学赛了几盘？ 25．元旦期间小刚玩套圈游戏，套中小狗得8分，套中小鹿得6分，套中小猴得4分。小刚套中两次，可能得多少分？（可重复套中） 26．某次排球比赛中，中国队所在的小组有6个队．每两队之间赛一场。中国队在小组赛中赛几场？整个小组共赛几场？ 27．李叔叔来到了新房，新房有4个房间，也有4把钥匙，他知道每把钥匙只能开一个房门，但不知道哪把钥匙开哪一个房门，现在要打开所有关闭的4个房门，那么他至少要试开多少次才能打开全部？ 28．益民超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.5元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。 （1）买一个茶杯，并配上一个茶盘，一共有多少种不同的搭配？ （2）买6个茶杯和1个茶盘，最少要用多少元？最多呢？ 29．电影院每排有10个座位，淘气和爸爸、妈妈去看电影，他们想买第一排3张连坐的票，可以有多少种买法?买好票他们又有多少种不同的坐法呢? 30．G3192次高铁列车从杭州到合肥，途中经过9个站，铁路部门要准备多少种不同的车票?（用不同的字母表示不同的站） 1．【答案】解：2×3=6（种） 答：一共有6种不同的搭配方法。 【思路分析】饮料的种类数×点心的种类数=总的搭配方法，据此解答。 2．【答案】解：（18-1）×2+1 =17×2+1 =34+1 =35（场） 答：两个小组要进行35场比赛。 【思路分析】淘汰赛中，比赛总场次=参加比赛的人数-1，这样先算出每组先比赛的场次，然后加上最后决赛的1场就是总场次。 3．【答案】解：十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有45种不同的报名方法。由鸽巢原理知有 45+1=46(人)报名时满足题意。 【思路分析】9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（种），10项比赛共有45种不同的组合，假如每个组合都有1人报名，共有45人报名，那么再有1人报名，不管是报哪个组合，都会保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同。 4．【答案】（1）解：4×4=16（种） 答：共有16种组队方案. （2）解：（4－1）×（4－1） =3×3 =9（种） 答：还有9种组队方案. （3）解：4×4－1 =16-1 =15（种） 【思路分析】本题考查的主要内容是排列组合的应用问题，根据实际情况进行排列即可. 5．【答案】（1）14种 （2）90种 （3）63种 【解析】【解析】解：1、3＋5＋6＝14(种) 答：若从这些书中任意取一本有14种同的取法. 2、3×5×6＝90(种) 答：有90种不同的取法. 3、3×5＝15(种) 3×6＝18(种) 6×5＝30(种) 15＋18＋30＝63(种) 答：若从这些书中取不同内容的两本书时，共有63种不同的取法. 【思路分析】本题直接根据排列组合的方法进行解答即可. 6．【答案】（1）4×3=12（种） 答：一共有12种不同的搭配。 （2）2.8×4+12=23.2（元） 8.9×4+28=63.6（元） 答：最少要23.2元，最多要63.6元。 【思路分析】（1）每种面包有三种果酱的搭配方法，所以搭配的方法=面包的种数×果酱的种数，据此代入数据作答即可； （2）最少需要的钱数=面包中最便宜的单价×5+果酱中最便宜的单价；最多需要的钱数=面包中最贵的单价×5+果酱中最贵的单价。据此代入数据作答即可。 7．【答案】解：4×3÷2=6（个） 张小丽、李小娟； 张小丽、罗小华； 张小丽、陈小亮； 李小娟、罗小华； 李 小娟、陈小亮； 罗小华、陈小亮。 答：共有6个不重复的小组。 【思路分析】组成不重复小组的个数=（n-1）×n÷2。 8．【答案】（1）（场） （2）64－1=63（场） （3）64÷8=8（人） （场） 28×8＋（16－1）=239（场） 【思路分析】本题考查的主要内容是排列组合的应用问题. 9．【答案】解：3×2=6（种） 10．【答案】解：6×(6-1)÷2×2+5×(5-1)÷2=30+10=40(场)40+6×(6-1)÷2=40+15=55(场)；55-3=52(场)；17×(17-1)÷2=17×16÷2=136(场)答：第一种情况共需要55场；第二种情况共需要52场；第三种情况共需要136场. 【思路分析】单循环赛制的场数=队伍数×(队伍数-1)÷2，根据这个公式分别计算；注意第二种情况下，三组各有两队不需要再比赛，因此要减少3场比赛. 11．【答案】解：4×3=12（种） 答：共有12种不同的搭配方法。 【思路分析】一种炒菜和一种主食配成一份套餐，主食有3种，所以一种炒菜可以搭配3种主食，而题中有4种炒菜，那么一共有搭配的种类=炒菜的种数×主食的种数，据此代入数据作答即可。 12．【答案】解：6种 【解析】【解答】解：将3个座位标为1、2、3：①小老鼠坐1号，小兔坐2号，小狗坐3号；②小老鼠坐1号，小狗坐2号，小兔坐3号；③小兔坐1号，小老鼠坐2号，小狗坐3号；④小兔坐1号，小狗坐2号，小老鼠坐3号；⑤小狗坐1号，小老鼠坐2号，小兔坐3号；⑥小狗坐1号，小兔坐2号，小老鼠坐3号； 答：共有六种坐法。 故答案为：6种。 【思路分析】假设将3个座位标为1、2、3，首先确定1号座位三个动物选择一个，剩下的两个分别放在2号座位与3号座位能写出两个，据此即可解答此题。 13．【答案】解：6场 【思路分析】每两人打一次，那么每个人要打3次；4个人一共比赛3×4次，但这样算每次重复了2次，所以再除以2即可。3×4÷2=6次。注意看清题的要求不要重复也不要遗漏。 14．【答案】青青、乐乐；乐乐、青青； 青青、莹莹；莹莹、青青 青青、丽丽；丽丽、青青 乐乐、莹莹；莹莹、乐乐 乐乐、丽丽；丽丽、乐乐 莹莹、丽丽；丽丽、莹莹 答：一共寄了12张 【思路分析】对于每个人来说，都要寄3次贺卡，那么4个人，一共就是4 ​3=12次，就这么简单。 15．【答案】解：7+6+5+4+3+2+1=28（种） 答：单程需要准备28种不同的车票。 【思路分析】从赤湾出发到后面7个站点，共需要准备7种车票；从荔湾出发到后面的6个站点需要准备6种车票；……；从桂湾出发向前海湾需要准备1种车票。把这些车票的种数相加即可。 16．【答案】（1）4÷9=，5÷9= 答：小丽获胜的可能性是，小雨获胜的可能性是。 （2）不公平，他们胜的可能性不同，但小雨也不一定会胜，因为有偶然性． 【思路分析】（1）出现的可能有2~3，2~5，2~7，4~3，4~5，4~7，9~3，9~5，9~7，共9种可能，其中小丽胜的有4种，小雨胜的有5种，由此用分数表示两人胜的可能性即可； （2）如果两人胜的可能性相同，游戏就公平，不相同，游戏就不公平。小雨获胜的可能性大，但是也不是一定会胜，只能说他获胜的可能性比较大。 17．【答案】解：小刚和小华，小刚和小勇，小华和小勇 答：有3种可能 【解析】【解答】解：每个同学可以和其他2位同学组合2次，因为都重复一次，所以他们共有：3×2÷2=6÷2=3（种）可能，获得奖品的会是小刚和小华，小刚和小勇，小华和小勇。 答：获得奖品的会是小刚和小华，小刚和小勇，小华和小勇；一共有3种可能。 故答案为：小刚和小华，小刚和小勇，小华和小勇；3。 【思路分析】对几个事物进行搭配的过程，按一定的顺序有条理地进行思考，找出搭配的规律；本题中每个同学可以和其他2位同学组合3次，因为都重复一次，根据搭配总数=每次搭配总数×人数÷2，列式计算，再根据结果一一列举，即可解答此题。 18．【答案】解：5×4=20（种） 答：铁路局应准备20种不同的火车票。 【思路分析】从上海出发去南京，一共要准备4＋3＋2＋1=10（种）不同的车票，同样，从南京出发去上海，也要准备10种不同的车票，所以铁路局应准备20种不同的火车票。 19．【答案】解：4×（4﹣1）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（次） 4×3＝12（张） 答：每两人通一次电话，一共通了6次电话，如果互相赠一张贺卡，需要12张贺卡。 【思路分析】做题时注意本题中每两人通一次电话和互相赠送一张卡片的区别，两人通一次电话所用公式：n×（n-1）÷2，据此解答即可。 20．【答案】解：ADF，ADG，ADH，AEF，AEG，AEH，BDF，BDG，BDH，BEF，BEG，BEH，CDF，CDG，CDH，CEF，CEG，CEH 3×2×3＝18（种） 答：共有18种不同的选择方法。 【思路分析】组合数量=菜类数量×汤类数量×主食类数量， 写出所选择的菜单时要做到不重不漏。 21．【答案】解： 每市的任意一支球队都要和另外15个城市的2支球队进行比赛， 所以每队最多会赛： （场 其他各队已经比赛过的场数各不相同， 其它各队已赛过场次依次为0，1，2， ，30． 赛过30场和0场的队，经简单推理知此两队必为同城队； 接下来依次配对 ， ， ， ． 只有 15 没有配对，这就是乙队； 于是乙队赛过15场． 答： 市乙队已赛15场。 【思路分析】如果全部赛完，那么每队最多会赛30场，因为各队比赛过的场次各不相同，根据数字特点推理出赛过30场和0场的一定是同城队，然后给这些数字依次配对，没有配对的数就是乙队比赛过的场次。 22．【答案】解：这个游戏规则公平。 【思路分析】所有的顺序共有123，132，213，231，312，321，顺序是123和321的可能性是相同的，因此游戏公平。 23．【答案】解： 3+2+1=6（条） 答：需要准备6种不同的单程车票。 【思路分析】临山这个站点需要准备3种不同的单程车票，双龙桥这个站点需要准备2种不同的单程车票，乡会桥这个站点需要准备1种单程车票，他们的和就是需要准备的不同的种类数。 24．【答案】解：画 个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场． 根据题意， 已经赛 盘，说明 与 、 、 、 各赛一盘， 应与 、 、 、 点相连． 赛 盘，是与 点相连的． 赛 盘，是与 、 、 点相连的． 赛 盘，是与 、 点相连的．从图上 点的连线条数可知， 同学赛了 盘． 【思路分析】采用画图的方法是解答此题常用的方法。盘数最多的A同学与其他4人各比赛一盘，实际D已经比赛完了，因为D赛了1盘。那么B赛的3盘分别与A、C、E比赛；此时C赛的2盘分别与A和B比赛，很容易就发现E分别与A和B各比赛1盘，共2盘。 25．【答案】解：可能得8分、10分、12分、14分、16分。 【思路分析】两次都套中小狗得16分；两次都套中小鹿得12分；两次都套中小猴得8分；套中小狗和小鹿得14分；套中小狗和小猴得12分；套中小猴和小鹿得10分；据此解答。 26．【答案】6-1=5（场） 将小组编号为1，2，3，4，5，6 12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56 共15场 答：中国队在小组赛中赛5场，整个小组共赛15场 【思路分析】小组有6个队．每两队之间赛一场。那就是1和2，1和3，1和4，1和5，1和6，2和3，2和4，2和5，2和6，3和4，3和5，3和6，4和5，4和6，5和6.所以整个小组赛要进行15场， (1) 中国队在小组赛中比赛6场（和其他6个队各比赛一场） ​6-1=5次 27．【答案】解：3+2+1=6（次） 答：至少试6次。 【思路分析】考虑最不利原则，第一次拿4把钥匙开其中一个门，试了3次都打不开，剩下的那把肯定是开的。第二次拿剩下的3把钥匙开第2个房间，试了2次打不开，剩下的那把肯定是对应的钥匙。第三次拿剩下的2把钥匙开第3个房间，试了1次打不开，剩下的那把肯定是对应的钥匙。最后一个钥匙肯定是第四个房间的钥匙，他们的和就是打开全部房门至少要试开的次数。 28．【答案】（1）解：3×2=6（种） 答：一共有6种不同的搭配。 （2）解：2.5×6+8 =15+8 =23（元） 6.8×6+12 =40.8+12 =52.8（元） 答：最少要用23元，最多要用52.8元。 【思路分析】（1）一共有3种茶杯，2种茶盘，那么每种茶杯有2种茶盘搭配，所以一共有2×3=6种不同的搭配； （2）最少要用的钱数=6×最便宜的茶杯的单价+最便宜的茶盘的单价；最多要用的钱数=6×最贵的茶杯的单价+最贵的茶盘的单价。 29．【答案】解：①②③、②③④、③④⑤、 ④⑤⑥、⑤⑥⑦、⑥⑦⑧、⑦⑧⑨、 ⑧⑨⑩共8种买法。①淘气 爸爸 妈妈；②淘气 妈妈 爸爸；③爸爸 淘气 妈妈；④爸爸 妈妈 淘气；⑤妈妈 爸爸 淘气；⑥妈妈 淘气 爸爸共6种。答：共有8种买票法，共有6种坐法。 【思路分析】需要3张票连号，给这10个座位编号，从①开始，然后列举出所有连号的票即可确定买法。三人按照顺序坐，先确定排第一的，然后确定排第二和第三的，这样列举出所有坐法即可。 30．【答案】解：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（种） 答：铁路部门要准备45种不同的车票。 【思路分析】因为高铁是从杭州到合肥，所以是单程的，那么第一个站台有9种车票，第二个站台有8种车票，……，第九个站台有1种车票，然后把它们加起来即可。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$