精品解析：浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高二下学期期中数学试题

诸暨中学暨阳分校2023-2024学年第二学期期中考试 高二数学试题 本试题卷满分150分. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（ ） A. 1 B. 1.1 C. 0.9 D. 1.15 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归直线必过样本中心点求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：A 2. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A． 3. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故A错误； 对于B，和的定义域都为R，且，对应关系一致，故B正确； 对于C，和的对应关系不一致，故C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故D错误. 故选：B. 4. 已知事件A与B独立，当时，若，则（ ） A. 0.34 B. 0.68 C. 0.32 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由独立事件的定义直接判断. 【详解】因为事件A与B独立， ， 所以， 则. 故选：C 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 6. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件分别可得函数的对称中心，对称轴以及周期，即可得到结果. 【详解】因为为奇函数，所以，即有， 所以函数的图像关于点对称． 因为是偶函数，所以，所以函数的图像关于直线对称， 所以，所以，所以函数的周期为4， 所以，， 无法确定其值，ABD无法确定，故C正确， 故选：C． 7. 甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组．已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（ ） A. 45种 B. 81种 C. 90种 D. 162种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意4个兴趣小组中必有两个2人选，两个1人选，根据2人选的小组是同样的两个人还是三人分两种情况，由分类加法计数原理列式计算. 【详解】根据题意，4个兴趣小组中必有两个2人选，两个1人选， 根据2人选的小组是同样的两个人还是3人分两种情况： 当2人选的小组是同样的两个人时，有种选法； 当2人选的小组是由3人构成时，有种选法； 所以不同的报名参加方式有种选法. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是抓住4个兴趣小组中必有两个2人选，两个1人选，再根据2人选的小组是同样的两个人还是三人分两种情况，由分类加法计数原理计算. 8. 定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意实数，有.则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】由， 可得， 当时，，则，A选项错误； 由二项式定理可得，，B选项错误； 当时，， 即，C选项正确； 当时，， 即，D选项正确. 故选：CD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质可判断A；方差的性质可判断B；超几何分布定义可判断C；随机变量的分布列的性质可判断D. 【详解】对于A，，根据正态分布的性质，，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，可取，则，所以选出的女生个数X服从超几何分布，故C正确； 对于D，由题意可得，得，可得，解得， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D； 【详解】，且，， 对于A，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D， 利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， ，，故D错误； 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，得， 故常数项为． 故答案为：. 【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项，属基础题. 13. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】前三局，乙获胜一场，计算得到概率. 【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故 故答案为： 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力. 14. 若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的“倒值区间”为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可求出当的解析式，根据函数的单调性结合倒置区间的定义建立方程进行求解即可． 【详解】若，则，则， 由是奇函数，则，则，即，， 若，则满足，此时，而，此时方程的不成立， 若，时，函数的最大值为，此时应该，此时与矛盾， 则必有，此时函数为减函数，则， 整理得，解得，， 即在上的“倒值区间”为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 4名男生和3名女生站成一排． （1）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ （2）甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？ （3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【答案】（1）240种 （2）960种 （3）840种 【解析】 【分析】（1）由特殊元素优先法，即可得到结果； （2）由捆绑法即可得到结果； （3）由倍缩法即可得到结果； 【小问1详解】 （种） 甲、乙两人必须站在两端的站法有240种． 【小问2详解】 （种） 甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种． 【小问3详解】 （种） 甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种． 16. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 （1）确定函数的解析式； （2）判断在定义域上的单调性（不用证明），并解不等式. 【答案】（1）， （2）在上是增函数， 【解析】 【分析】（1）根据奇函数得，以及即可求解，； （2）根据单调性定义求解为增函数，进而结合奇偶性即可求解. 【小问1详解】 由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数， 则，解得，由，得，解得，即， 此时，即函数是奇函数， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，，， 则， 由，得，，则，即， 所以函数在上是增函数. 因为函数是上的增函数，且是奇函数， 不等式， 因此，解，得或， 解，得，从而， 所以原不等式的解集为． 17. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出的值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】（1）， （2）当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 18. 某企业为激发员工的工作热情，年终对职工进行绩效考核，按绩效发放年终奖，将评价结果采用百分制进行了初评，并根据员工得分绘制出下面的频率分布直方图，评分在区间直接定为优秀，评分在区间，，，分别对应为良好、合格、不合格．然后又对良好、合格、不合格的员工再进行一次复评．在复评中，原来评为良好、合格、不合格员工都有的概率提升一级，分别变为优秀、良好、合格，不晋级则保留原等级，每位员工的复评结果相互独立． （1）估计该企业初评成绩的中位数；（结果精确到0.1） （2）在初评中甲、乙、丙三人分别获得良好、合格、合格，记三人复评后为良好等级的人数为，求的分布列和数学期望； （3）从全体员工中任选1人，求在已知该员工是复评后晋级的条件下，初评是合格的概率． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）首先判断中位数位于之间，设中位数为，列出方程，解得即可； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以中位数位于之间，设中位数为，则， 解得. 【小问2详解】 依题意可得的可能取值为，，，， ，， ，， ∴的分布列如下： 0 1 2 3 所以． 【小问3详解】 由频率分布直方图可知员工考核是良好的频率为， 合格的频率为， 不合格的频率为， 记事件为“该员工复评晋级”，事件为“该员工初评是合格”， 则． 19. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了，两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为，.为测试AI软件的识别能力，计划采用以下两种测试方案. 方案一：将100首音乐随机分配给，两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果； 方案二：对同一首歌，，两组分别识别2次，如果识别的正确次数之和不小于3，那么称该次测试通过. （1）若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐首数之和占总数的；在正确识别的音乐中组占；在错误识别的音乐中组占. （ⅰ）请根据以上数据填写下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析识别音乐是否正确与软件类型是否有关联？ 单位：首 软件类型 识别音乐是否正确 合计 正确 错误 组的AI软件 组的AI软件 合计 100 （ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，将频率视为概率，求方案二在一次测试中通过的概率. （2）研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的均值为16？并求此时，的值. 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）（ⅰ）列联表见解析，没有；（ⅱ） （2）27次， 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据题意得二联表，即可计算卡方值，与临界值比较即可作答， （ⅱ）由独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）根据独立事件概率乘法公式可方案二每次测试通过的概率，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 （ⅰ）依题意得列联表如下： 正确识别 错误识别 合计 组软件 40 20 60 组软件 20 20 40 合计 60 40 100 因为， 且， 所以没有的把握认为软件类型和是否正确识别有关； （ⅱ）由（ⅰ）得，， 故方案二在一次测试中通过的概率为 ； 【小问2详解】 方案二每次测试通过的概率为 ， 所以当时，取到到最大值， 又，此时， 因为每次测试都是独立事件， 故次实验测试通过的次数，期望值， 因为，所以 所以测试至少27次，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸暨中学暨阳分校2023-2024学年第二学期期中考试 高二数学试题 本试题卷满分150分. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（ ） A. 1 B. 1.1 C. 0.9 D. 1.15 2. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A. B. C. D. 3. 下列选项中，表示的是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件A与B独立，当时，若，则（ ） A. 0.34 B. 0.68 C. 0.32 D. 1 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组．已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（ ） A. 45种 B. 81种 C. 90种 D. 162种 8. 定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对任意实数，有.则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布 D. 已知随机变量的分布列为，则 11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）． 13. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为______． 14. 若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的“倒值区间”为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 4名男生和3名女生站成一排． （1）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ （2）甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？ （3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 16. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 （1）确定函数的解析式； （2）判断在定义域上的单调性（不用证明），并解不等式. 17. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出的值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 18. 某企业为激发员工的工作热情，年终对职工进行绩效考核，按绩效发放年终奖，将评价结果采用百分制进行了初评，并根据员工得分绘制出下面的频率分布直方图，评分在区间直接定为优秀，评分在区间，，，分别对应为良好、合格、不合格．然后又对良好、合格、不合格的员工再进行一次复评．在复评中，原来评为良好、合格、不合格员工都有的概率提升一级，分别变为优秀、良好、合格，不晋级则保留原等级，每位员工的复评结果相互独立． （1）估计该企业初评成绩的中位数；（结果精确到0.1） （2）在初评中甲、乙、丙三人分别获得良好、合格、合格，记三人复评后为良好等级的人数为，求的分布列和数学期望； （3）从全体员工中任选1人，求在已知该员工是复评后晋级的条件下，初评是合格的概率． 19. 人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了，两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为，.为测试AI软件的识别能力，计划采用以下两种测试方案. 方案一：将100首音乐随机分配给，两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果； 方案二：对同一首歌，，两组分别识别2次，如果识别的正确次数之和不小于3，那么称该次测试通过. （1）若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐首数之和占总数的；在正确识别的音乐中组占；在错误识别的音乐中组占. （ⅰ）请根据以上数据填写下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析识别音乐是否正确与软件类型是否有关联？ 单位：首 软件类型 识别音乐是否正确 合计 正确 错误 组的AI软件 组的AI软件 合计 100 （ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，将频率视为概率，求方案二在一次测试中通过的概率. （2）研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的均值为16？并求此时，的值. 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $