小升初典型奥数：多次相遇问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

多次相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话:同学们,恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅,相信你已经正确规划了自己的学习任务,本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计,针对小升初的高频知识点进行全面精讲,易错点逐个分解,强化练习高频易错真题,答案解析非常通俗易懂,可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题! 2024年8月 目录导航 资料说明 第一部分:知识精讲:把握知识要点,掌握方法技巧,理解数学本质,提升数学思维。 第二部分:典型例题:选题典型、高频易错、考试母题,具有理解一题,掌握一类的优势。 第三部分:高频真题:精选近两年统考真题,助您学习有方向,做好题,达到事半功倍的效果。 第四部分:答案解析:重点、难点题精细化解析,犹如名师讲解,可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 多次相遇的基本公式和方法计算: 距离、速度、时间这三个量之间的关系,可以用下面的公式来表示:距离=速度 时间.显然,知道其中的两个量,就可以求出第三个量. 还可以发现:当时间相同时,路程和速度成正比;当速度相同时,路程和时间成正比;当路程相同时,速度和时间成反比.也就是说:设甲、乙两个人,所走的路程分别为S甲、S乙;速度分别为V甲、V乙;所用时间分别为T甲、T乙时,由于S甲=V甲 T甲,S乙=V乙 T乙,有如下关系: (1)当时间相同即T甲=T乙时,有S甲:S乙=V甲:V乙; (2)当速度相同即V甲=V乙时,有S甲:S乙=T甲:T乙; (3)当路程相同即S甲=S乙时,有V甲:V乙=T乙:T甲. 在多次相遇、追及问题中,用比例方法来解往往能收到很好的效果. 第二部分 典型例题 例题1:小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回),他们在离甲村3.5千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)? 【答案】1千米. 【详解】画示意图如下. 第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍,因此张走:3.5 3=10.5(千米) 从图上可看出,第二次相遇处离乙村2千米.因此,甲、乙两村距离:10.5-2=8.5(千米) 每次要再相遇,两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时,两人已共同走了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了:3.5 7=24.5(千米) 24.5=8.5+8.5+7.5(千米) 就知道第四次相遇处,离乙村8.5-7.5=1(千米) 答:第四次相遇地点离乙村1千米. 例题2:A、B、C三位好朋友沿着小区的环形跑道匀速慢跑锻炼,他们同时从跑道一固定点出发,B、C两人同向,A与B、C反向。A在第一次遇上B后1.5分钟第一次遇上C,再经过2.5分钟第二次遇上B。已知A的速度与B的速度的比是3∶2,环形跑道的周长是1100米,求B、C两人的速度每分钟各是多少米。 【答案】B:110米/分;C:35米/分 【分析】A在第一次遇上B后1.5分钟第一次遇上C,再经过2.5分钟第二次遇上B。则A与B跑一圈的时间是1.5+2.5=4(分钟),于是可以求出A、B的速度和是1100 (1.5+2.5)=275(米/分)。再根据A的速度与B的速度的比是3∶2,求出A的速度与B的速度。A和C跑一圈的时间是1.5+2.5+1.5=5.5(分钟),这样可以求出A和C的速度和,进而求出C的速度。 【详解】A、B的速度和:1100 (1.5+2.5)=275(米/分) A的速度:275 =165(米/分) B的速度:275 =110(米/分) C的速度:1100 (1.5+2.5+1.5)-165=35(米/分) 【点睛】本题考查了按比例分配应用题及简单的行程问题。 例题3:甲、乙两车同时从东城出发,开往相距750千米的西城,甲车每小时行68千米,乙车每小时行57千米,甲车到达西城后立刻返回.两车从出发到相遇一共经过多长时间? 【答案】12小时 【分析】甲车到达西城后返回与乙车相遇时,两车一共走了2个全程. 【详解】750 2 (68+57) =1500 125 =12(小时) 答:两车从出发到相遇一共经过12小时. 例题4:铁路旁一条小路,一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去,8点时追上向南行走的一名军人,15秒后离他而去,8点6分迎面遇到一个向北行走的农民,12秒后离开这个农民,问:军人与农民何时相遇? 【答案】8点30分 【分析】涉及火车的行程问题中,火车的长度不能忽略,解题关键是找出15秒(12秒)内,火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。 【详解】火车速度:30 1000 60=500(米/分) 火车速度与军人速度的差为:110 (15 60)=440(米/分) 军人的速度:500-440==60(米/分) 农民的速度:110 (12 60)-500=50(米/分) 8点时火车头与农民的距离为:(500+50) 6=3300(米) 军人与农民相遇:3300 (60+50)=30(分) 此时的时间为8点30分。 答:军人与农民8点30分相遇。 【点睛】1、此题中有着三个基本问题。火车追及军人,火车农民相遇,军人和农民相遇,找到三者之间的关系就是解决题目的关键。 例题5:甲、乙两人在相距90米的直路上来回的跑步,甲的速度是每秒钟3米,乙的速度是每秒钟2米,如果他们分别在直路的两端出发,跑了12分钟,共相遇多少次? 2、解决行程问题的关键是三步: a:正确画出示意图; b:把复杂的行程问题分解为每一个基本的相遇或追及问题; c:找到这些相遇或追及问题之间的数量关系,包括路程关系,时间关系与速度关系。 【答案】20次 【分析】12分钟=720秒,两人的速度和是3+2=5米,720 5=3600米,也就是两个人一共走了3600米,相当于3600 90=40个全程.两人相向而行第一次相遇时行了一个全程,之后每两个全程相遇一次,所以,第1个全程相遇1次,后面39个全程相遇19次,总共20次. 【详解】12分钟=720秒 (3+2) 720 =5 720 =3600(米) 3600 90=40 (40-1) 2=19……1 19+1=20(次) 答:跑了12分钟共相遇20次. 第三部分 高频真题 1.有一辆火车以每小时 15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约,另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶.如果有一只鸟,以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动,从洛杉矶出发,碰到另一辆车后返回,依次在两辆火车来回飞行,直到两辆火车相遇,请问,这只小鸟飞行了多长距离? 2.环形跑道400米,小百小合背向而行,小百6米/秒,小合4米/秒,当小百正面和小合相遇时,立刻转向跑.当小百追上小合时,小合立即转向跑,两人第11次碰头时离起点多少米?(按较短计算) 3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地7千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地5千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离? 4.甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发,沿同一山道行进.两人的上山速度都是米/分,下山的速度都是米/分.甲到达山脚立即返回,乙到达山顶休息分钟后返回,两人在距山顶米处再次相遇.山道长多少米? 5.赵老师和王老师每天早晨都要在长600米的一条路上练习长跑,赵老师每分钟跑110米,王老师每分钟跑90米,他们每天都是分别从路的两端出发,跑到另一端后再返回继续跑.他们第二次相遇时,已经跑了几分钟? 6.李想和朱朱两人同时分别从甲、乙两地相对出发,各自到达对方地点后立即返回,两人第二次相遇时,李想比朱朱多行了210米。求李想、朱朱第一次相遇的地点距离中点多少米? 7.电子游戏《保卫家园》中有两个警卫兵每天在乐乐家门前一条长20厘米的路上巡逻,大警卫每秒走0.5厘米,小警卫每秒走0.3厘米,每天早晨俩人同时从路的两段相向走来,走到对方出发地点再向后转接着走.当他们第三次相遇时,大警卫走了多少厘米? 8.一条公路上顺次分布着A、B、C、D、E五个休息区,其中C恰好处于AE中点,而AB段由于道路泥泞,车速在此均只能降低到原来的一半,甲、乙两车分别在A、E两地同时出发相向而行,在C点第一次相遇,之后分别到达对方出发点并调头继续行驶,在B处第二次相遇。若AB段长度为90km,则AE全长为多少km? 9.从花城到太阳城的公路长12公里.在该路的 2千米处有个铁道路口,是每关闭 3分钟又开放 3分钟的.还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯,每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯.小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城,出发时道口刚刚关闭,而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯.已知电动车速度是常数,小糊涂既不刹车也不加速,那么在不违反交通规则的情况下,他到达太阳城最快需要多少分钟? 10.快车和慢车分别从A,B两地同时开出,相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时,慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问:两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间? 11.甲、乙两车分别同时从、两地相对开出,第一次在离地90千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离地30千米处相遇.求、两地间的距离? 12.甲、乙两列火车同时分别从A、B两地相对开出,甲车的速度是58千米/小时,乙车的速度是46千米/小时,甲、乙两车相遇后继续前进,甲到达B地,乙到达A地后,立即按原路返回,两车从开始到第二次相遇共用9小时,求A、B两地相距多少千米? 13.、两地间有条公路,甲从地出发,步行到地,乙骑摩托车从地出发,不停地往返于、两地之间,他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问:当甲到达地时,乙追上甲几次? 14.甲、乙二人相距2000米,两人同时从两地相向而行.甲分钟走60米,乙每分钟走40米,甲带着一只狗,同甲一起出发,狗每分钟走100米,碰到乙时狗立即调头往甲的方向走,碰到甲时又立即调头向乙的方向走,如此继续往返,当甲和乙相遇时,这只狗一共走了多少米? 15.李明和王华步行同时从A、B两地出发,相向而行,第一次在距离A地520米处相遇,相遇后继续前进,到对方出发点后立即原速返回,第二次在距离A地440米处相遇,计算A、B两地之间距离. 16.李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到.半小时后,营地老师闻讯前往迎接,每小时比李华多走1.2千米.又过了1.5小时,张明从学校骑车去营地报到.结果三人同时在途中某地相遇.问骑车人每小时行驶多少千米? 17.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地80千米处相遇,相遇后两车继续前进,甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回,第二次在距B地60千米处相遇.求A、B两地间的路程. 18.甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行,两人在离A地90米处第一次相遇,相遇后两人仍以原速继续行驶,并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回,途中两人在距B地70米处第二次相遇.两人从第一次相遇到第二次相遇恰好经过了5分钟,甲、乙两人的速度是多少? 19.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行45千米,乙车每小时行36千米,已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米,则A、B相距多少千米? 20.甲、乙两辆汽车同时分别从、两地相对开出,甲车每小时行千米,乙车每小时行千米.甲、乙两车第一次相遇后继续前进,甲、乙两车各自到达、两地后, 立即按原路原速返回.两车从开始到第二次相遇共用小时.求、两地的距离? 21.甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出(甲从A地,乙从B地),第一次相遇后两车继续前进,第二次相遇时乙车离A地120千米,已知甲、乙两车速度比为5∶4,求AB两地路程。 22.甲,乙两人在一条长100米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇多少次? 23.小华和小明同时从甲、乙两城相向而行,在离甲城85千米处相遇,到达对方城市后立即以原速沿原路返回,又在离甲城35千米处相遇,两城相距多少千米? 24.甲、乙分别从A和B两地同时出发,相向而行,往返运动。两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇,相遇后,两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇。若甲速度提升一倍,那么当甲第一次走到D处时,乙恰好第一次走到了C处,已知CD之间距离为60千米,则从A地到B地的全程为多少千米? 25.小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行,两人在离甲地40米处第一次相遇,相遇后两人仍以原速继续行驶,并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回,途中两人在距乙地15米处第二次相遇.甲、乙两地相距多少米? 26.甲、乙、丙三车同时从地出发到地去.甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米.有一辆卡车同时从地迎面开来,分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,求丙车的速度. 27.小王和小李同时从东、西两村出发,相向而行,当他们第一次相遇时,离开东村1.8千米,然后他们各以原速继续前进,小王到达西村后立即返回,小李到达东村后也立即返回,当他们第二次相遇时,相遇点离开西村1.2千米,那么东西二村相距多少千米? 28.A,B两地相距540千米.甲、乙两车往返行驶于A,B两地之间,都是到达一地之后立即返回,乙车较甲车快.设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地.那么到两车第三次相遇为止,乙车共走了多少千米? 29.甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走,甲每分比乙多走10米,比丙多走31米.上午9点三人同时从学校出发,上午10点甲到达体育场后立即返回学校,在距体育场310米处遇到乙. 问:(1)从学校到体育场的距离是多少? (2)甲与丙何时相遇(精确到秒)? 30.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,他们在距中点160米处相遇。出发时,甲看了下手表,当时是下午六点多,时针与分针的夹角为;相遇时,甲又看了下手表,还没有到下午七点,但时针与分针的夹角仍然为。如果甲出发后在途中某地停留了一段时间,两人还是在距中点160米处相遇,且已知甲的速度为80米/分钟,问甲在途中停留了多少分钟? 31.快、慢两车同时从甲、乙两车站迎面开来,快车每小时行驶100km,慢车每小时行驶65km.两车到达车站后立即往回开,第二次相遇时快车比慢车多行驶了210km.求甲、乙两车站间的距离. 32.甲、乙两车同时从同一点出发,沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶.甲车每小时行驶65千米,乙车每小时行驶55千米.一旦两车迎面相遇,则乙车立刻调头;一旦甲车从后面追上乙车,则甲车立刻调头,那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米?(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇) 33.客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出,第一次相遇在离甲站40千米的地方,相遇后两车仍以原速度继续前进.客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回,结果它们又在离乙站20千米的地方相遇.求甲、乙两站之间的距离. 34.一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出,两车在途中距A地60千米处第一次相遇,然后两车继续前进,卡车到达B地,摩托车到达A地后都立即返回,两车又在途中距B地30千米处第二次相遇。A、B两地之间的距离是多少千米? 35.甲、乙两车同时从相距300km的两站相向开出,到达对方站后立即返回.经过5小时甲、乙两车在途中相遇,相遇时甲车比乙车多行驶了120km.求两车的速度. 36.一口枯井,一只蜗牛上午9时从井底开始爬向井口,在井口停30分钟又从井口爬到井底,停留30分钟后,又从井底爬到井口,……,如此不断地爬上爬下,每爬一个单程都用45分钟。另有一只蚂蚁,上午9时从井底出发沿井壁不间断地上下爬行,如果它每爬行一个单程都用15分钟,那么,到当日下午4时,它们一共相遇了多少次(不包括开始的一次)? 37.大宝和小宝两人同时分别从甲、乙两地相对出发,各自到达对方地点后立即返回,第一次相遇时大宝比小宝多走了80米,求第二次相遇地点距离中点多少米? 38.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距B地68千米处相遇,两车各自到达对方车站后,立即返回原地,途中又在距A地52千米处相遇。求两次相遇地点之间的距离。 39. A、 B 两地相距 950 米.甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时.甲步行,每分钟走 40 米;乙跑步,每分钟行 150 米.则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近? 40.甲、乙、丙三人,甲每分钟走20米,乙每分钟走22.5米,丙每分钟走25米。甲、乙从东镇,丙从西镇,同时相向出发,丙遇乙后10分钟再遇甲,求两镇相距多少米? 参考答案: 1.6d/7 【详解】设总距离为d,总共用时d/(15+20),两车相遇,所以鸟飞了30*d/(15+20)=6d/7. 2.160米 3.4千米 【分析】甲乙第一次相遇地点离A地7千米,即甲行了7千米。第二次相遇时,两人一共行了3个全程。则每行一个全程,甲就行了7千米,此时甲一共行了7 3=21(千米);距B地5千米处第二次相遇,用甲一共行的全程减去5千米就是A、B两地的距离,用两地的距离减去7千米再减去5千米,就是两次相遇地点之间的距离,可据此解答。 【详解】3 7-5 =21-5 =16(千米) 16-7-5 =9-5 =4(千米) 答:两次相遇地点之间的距离是4千米。 【点睛】本题关键是明确两人一共行了3个全程,而每行一个全程,甲就行了7千米。 4.2100米 【详解】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走(分钟)后可以返回山顶,如果乙不休息,那么这个时候乙应该到达山脚,所以这个时候乙还需要分钟到达山脚,也就是距离山脚还有(米),所以山顶到山脚的距离为(米). 5.9分钟 【详解】600 3 (110+90) =1800 200 =9(分钟) 答:他们第二次相遇时,已经跑了9分钟. 6.35米 【分析】两人从出发到第一次相遇共走了1个全程,从出发到第二次相遇共走了3个全程,所以第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍;根据题意,两人第二次相遇时,李想比朱朱多行了210米,所以,第一次相遇时,李想比朱朱多行了210 3=70(米),第一次相遇的路程差是相遇点到中点距离的2倍,据此计算得解。 【详解】210 3 2=35(米) 答:李想、朱朱第一次相遇的地点距离中点35米。 【点睛】本题考查二次相遇问题,关键是理解并掌握:二次相遇路程差 3=一次相遇路程差,一次相遇距中点距离 2=一次相遇路程差,通过画线段图有助于理解题意,本题也可列方程求解。 7.62.5厘米 【分析】第一次相遇,两人共同走了一个全长;从第二次相遇到第三次相遇,两人又走了两个全长,从开始到第三次相遇,两人共走了5个全长,5个全长除以速度和求出相遇时间是20 5 (0.5+0.3)=125秒,再乘大警卫的速度就是所求. 【详解】解:20 5 (0.5+0.3) 0.5 =100 0.8 0.5 =125 0.5 =62.5(厘米) 答:当他们第三次相遇时,大警卫走了62.5厘米. 8.540km 【分析】根据题意,车速在AB段降为一半,如果不降速的话,那么汽车在AB段所花费的时间可以行驶2个AB的路程,因此,我们假设不降速行驶,延长BA到M(如图),使AM=AB=90km;两车在C点第一次相遇,此时两车共同行驶了一个ME,甲车行驶的路程为MC,乙车行驶的路程为CE,又因为C是AE的中点,所以AC=CE,由此可知第一次相遇时甲车比乙车多行驶的路程为AM=90km;从第一次相遇到第二次相遇,两车共同行驶了2个ME,甲车比乙车多行驶的路程为BC=2AM=2 90=180km,AC=AB+BC=90+180=270km,因此AE=2AC=270 2=540km。 【详解】假设在AB段不降速行驶,则同一时间行驶的路程是AB的2倍,延长BA至M,使AM=AB=90km, 因为C是AE的中点,所以AC=AE, 第一次相遇于C点,甲车比乙车多行驶AM=90(km), 第一次相遇到第二次相遇,甲车比乙车多行驶BC=90 2=180(km), 所以AC=AB+BC=90+180=270km, AE=2AC=270 2=540km。 答:AE全长为540km。 【点睛】本题考查涉及变速的二次相遇问题,关键是将问题转化不降速处理,得出两车第一次相遇的路程差,第二次和第一次相遇点的距离是第一次相遇两车路程差的2倍。 9.24 【详解】画出反映交通灯红绿情况的 s t-图,可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可以是 0.5 千米/分钟,此时恰好经过第 6千米的红绿灯由红转绿的点,所以他到达太阳城最快需要 24分钟. 10.10小时48分 【分析】画一张示意图: 设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时,从C到A用了12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位,C到A15个单位.慢车每小时走2个单位,快车每小时走3个单位. 有了上面“取单位”准备后,下面很易计算了. 【详解】由分析可知,慢车从C到A,再加停留半小时,共8小时. 此时快车行驶7小时,共行驶3 7=21(单位). 从B到C再往前一个单位到D点,离A点15-1=14(单位). 现在慢车从A,快车从D,同时出发共同行走14单位,相遇所需时间是14 (2+3)=2.8(小时). 慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5+0.5+2.8=10.8(小时). 答:从第一相遇到再相遇共需10小时48分. 11.240千米 【详解】第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时,甲车行了90千米,当它们共行三个、两地间的距离时,甲车就行了3个90千米,即(千米),而这270千米比一个、两地间的距离多30千米,可得:(千米). 12.312千米 【分析】甲、乙两车从开始出发到第一次相遇共同行完一个A、B间的路程,当甲到达B地,乙到达A地时,共同行完两个A、B间的路程.甲、乙分别从B地、A地返回到第二次相遇时,又共同行完一个A、B间的路程,则从开始到两车第二次相遇,9个小时,两车共同行驶了A、B间路程的3倍. 【详解】甲、乙两车的速度和:58+46=104(千米/小时) 3个A、B间的路程:104 9=936(千米) A、B间的距离:936 3=312(千米) 答:A、B两地相距312千米. 13.4次 【分析】 由上图容易看出:在第一次相遇与第一次追上之间,乙在100-80=20(分钟)内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度,即等于甲在(80+100)分钟内所走的路程,因此,乙的速度是甲的9倍(180 20),则的长为的9倍,所以,甲从到,共需走80 (1+9)=800(分钟)乙第一次追上甲时,所用的时间为100分钟,且与甲的路程差为一个全程。从第一次追上甲时开始,乙每次追上甲的路程差就是两个全程,因此,追及时间也变为200分钟(100 2),所以,在甲从到的800分钟内,乙共有4次追上甲,即在第100分钟,300分钟,500分钟和700分钟。 【详解】有题意可知:走相同距离的路程,甲和乙所需时间比: (80+100)∶(100-80)=180∶20=9∶1 所以,甲和乙的速度比是 (100-80)∶(80+100)=20∶180=1∶9 即,甲走一个全程,乙走9个全程,甲行完一个全程,乙行9个全程。第一次是相遇,第二次是追上,..., 所以共相遇5次,追上4次。 答:乙追上甲4次。 【点睛】本题是一道比较复杂的行程问题,计算出乙和甲第一次相遇时间,由乙的速度是甲的9倍,来求出甲从A到B的800分钟内追击的时间与次数。 14.2000米 【分析】由于甲、乙二人在做相向运动的同时,狗在不停的运动,因此,甲、乙二人的相遇时间就是狗运动的时间,由此,可求出狗所走的路程. 【详解】解:甲、乙二人的相遇时间是:2000 (40+60)=20(分) 所以,狗所走的路程是:100 20=2000(米) 15.1000米 【分析】第一次相遇时,李明和王华一共行了1个全程,其中李明行了520米; 第二次相遇时,李明和王华一共行了3个全程,李明行了520 3=1560米;李明实际行了两个全程少440米.可得AB两地的距离为 (1560+440) 2=1000米. 【详解】(520 3+440) 2 =(1560+440) 2 =2000 2 =1000(米) 答:A、B两地之间距离是1000米. 16.20 【详解】老师出发时,李华已经走了(千米).接下来相遇所需要的时间为(小时).相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算:(千米).所以张明要用小时赶到距离学校10千米处,张明的速度为(千米/时) 17.180千米 【分析】根据题意可画出下面的线段图: 从图中可知,甲、乙两车从同时出发到第二次相遇,共行驶了3个全程,第一次相遇距A地80千米,说明行完一个全程时,甲行了80千米.两车同时出发同时停止,共行了3个全程,说明两车第二次相遇时甲共行了8 3=240(千米),从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米. 【详解】解:80 3-60=180(千米) 答:A、B两地间的路程是180千米. 18.甲的速度为每分钟36米,乙的速度为每分钟44米 【详解】解:A、B间距离:90 3-70=270-70=200(米) 甲的速度:90 (5 2)=90 2.5=36(米) 乙的速度:(200-70+90) 5=220 5=44(米) 答:甲的速度为每分钟36米,乙的速度为每分钟44米. 【点睛】两人第一次相遇时,合行的路程是A、B之间的距离.两人从出发到第二次相遇时,合行的路程是三个A、B之间的距离 ,即从第一次相遇到第二次相遇所行的路程应是从出发到第一次相遇的两倍.因此甲从第一次相遇到第二次相遇所行的时间也是从出发到第一次相遇时间的两倍,所以甲行90米用了5分钟的一半时间. 19.90千米 【分析】将A、B两地的距离看作单位“1”,由甲、乙的速度,可知第一次相遇时,甲、乙的路程比为45∶36=5∶4,甲行了全程的,乙行了全程的;第二次相遇于C点(如图),甲、乙共行了3个全程,甲行了全程的,乙行了全程的,于是AC为全程的;第三次相遇于D点,甲、乙共行了5个全程,甲行了全程的,即甲走了一个来回又从A地走到D点,易知AD为全程的;CD=AD-AC,故CD 全程的,由题意知,CD=40千米,用40千米除以对应分率,即可求出AB。 【详解】在相同时间内甲、乙两车所行路程的比为 45∶36=5∶4 第一次相遇甲行了全程的,乙行了全程的; 如图,第二次两车相遇于C点, 此时,乙行了全程的,AC为全程的; 第三次相遇于D点,甲、乙共行了2 3-1=5个全程, 甲行了全程的,AD为全程的; CD为全程的, 所以全程为40 =90(千米) 答:A、B相距90千米。 【点睛】本题考查多次相遇问题,关键是理解并掌握此类问题的特点:设全程为s,则第n次相遇所走的路程和为(2n-1)s,每个人所走的路程是第一次相遇路程的(2n-1)倍。 20.174千米 【详解】甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个间的路程,第一次相遇后继续前进,各自到、两地后,又共同行完一个间的路程.当甲、乙两车第二次相遇时,又共同行完一个间的路程.因此,甲、乙两车从开始到第二次相遇共行个间的路程.甲、乙速度和:(千米),个间路程:(千米),、相距:(千米). 21.360千米 【分析】由于第二次相遇时,两车共行了3个全程,又甲、乙两车速度比为5∶4,所以第二次相遇时,乙车行了3个全程的,即,即行了一个全程又全程的,第二次相遇时乙车离A地120千米,所以这120千米占全程的,所以全程是千米。 【详解】 =360(千米) 答:AB两地路程是360千米。 【点睛】本题考查二次相遇问题,关键是理解第二次相遇两车行驶的路程是第一次相遇的3倍,然后运用比进行求解。 22.15次 【分析】10分钟两人共跑了:(3+2) 60 10=3000(米),(3000 100=30)个全程。我们知道两人同时从两地相向而行,他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1、3、5、7…29共15次。 【详解】(3+2) 60 10 =5 60 10 =3000(米) 3000 100=30(个) 30 2=15(次) 答:共相遇15次。 【点睛】要明确:在奇数个全程时相遇(不包括追上),是解答此题的关键。 23.145千米 【分析】 从图上可以看出,小华和小明两人第一次相遇时,行了一个全程,小华行了85千米.当小华和小明第二次相遇时,共行了3个全程,这时小华共行了3个85千米,如果再加上35千米,相当于小华行了2个全程,甲乙两地全长也就可以求出来了. 【详解】甲乙出发到第二次相遇时,小华共行: 85 3=255(千米) 甲乙两城相距:( 255+35) 2=290 2=145(千米) 答:两城相距145千米. 24.150千米 【分析】根据题意,两人第一次迎面相遇是在C处,甲速度提升一倍,当甲第一次走到D处时,乙恰好第一次走到了C处,由此可知甲提速一倍走到D处所用的时间与提速前走到C处所用的时间相同,所以甲提速一倍后走到D处的路程是提速前走到C处的路程的2倍,因此AD=2AC=AC+CD,所以AC=CD=60千米,即第一次相遇时,甲走了60千米;从第一次相遇到第二次相遇,甲走的路程是第一次相遇时走的路程的2倍,为60 2=120千米,即CD+2BD=120千米,所以BD=(120-60) 2,进而可求出AB。 【详解】如图,根据题意,甲提速一倍后走到D处所用时间与提速前走到C处所用时间相同, 所以路程也增加一倍,因此AC=CD=60千米, 第一次相遇,甲走了60千米, 第一次相遇到第二次相遇,甲走了60 2=120(千米), 即CD+2BD=120, BD=(120-60) 2 =60 2 =30(千米) 所以AB=AC+CD+BD=60+60+30=150(千米) 答:从A地到B地的全程为150千米。 【点睛】本题考查涉及变速的二次相遇问题,关键理解题意,分析出甲提速一倍后走到D处与提速前走到C出所用时间相同,因此所走路程也增加一倍。 25.105米 【分析】根据题意画图如下 从图中可知,小张、小明两人第一次相遇时,共行的路程即是甲、乙两地之间的距离,这时,小张行了40米.当他们第二次相遇时,小张行了甲、乙间距离还多15米,小明行了两个甲、乙间距离少15米,合起来两个人共行了甲、乙间距离的3倍.因此小张从出发到第二次相遇所行的路程应是他从出发到第一次相遇所行的路程的3倍,即可求出他从出发到第二次相遇所行的路程.又知这段路程比甲、乙间距离多15米,甲、乙间距离就可求出了. 【详解】解:小张从出发到第二次相遇所行的路程:40 3=120(米) 甲、乙间距离:120-15=105(米) 答:甲、乙两地相距105米. 26.39千米/小时 【详解】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程,全程看成是原有草量,卡车速度看成是草匀速减少的速度.所以: 卡车速度为:(千米/时) 全程:(千米) 丙车速度为:(千米/时) 27.4.2千米 【分析】第一次相遇时小王和小李共走完了1个全程。第二次相遇时,小王和小李共走了3个全程。他们第二次相遇所花的时间是它们第一次相遇所花时间的3倍。小王第一次相遇时走了1.8千米,第二次相遇走了1.8 3=5.4(千米),小王一共走的路程是1个全程加相遇点到西村的距离,所以两村相距 5.4-1.2=4.2(千米) 【详解】1.8 3-1.2 =5.4-1.2 =4.2(千米) 答:东西二村相距4.2千米。 【点睛】解答此题的关键是能够明确第二次相遇时两人共行了3个路程,以及小王所行的路程包括哪些部分。 28.2160 【详解】第一次相遇,甲乙总共走了2个全程,第二次相遇,甲乙总共走了4个全程,乙比甲快,相遇又在P点,所以可以根据总结和画图推出:从第一次相遇到第二次相遇,乙从第一个P点到第二个P点,路程正好是第一次的路程.所以假设一个全程为3份,第一次相遇甲走了2份乙走了4份.第二次相遇,乙正好走了1份到B地,又返回走了1份.这样根据总结:2个全程里乙走了(540 3) 4=180 4=720千米,乙总共走了720 3=2160千米. 29.(1)9300米 (2)甲与丙在10时6分40秒相遇 【详解】(1)从出发到甲、乙相遇,甲比乙多走了620米,又甲比乙每分多走10米,所以从出发到甲、乙相遇共用62分钟.甲从体育场返回学校只走了62-60=2(分钟)就遇到了乙,所以甲的速度为310 2=155(米/分),学校到体育场的距离为155米/分 60分=9300(米). (2)丙的速度为155-31=124(米/分),甲和丙相遇需要走两个学校到体育场的路程为:9300 2=18600(米).所以相遇时间为:,所以甲与丙在10时6分40秒相遇. 30.分钟 【分析】在时钟的表盘上,有12个大格,时针走一圈是360 ,则每小时时针走一个大格,也就是走30 。一小时=60分钟,则时针每分钟走0.5 ,分针转动一圈是60分钟转了360 ,分针每分钟转动6 。 由题意可知,两次相遇都是距离中点160米处相遇,但是第二次是甲在停留的情况下,即甲的速度比乙的速度快。在第一次的相遇的过程中,甲行驶的路程比乙行驶的路程多320米。一小时内两次出现夹角为110 ,一定是分针先落后110 ,后来又超前110 ,分针和时针的路程差是为220 。每一分钟,时针和分针的差是5.5 ,220 就是40分钟相差的。多出的40分钟的路程差是320米,即每分钟的路程差,也就是速度差是8米。因为甲的速度为80米/分钟,即乙的速度=甲的速度-8。 第二次相遇,两人还是在距中点160米处相遇,这时甲走的路程少,对于第一次相遇,甲走的路程是超过中点160米,第二次相遇甲走的路程是少于中点160米,则甲少走的了320米,每分钟是80米,即少走了4分钟。乙则多走了分钟。 甲在途中的停留的时间=甲少走的时间+乙多走的时间。 【详解】160 2=320(米) 220 (6-0.5) =220 5.5 =40(分钟) 320 40=8(米) 80-8=72(米) 320 80=4(分钟) 320 72=(分钟) 4+=(分钟) 答:甲在途中停留了分钟。 【点睛】钟表的夹角的度数,可以将时针和分针想成一个追及的问题。追及问题中,行驶的路程差=速度差 时间。 31.330km 【详解】快车慢车总共花的时间是一样的.快车每小时比慢车多走35千米,多行驶了210千米,说明一共行驶了210 35=6小时.第二次相遇两辆车一共行驶了3个车站的距离. (100+65) (210 35 3)=330(km) 32.3000 【详解】第一次是一个相遇过程,相遇时间为:小时,相遇地点距离点:千米.然后乙车调头,成为追及过程,追及时间为:小时,乙车在此过程中走的路程为:千米,即5圈又3千米,那么这时距离点千米. 此时甲车调头,又成为相遇过程,同样方法可计算出相遇地点距离点千米,然后乙车掉头,成为追及过程,根据上面的计算,乙车又要走5圈又3千米,所以此时两车又重新回到了点,并且行驶的方向与最开始相同. 所以,每4次相遇为一个周期,而,所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的,与点的距离是3000米. 33.100千米 【详解】40 3=120(千米) 120-20=100(千米) 答:甲、乙两站之间的距离是100千米. 34.150千米 【分析】结合两次相遇的时间规律,找出两个相遇点位置和A、B两地距离的关系。 根据题目中所给的条件,可以画出整个行程过程的线段示意图: 由示意图看出卡车从A地出发后行驶了60千米时与摩托车相遇,此时卡车和摩托车共同行驶的路程和相当于一个AB距离。而卡车和摩托车第二次相遇的时候,卡车和摩托车共同行驶的路程和相当于三个AB距离。所以如果卡车、摩托车从出发到第一次相遇时所用时间为t的话,那么卡车、摩托车从出发到第二次相遇时所用时间为3t,因此第二次相遇时卡车行驶的距离为:60 3=180(千米)。这180千米等于AB的全程再加上B地到第二个相遇点的距离30千米,所以AB的距离为:180-30=150(千米)。 【详解】60 3-30 =180-30 =150(千米) 答:A、B两地之间的距离是150千米。 【点睛】题目中使用了比例的知识,题目并没有直接求出卡车和摩托车的速度和时间,但使用了两次的比例转换:首先是利用总路程的三倍关系得出时间的三倍关系,然后利用时间的三倍关系得出卡车的路程三倍关系。 35.甲车:102千米/小时 乙车:78千米/小时 【详解】经过5小时相遇时,甲乙一共行驶了:300 3=900(千米) 甲车行驶了(900+120) 2=510(千米) 乙车行驶了900-510=390(千米) 甲车速度:510 5=102(千米/小时) 乙车速度:390 5=78(千米/小时) 36.17次 【分析】通过画柳卡图可知,以75分钟为一个周期,在这个周期里,两者相遇的次数为3次(如下图): 上午9时到下午4时经过了7小时,也就是420分钟,然后用除法求出420里面有几个75分钟,商是5,余数是45,说明有5个周期,剩下45分钟,45分钟能够相遇2次,据此用5个周期相遇的总次数加上2即可求出相遇的总次数。 【详解】根据分析可知,75分钟一个周期,在这个周期里,两者相遇的次数为3次。 下午4时=16时 16时-9时=7小时 7 60=420(分) 420 75=5(周期)……45(分) 45分钟两者相遇2次, 5 3+2 =15+2 =17(次) 答:到当日下午4时,它们一共相遇了17次。 【点睛】本题考查多次相遇的行程问题,可通过画图理解问题,找到相应的周期。 37.120米 【分析】第一次相遇的路程差是相遇地点距中点距离的2倍,所以第一次相遇地距中点距离为80 2=40(米),即第一次相遇大宝走了全程的一半多40米,从出发到第二次迎面相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍,即大宝走了全程的1.5倍多40 3=120(米),由此得解。 【详解】解法1: 第一次相遇距中点距离:80 2=40(米) 第二次相遇距中点距离:40 3=120(米) 答:第二次迎面相遇地点距离中点120米。 解法2: 设第一次相遇,小宝走了x米,大宝走了x+80米, 那么全程为x+x+80=2x+80米,半程为x+40米, 从出发到第二次相遇,小宝走了3x米, 则第二次迎面相遇距离中点: x+40-[3x-(2x+80)] =x+40-[3x-2x-80] = x+40-[x-80] = x+40-x+80 =120(米) 答:第二次迎面相遇地点距离中点120米。 【点睛】本题考查二次相遇问题,关键是画图分析出第一次相遇点距离中点的距离是两人路程差的一半,或者列代数式进行计算分析。 38.32千米 【分析】第一次相遇时乙走了68千米,两车合走了1个AB两地的路程,第二次相遇时,两车合走了3个AB两地的路程,因为速度不变,相当于重复第一次相遇3次,所以乙走了3个68千米,即68 3千米,且第二次相遇时,乙自己走了1个AB全程多52千米,所以一个全程=204-52=152千米,即AB两地相距152千米。所以两次相遇地点的距离=152-68-52千米。列成综合算式是:68 3-52-(68+52)。 【详解】68 3-52-(68+52) =203-52-120 =32(千米) 答:两次相遇地点之间的距离是32千米。 【点睛】本题主要通过分析每次相遇所行路程与全程的关系求得每次相遇时乙所行的路程进行解答的。 39.2 【详解】半小时内,两人一共行走 (40+ 150) 30 ="5700" 米,相当于 6 个全程,两人每合走 2 个全程就会有一次相遇,所以两人共有 3 次相遇,而两人的速度比为 40 :150=" 4" :15,所以相同时间内两人的行程比为 4 :15,那么第一次相遇甲走了全程的,距离 B 地11/19个全程;第二次相遇甲走了16/19个全程,距离 B 地3/19个全程;第三次相遇甲走了24/19个全程,距离 B 地5/19个全程,所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离 B 地最近. 40.8550米 【分析】由题干可知,丙先与乙相遇,再过10分钟与甲相遇,所以丙与乙相遇时,丙与甲的距离为甲、丙在10分钟内相向而行的路程之和:(20+25) 10=450(米),而这段路程正是从出发到乙、丙相遇这段时间里,甲、乙所行的路程之差。所以从出发到乙、丙相遇所用的时间为:450 (22.5-20)=180(分)。所以,东、西两镇的距离为:(25+22.5) 180=8550(米)。 【详解】[(20+25) 10] (22.5-20) =[45 10] 2.5 =450 2.5 =180(分) (25+22.5) 180 =47.5 180 =8550(米) 答:两镇相距8550米。 【点睛】要明确:丙与甲的距离为甲、丙在10分钟内相向而行的路程之和,而这段路程正是从出发到乙、丙相遇这段时间里,甲、乙所行的路程之差;是解答此题的关键。 学科网(北京)股份有限公司 $$