辽宁省普通高中2024-2025学年高三上学期期初考试数学模拟试题（2）

辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题（2） 高三数学 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 试卷难度：偏难 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则 （     ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为 （     ） A． B． C． D． 3．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则 （     ） A． B． C． D． 4．下列有关事件的说法正确的是 （     ） A．若，则事件A,B为对立事件 B．事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大 C．若A,B为互斥事件，则 D．若事件A,B,C满足条件，B和C为互斥事件，则 5．已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为 （     ） A． B． C． D． 6．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 7．集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是 （     ） A．数列的通项公式为 B． C．实数的取值范围是 D．数列中的每一项都不能够被5整除 8．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 （     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的通项公式为 ，前项积为，则下列说法正确的是 （     ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中，是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为9 10．已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … n … 若数列是等差数列，则 （     ） A．若n为奇数，则 B． C．若数列单调递增，则 D． 11．已知函数，，其中，且．若函数，则下列结论正确的是 （     ） A．当时，有且只有一个零点 B．当时，有两个零点 C．当时，曲线与曲线有且只有两条公切线 D．若为单调函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分． 12．已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 13．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821,5~1894,12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有．根据该不等式可以对事件的概率作出估计．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 ． 14．已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是 ；若，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最小值为1，求a． 16．（本小题满分15分） 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项积，证明：． 17．（本小题满分15分） 材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系．该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有． 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 请根据以上材料，回答下列问题． （1）已知德国电车市场中，有10％的车电池性能很好．公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3％，其中有25％的汽车电池性能很好．现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0．001 （2）为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动．活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束．若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品．记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子．一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对于任意，证明：． 19．（本小题满分17分） 对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列．例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7． （1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的； （2）设是的控制数列，满足（为常数，）．证明：； （3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由． 高三数学试卷 第 5 页（共 4 页） 高三数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$I中蓬高中2024-2025学年上学期期初考试模报试题(2) 高三数学答显卡 请在各题目的答的区作答,出的答来夫 在各目的答贴区境内答,姓出边的答突无效 第 准证 四。解答题(共77分) 正 10.(本小题满分15分) ⊙乙 条形码粘贴处 15.(小题满分13分) ■口口 附t 二 trr 22七2 272 平之 -十, 4e 第一题分 选择题(基58分) 福 一 十 1 +itirn) 1 4.i1100 (140 3.iirttar t11t1o{ .tii{ 4 rin 第二部分,非选择 中用日地的字选答字笔书写 三、填空题(小题5分,共15分) 此区域内禁止答题 在各题日的答题区内餐,故出洁福的答无效 在各题目的答路区睛作,出的无 请在题目答题区域内答,出的答无 在题目的答题区境内答,精出这的答来无效 请在日的答这域内作答,超出铅的答案无效 在题目的答疑区域内答。出结题的答无效 17.(小本题满分15分 13.(本小题满分17分) (本小题满分17分) 语在各题目的区地内答,的等无 在各路日的段区内作答,出的答案无效 在各题目答题国内答,较答赏无 辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题（2） 高三数学 参考答案 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C C D A D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD ACD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．1250 14．； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）； （2）． 16．（1）； （2）证明见解析． 17．（1）； （2）． 18．（1）的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）； （3）证明见解析． 19．（1）答案见解析； （2）证明见解析； （3）． 高三数学试卷答案 第 1 页 （共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题（2） 高三数学（教师版） 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 试卷难度：偏难 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据并集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题． 2．已知，则的最小值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解. 【详解】由， ，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 3．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 【详解】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以， 故选：C 4．下列有关事件的说法正确的是 （     ） A．若，则事件A,B为对立事件 B．事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大 C．若A,B为互斥事件，则 D．若事件A,B,C满足条件，B和C为互斥事件，则 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，条件概率的定义判断． 【详解】对于A，若在不同试验下，虽然有，但事件A和不对立．若在同一试验下，说明事件A和B对立．所以A错误； 对于B，若事件A和B都为不可能事件，则B错误； 对于C，互斥，若对立，则，若不对立，则，C正确； 对于D，若事件A,B,C满足条件，B和C为互斥事件，则，则D错误， 故选：C． 5．已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，结合已知条件利用导数判断在上的单调性，结合奇偶性的定义判断的奇偶性，从而求出在上的单调性，分和两种情况，对进行变形，结合的单调性，从而求出解集. 【详解】解：设，∴， ∵当时，，∴， ∴在上单调递减，∵是定义在上的奇函数， 故，∴是定义在上的偶函数． ∴在上单调递增．①当时，， 则不等式可转化为， 即，∴，故． ②当时，， 则不等式可转化为， 即，∴，故． 不等式的解集为． 故选：D． 【点睛】关键点睛: 本题的关键是构造出，结合奇偶性和已知条件求出所构造函数的单调性；本题第二个关键是对所解不等式进行变形. 6．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件将问题转化为，构造函数，化为，求，根据导数判断函数的的单调性，可得在上恒成立，构造函数，求，根据导数判断函数的单调性求出函数的最值即可解题. 【详解】函数的定义域为， 由，得，则化为，即， 令，即，对任意且恒成立， 则函数在上单调递减，即，， 而，因此，即， 显然，有，恒成立， 因为，所以，恒成立， 令，则，因为，恒成立，则在上单调递增， 所以不等式化为，即，恒成立， 令，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增减， 于是当时，取得最大值，，则， 所以正实数取值范围为. 故选：A 【点睛】结论点睛：隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为. 7．集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是 （     ） A．数列的通项公式为 B． C．实数的取值范围是 D．数列中的每一项都不能够被5整除 【答案】D 【分析】利用题意，可计算，判断B是错误的；再利用的关系，可求得，但要注意此时，再检验首项，可判断A是错误的；对于不等式，可利用化简变形，再分类讨论来分离参变量，最后求出范围，同样要注意首项另外计算，可判断C也是错误的；对于被5整除，只需要化简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定选项D是正确的. 【详解】解，所以，即B错误； 所以，则， 两式相减得：， 当时，，所以，不满足上式，所以A错误； 由上，当时， 由恒成立，则， 等价变形得：，化简得：， 当为偶数得：，则，所以， 当为奇数得：，由，所以， 但是当时，，而， 由得：，解得， 综上可得：，所以C错误； 当时，， 因为和都能被5整除，而一定不能被5整除，此时一定不能被5整除， 而当时，，显然不能被5整除，所以D正确； 故选：D． 8．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题干中的不等式变形为，由题意可知直线恒位于函数图象的上方，函数的图象的下方，代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小，设切点坐标为，求出的值，即可得出的最小值. 【详解】令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递增，且， 令，则， 因为函数在上单调递增， ，， 所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，如下图所示： 由题意得， 直线恒位于的图象上方，的图象下方， 代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小． 设切点为，则， 整理可得， 令，则， ， 而当时，，， 所以，， 所以当时，，则函数在上单调递增， 所以有唯一的零点， 所以，此时直线方程为，故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的最值，解题的关键在于将不等式变形为，通过作出图象，找出直线与函数相切时，最小，然后利用导数法进行求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的通项公式为 ，前项积为，则下列说法正确的是 （     ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中，是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为9 【答案】ABD 【分析】判断数列的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B选项，再根据项与1的大小关系判断的单调性及最值判断C，D选项即可. 【详解】，∴当时随着的增大越来越小且小于， 当时随着的增大越来越小且大于，则前项中最大项为，最小项为， 故A，B选项正确； 当时， 当时，,所以数列不是单调递减，C选项错误； 前 n 项积取得最小值时为9，故D选项正确. 故选：ABD. 10．已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … n … 若数列是等差数列，则 （     ） A．若n为奇数，则 B． C．若数列单调递增，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质可得，结合等差数列的前项和公式，可得.结合等差数列的性质，可判断A的真假；由可判断B的真假；结合数列的单调性，可判断C的真假；结合数列求和，可判断D的真假. 【详解】由数列是等差数列且，得，所以， 对于A，当n为奇数时，，故A正确； 对于B，由得，故选项B错误； 对于C，若数列单调递增，则可得，故，故选项C正确； 对于D：由，其中， 所以， 因为，， 所以 ，故选项D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：在D的判断过程中，利用这一结论，作为选择题，该结论可以熟记，直接应用. 11．已知函数，，其中，且．若函数，则下列结论正确的是 （     ） A．当时，有且只有一个零点 B．当时，有两个零点 C．当时，曲线与曲线有且只有两条公切线 D．若为单调函数，则 【答案】BC 【分析】根据零点的概念可转化为，即，代入特值可判断A选项；构造函数，求导根据函数的图像性质可判断B选项；根据导数的几何意义可列方程，化简可得 ，再构造函数，根据导数及零点的顶用可判断C选项；根据函数的单调性及导数的意义可判断D选项. 【详解】由，可得，即， 当，或当，时，都有成立， 即函数有两个零点，A选项错误； 又可转化为，即， 设，则， 又， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 当时，取最小值为， 函数图像如图所示， 当时，， 所以若使有两个零点，只有当有两个零点，即有两个零点， 由函数，求导可得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 且当时，，且当时，函数取得最大值为， 所以若有两个零点，则， 即，B选项正确； C选项：当时，设，则，，设， 设切点分别为，， 所以，， 即， ①，所以，即，， ②，所以， 即，所以，即， 设，， 所以， 所以， 所以在上单调递减， 又，， 所以，使得， 所以，，单调递增， ，，单调递减， 所以有两解， 所以时，曲线与曲线有且只有两条公切线； D选项：若单调递增，则恒成立，即， 所以，又函数，不满足， 若单调递减，则恒成立，即，即， 所以，设，，则， 当时，不成立， 当时，，所以在单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以，即， 解得，D选项错误； 故选：BC． 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分． 12．已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 13．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821,5~1894,12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有．根据该不等式可以对事件的概率作出估计．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 ． 【答案】1250 【分析】由题意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可. 【详解】由题意知，所以，， 若，则， 即，即， 由切比雪夫不等式知， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内， 则，解， 所以估计信号发射次数n的最小值为1250. 故答案为：1250 【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的应用，解题的关键是将变形为，考查理解能力和计算能力，属于较难题． 14．已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是 ；若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】对分别求导，求出求出函数单调区间，画出大致图象，结合共同值域可求的取值范围；对变形得，即得，即，可等价处理为，令，构造，结合可求，进而得解. 【详解】，，当时，，单减；当时，单增；当时，，当时，，当时，，，画出大致图象，如图： ，故当时，，单减，当时，，单增，当时，，当时，，当时，，故将画出，如图所示： 由图可知，若，则； 若，，，因为，所以，即，即， ，令，因为，所以，构造， ，当时，，单增，当时，，单减，故，故的最大值是. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最小值为1，求a． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）通过运算得即可得解. （2）对分类讨论，首先得满足题意，进一步分、以及分类讨论即可求解. 【详解】（1）， 所以曲线在点处的切线方程， 即． （2）， 令，则， 令，则， 当时，， 则， 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 在上单调递增，且， 所以，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，所以． 所以成立， 当时，当时，在上单调递减，， 在上单调递减， 因为，所以在上单调递减，此时，舍去． 当时，当时，， 在上单调递减，在上单调递增，，舍去； 当时，当时，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，此时，，舍去， 综上，． 【点睛】关键点睛：第二问的关键是找到适当的临界值对分类讨论，结合导数与函数最值、单调性等关系即可顺利求解. 16．（本小题满分15分） 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项积，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得； （2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证. 【小问1详解】 由是首项为、公差为的等差数列， 故， 即， 当时，， 故 ， 当时，，符合上式， 故； 【小问2详解】 由，， 故， 则 ， 由， 故， 则. 17．（本小题满分15分） 材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系．该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有． 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 请根据以上材料，回答下列问题． （1）已知德国电车市场中，有10％的车电池性能很好．公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3％，其中有25％的汽车电池性能很好．现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0．001 （2）为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动．活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束．若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品．记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子．一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.根据全概率公式和条件概率公式求解即可； （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子，事件表示小球向右走一格.小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，即.证明是以为首项，3为公比的等比数列求解即可. 【详解】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知： 故：. （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子， 事件表示小球向右走一格.小球开始于第格，此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动， 当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于， 即.由题知， 又，故， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 即：， 即：， ， ， 故， ， 则， 故这名顾客获得代金券的概率为. 【点睛】关键点睛：理解题意，根据全概率公式和条件概率公式对实际问题的逻辑理解是关键，本题考查全概率公式和条件概率的实际应用，属于较难题. 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对于任意，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）； （3）证明见解析． 【分析】（1）将代入函数，对函数二次求导，即可求出函数的单调区间； （2）分情况讨论，结合（1）中结论，判断符合题意，对函数二次求导，分别判断和不符合题意，最终确定的取值范围； （3）根据（2）中结论先得到，取取，得到，令，，…，，累加可得；又构造函数， 求导判断函数单调性可得：，，取（），得，令，，…，，累加得，结论得证. 【小问1详解】 的定义域为； 当时，，则； 令，则； 故当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增． 于是，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 由题意知，令， 则； 由（1）可知若，则当时，， 若，则当时，有 ，符合题意； 若，则当时，，于是， 单调递减，则，与题意矛盾； 若，则当时，，于是， 单调递减，此时，与题意矛盾； 综上所述：a的取值范围是． 【小问3详解】 当时，上（2）可知， 即，取，可得 ， 即． 令，，…，，累加可得 ． 另一方面，考虑函数，， 则， 在上单调递减，则， 于是，． 取（），可得， 整理得． 令，，…，， 累加可得． 综上所述，对于任意，成立． 【点睛】二次求导探究函数得单调性； 分类讨论确定的取值； 构造函数，利用函数的单调性证明不等式； 累加法的运用. 19．（本小题满分17分） 对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列．例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7． （1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的； （2）设是的控制数列，满足（为常数，）．证明：； （3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由控制数列确定原数列，只是在确定时，只要即可； （2）由已知证得控制数列是不减的数列，然后确定也是不减的数列，由第一项开始可证明对应项必相等； （3）由于控制数列是等差数列，因此可考虑或两种情形，分类讨论可得． 【详解】（1）由题意，，，，， 所以数列有六种可能：；；；；；． （2）因为，，所以， 所以控制数列是不减的数列， 是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，， 那么若时都有，则， 若，则，若，则， 又，由数学归纳法思想可得对，都有； （3）设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于， 当是数列中间某项时，不可能是等差数列， 所以或， 若，则（），是等差数列， 此时只要，是的任意排列均可．共个， ，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列， 由此有，即就是，只有一种排列， 综上，的个数是． 【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义，应用新定义，本题关键是确定控制数是不减的数列，从而由此可确定结论．对学生的逻辑思维能力要求较高． 高三数学试卷答案 第 1 页 （共 15 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题（2） 高三数学 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 试卷难度：偏难 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则 （     ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为 （     ） A． B． C． D． 3．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则 （     ） A． B． C． D． 4．下列有关事件的说法正确的是 （     ） A．若，则事件A,B为对立事件 B．事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大 C．若A,B为互斥事件，则 D．若事件A,B,C满足条件，B和C为互斥事件，则 5．已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为 （     ） A． B． C． D． 6．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 7．集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是 （     ） A．数列的通项公式为 B． C．实数的取值范围是 D．数列中的每一项都不能够被5整除 8．若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 （     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的通项公式为 ，前项积为，则下列说法正确的是 （     ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中，是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为9 10．已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … n … 若数列是等差数列，则 （     ） A．若n为奇数，则 B． C．若数列单调递增，则 D． 11．已知函数，，其中，且．若函数，则下列结论正确的是 （     ） A．当时，有且只有一个零点 B．当时，有两个零点 C．当时，曲线与曲线有且只有两条公切线 D．若为单调函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分． 12．已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 13．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821,5~1894,12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有．根据该不等式可以对事件的概率作出估计．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 ． 14．已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是 ；若，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最小值为1，求a． 16．（本小题满分15分） 设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项积，证明：． 17．（本小题满分15分） 材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系．该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有． 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 请根据以上材料，回答下列问题． （1）已知德国电车市场中，有10％的车电池性能很好．公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3％，其中有25％的汽车电池性能很好．现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0．001 （2）为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动．活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束．若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品．记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子．一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对于任意，证明：． 19．（本小题满分17分） 对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列．例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7． （1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的； （2）设是的控制数列，满足（为常数，）．证明：； （3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由． 高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$