高二数学开学摸底考试卷02 (考试范围：必修第一、二册)-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 高二数学开学摸底考试卷02 （考试范围：必修第一、二册 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．《九章算术》中将正四棱台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（ ） A． B． C． D． 6．已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（    ） A． B． C． D． 7．为了发展旅游业，方便游客观赏湖面盛开的睡莲和湖里游动的锦鲤，唐山南湖公园拟修建观景栈桥．规划如图所示，为规划区域，面积为万平方米，，，，是四条观景木栈桥，其中，，，为观景玻璃栈桥，则的最小值（单位：百米）为（    ） A． B．4 C． D． 8．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若，，，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D． 10．设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 11．函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则 . 14．在三棱锥中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，，则该三棱锥的外接球的体积为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知复数满足，求； （2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 16．（15分）如图，边长为6的正中，点D在边上，且，点M在线段上． (1)若，求的值； (2)若，求x及的值． 17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 18．（17分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，，D为BC的中点，求AD的长． 19．（17分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. (1)求证:平面MCD; (2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 高二数学开学摸底考试卷02 （考试范围：必修第一、二册 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2．P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为，则， 即点为的一个三等分点（靠近点A），    所以的面积为. 故选：B. 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D 4．若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以的共轭复数，对应的点坐标为位于第四象限. 故选：D 5．《九章算术》中将正四棱台（上､下底面均为正方形）称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，分别是正四棱台不相邻两个侧面的高，是一条侧棱， 过作，连接, 所以是正四棱台的高，所以， 因为， 所以， 所以方亭的体积为. 故选：C. 6．已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 7．为了发展旅游业，方便游客观赏湖面盛开的睡莲和湖里游动的锦鲤，唐山南湖公园拟修建观景栈桥．规划如图所示，为规划区域，面积为万平方米，，，，是四条观景木栈桥，其中，，，为观景玻璃栈桥，则的最小值（单位：百米）为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】中，设，，由，， 可得，即，所以． 因为，所以， 由，得，即，整理得， 因为， 所以， 而，所以，当且仅当时，即，时，等号成立． 因此，当，时，的最小值为，即的最小值为百米． 故选：C． 8．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．若，，，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D． 【答案】BD 【详解】对于A：当，时，满足且，但，故A错误； 对于B：因为且， 所以，故，故B正确； 对于C：因为，所以，即，故C错误； 对于D：因为， 所以，故D正确． 故选：BD． 10．设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【答案】CD 【详解】A项，若是互斥事件，不可能同时发生， ，故A错误； B项，若，则，则，故B错误； C项，若相互独立，则， 所以，故C正确； D项，由，且事件互斥，则, 若， 则， 又，，故相互独立，故D正确. 故选：CD. 11．函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数为周期函数 【答案】AB 【详解】令，则， ，而，故A对； ，即， 所以是周期函数，1是一个周期， 设是函数一个周期， 即，所以， 故函数的周期为整数，而1是最小的正整数，故的最小正周期为1， 根据图象的伸缩变换，的图象是由图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，所以函数的最小正周期为，故B对； 由，所以的值域为， 而，又， 即函数的值域为，故C错； 当时，，所以， 当时，，，所以， ， 随增大而增大 故不是周期函数，故D错 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则 . 【答案】 【详解】在中，由余弦定理可得：， 即，又，所以. 因为，平分，所以，所以. 在中，因为，所以. 因为，所以， 所以. 故答案为： 14．在三棱锥中，平面平面是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，，则该三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【详解】 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，则点是的外心， 故三棱锥的外接球球心必满足平面，因平面，故. 又平面平面且平面平面，故点在平面内， 过点作，交于，则点在上. 因，, 则，于是, 设三棱锥的外接球半径为，， 在中，由余弦定理，， 在中，， 联立两方程，解得，则， 故该三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球体积，属于较难题. 解题的思路是从选底面入手，证明外接球球心在底面上的投影即点，接着通过边和角的计算，借助于和，建立外接球半径的两个方程，解之即得. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）已知复数满足，求； （2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，可设，则，所以. 所以. （2）由题意：. 所以所求的取值范围为：. 16．（15分）如图，边长为6的正中，点D在边上，且，点M在线段上． (1)若，求的值； (2)若，求x及的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）∵，而， ∴，则即为所求． （2）∵，得，∴， 又∵，∴， ∵M、B、D三点共线，∴，则即为所求x的值． 则，∴， ∴， ∴， 同理可求：， ∴， ∴即为所求． 17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 【答案】(1)，75 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由频率分布直方图有， 解得， 因为，， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； （2）设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，，， 所以有，，， （i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则， 所以 ， 解得：. 18．（17分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，，D为BC的中点，求AD的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），即． 即,也即 由余弦定理可得，由，故 （2）由，，由余弦定理可得： 解得：，所以 （3）由余弦定理可得：，解得 又D为BC的中点，则 两边平方可得： 所以AD的长 19．（17分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. (1)求证:平面MCD; (2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点， 所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面， 由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故， 又平面平面MCD，因此平面MCD； （2）连接AC，BD交于点，则为平行四边形ABCD的中心， 又， 则等腰中，根据三线合一，有， 又，平面， 故平面， 设， 则， ， ， 相加并整理得，① 在Rt，Rt中，有， 即，（2），，③ 解方程组①②③得，， 故， 于是， 在中，是PC中点， 故， 于是， 设点A到平面PBC的距离为，由，得， 故， 故所求线面角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$