1.4.1 充分条件与必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章《集合与常用逻辑用语》 1.4.1 充分条件与必要条件 学习目标 1、正确理解充分条件、必要条件的意义； 2、理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件的关系； 3、通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的思维能力. 重点: 充分条件、必要条件的意义. 难点: 对必要条件的意义的理解. 复习回顾 上节课我们学习了哪些主要内容？ 1. 并集、交集、全集和补集的概念； 2. 并集、交集的运算性质； 3. 有关补集的综合运算； 新知导入 问题1 在初中，我们已经学习过命题，一起回忆什么是命题？ 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 1. 命题： 判断为真的语句叫做真命题； 判断为假的语句叫做假命题. 2. 分类： 3. 结构： “若，则”、“如果，那么”、“只要，就有”等. 其中称为命题的条件, 称为命题的结论. 命题的真假判断 (1) 若a，b是无理数，则a+b是无理数. (2) 若x+y是有理数，则x，y都是有理数 . (4) 5≥5． (3) 若整数a是质数，则a是奇数. (5) 9是2的倍数吗？ [练习1] 先判断下列是否为命题，再判定命题的真假： （假） （假） （真） （假） a=2是质数，但2是偶数 不是命题 说明: 数学中要判断一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判断一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可. 本节课我们一起探讨“若,则”这种形式的命题，我们主要考察命题中和的关系，学习数学中的三个常用逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. 新知探究1：充分条件与必要条件 (4) 若平面内的两条直线和均垂直于直线,则. (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形的是菱形. (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等. 问题2 下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (3) 若，则; （真） （真） （假） 由条件通过推理可以得出结论 （假） 在命题（1）（4）中： 在命题（2）（3）中： 由条件不能得出结论 新知1：充分条件与必要条件 一般地，“若，则” 为真命题，是指由通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件． 如果“若,则”为假命题，那么由条件不能推出结论. 记作, 此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件. 知识点1： 充分条件与必要条件 典例剖析 ▲ ：是的充分条件，是的必要条件. [练习2]下列“若，则”形式命题中，哪些命题中是的充分条件？ （1）若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若，则； （3）若，则 p⇒q? （真命题） （假命题） （真命题） ，但 3)由等式的性质知，，所以是的充分条件. 典例剖析 ▲ ：是的充分条件，是的必要条件. [练习3]下列“若，则”形式命题中，哪些命题中是的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别平行； （2）若，则； （3）若，则 p⇒q? （真命题） （假命题） （真命题） 显然 (3)由于=，但，所以不是的必要条件. (1)这是平行四边形的一条性质定理，，所以是的必要条件. 归纳总结 1. 是的充分条件的前提是命题“若,则”为真命题. 3. 举反例是判定一个命题是假命题的重要方法. 2. 是的必要条件的前提是命题“若,则”为真命题. ▲ ：是的充分条件，是的必要条件. 新知探究2：判定定理与充分条件的关系 问题3 对于命题“若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形”，给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这是一条平行四边形的判定定理，，所以是的充分条件.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 显然这样的充分条件是不唯一的，比如还有： 四边形的两条对角线互相平分. 四边形的两组对边分别相等； 四边形的一组对边平行且相等； 四边形的两组对边分别平行； 新知2：判定定理与充分条件的关系 ③ 若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形； ④ 若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ⑤ 若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形. 因此，我们可以得到以下5个命题 事实上，上述命题①②③④⑤均是平行四边形的判定定理. ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； 结论1： 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 新知探究3：性质定理与必要条件的关系 问题4 命题“若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别平行”，给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对边分别平行”.这是平行四边形的一条性质定理，，所以是的必要条件.这样的必要条件是唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个其他必要条件吗？ 显然这样的必要条件是不唯一的，比如还有： 四边形的两条对角线互相平分. 四边形的两组对边分别相等； 四边形的一组对边平行且相等； 四边形的两组对边分别平行； 新知3：性质定理与必要条件的关系 因此，我们还可以得到以下5个命题 ③ 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ④若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等； ⑤若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分等. 事实上，上述命题①②③④⑤均是平行四边形的性质定理. ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； ②若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别平行； 结论2： 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 归纳总结 ▲ ：是的充分条件，是的必要条件 [注] 是的充分条件：是指条件可推出结论， 不意味着只有条件可推出结论， [注] 是的必要条件：是指条件可推出结论， 不意味着条件只能推出结论， 即：对给定条件，由可以推出的结论是不唯一的. 即：对给定结论，使得成立的条件是不唯一的. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1、充分条件和必要条件； 2、判别步骤： 3、判别技巧． 给出p、q，先判断“p⇒q”的真假，然后再下结论 否定命题时举反例是重要的手段. 若p⇒q，则p是q的充分条件， q是p的必要条件. FIGHTING $$