精品解析：河北省保定市清苑区清苑中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题

高一年级第二学期期末测试数学试题 考试时长：120分钟;满分150分 一、选择题(本题共8个小题，每题5分，共计40分每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2. 如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆柱的侧面展开图为长方形求出圆柱的侧面积，再根据圆柱的侧面展开图为扇形求出圆锥的侧面积，进而得到蒙古包的侧面积. 【详解】依题意得， 圆柱的侧面积， ，， 在中，， 圆锥的侧面积， 该蒙古包的侧面积， 故选：D. 3. 采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 107 956 181 935 271 832 612 458 329 683 331 257 393 027 556 498 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意这20组随机数中恰好击中一次的有107，935，458，683，257，027，498，730，537共组， 所以所求概率. 故选：D 4. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 5. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ） A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的75百分位数为79 C. 甲班的中位数为74 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知数据图，判断A；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B；求出甲班的中位数，判断C；求出两个班级的平均分，即可判断D. 【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图， 前三个矩形的面积之和为 ， 故乙班成绩的75百分位数为80，B错误； 由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C错误； 甲班平均数为， 乙班平均数估计值为， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确， 故选：D 6. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由8个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案． 【详解】根据题意，甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为， 则两组数据混合后，新数据的平均数， 则新数据的方差， 故选：C． 7. 围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒颜色不同的对立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，利用对立事件的概率公式求得答案. 【详解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为， 取出的2粒颜色不同的概率为. 故选：D. 【点睛】本题考查了互斥事件的概率加法公式，和对立事件的概率计算公式，属于基础题. 8. 已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意不妨设，则，所以设，然后利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量均为单位向量，且，所以不妨设， 设，因为，所以，则设， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为， 故选：A 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共计18分） 9. 一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ） A. 如果是不放回地抽取，那么“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B. 如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率 C. 如果是有放回地抽取，那么取出1个红球和1个白球的概率是 D. 如果是有放回地抽取，那么至少取出一个红球的概率是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断. 【详解】解：不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况， 所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误． 记2个红球分别为a，b，3个白球分别为1，2，3． 不放回地从中取2个球的样本空间，共20种， 记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”， 则，， 所以，故B错误． 有放回地从中取2个球的样本空间，共25种； 记事件为“取出1个红球和1个白球”，则， 所以，故C正确． 记事件为“取出2个白球”，， 所以，所以至少取出1个红球的概率为，故D正确. 故选：CD． 10. 如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，] C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D. 若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断； C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可. 【详解】A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确； B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确； C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图， 故P的轨迹长度为，C正确； D选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误. 故选：ABC. 11. 已知P是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则P是的重心 B. 若P与C不重合，，则P在的高线所在的直线上 C. 若，则P在的延长线上 D. 若且，则的面积是面积的 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形重心定义判断A；利用垂直关系的向量表示判断B；利用向量线性运算及向量共线的意义判断C；确定点P的轨迹结合三角形面积公式判断D作答. 【详解】对于A，取边的中点，连接，则，而， 即有，因此P是的重心，A正确； 对于B，，由，得， 有，点P在的高线所在的直线上，B正确； 对于C，由，得，即有，则点P在的延长线上，C错误； 对于D，由，得，令，则， 而，因此点是直线上任意一点，由知， 线段上的点到直线距离等于点到直线距离的， 即点在与直线平行，并且到直线距离等于点到直线距离的的直线上， 因此边上的高是边上的高的，即，D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 某校高一年级共有男生600人，女生400人，为纪念“建党100周年”，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出50人，组建一个合唱团，则男生应该抽取__________人． 【答案】30 【解析】 【分析】利用分层抽样直接求解即可. 【详解】男生应该抽取的人数为人． 故答案为：30． 13. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为60n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距________n mile． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求的长度即可. 【详解】由题设，n mile，且， 由正弦定理有，则，可得n mile. 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可在中根据余弦定理得出，然后通过勾股定理得出，根据面面垂直的性质得出平面，外接球的球心到平面的距离为，再然后通过正弦定理求出的外接圆的半径，最后根据求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】在中，由余弦定理易知，， 即，解得， 因为，所以， 因为平面平面且交于，平面， 所以平面，外接球的球心到平面的距离为， 设的外接圆的半径为，外接球的半径为， 则由正弦定理得出，解得， ，解得，外接球的表面积， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查面面垂直证明线面垂直，考查余弦定理与正弦定理的应用，考查数形结合思想，是难题. 四、解答题 15. 复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限． （1）求复数; （2）复数，所对应的向量为，已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算法则，复数的模的计算，以及纯虚数即实部为0，虚部不为0，即可得出结果； （2）复数与复平面内的点一一对应，以及与向量一一对应，求出向量为，再结合，即向量数量积为0，可得到关于的方程，即可得解. 【详解】解：（1）设 则即 为纯虚数且 由①②解得， (2) ，∴， ∴ ∴ 由得 即 16. 某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响. （1）求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率； （2）求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法公式进行求解即可； （2）根据概率加法公式和乘法公式进行求解即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件，，， 则，，. ∴. 【小问2详解】 甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试， ∴ . 17. 我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）从频率分布直方图中，估计第三四分位数是多少；（精确到0.1） （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数等于各小矩形的面积乘以各组中值的和，即可求出； （2）先判断第三四分位数在内，根据百分位数公式即可求出； （3）先根据分层抽样确定第5，6组人数，再根据古典概型的概率公式即可求出． 【小问1详解】 本次考试成绩的平均数约为 . 所以本次考试成绩的平均数. 【小问2详解】 因为， ， 所以第三四分位数，即第75百分数在内， 所以第三四分位数， 所以估计第三四分位数约为 【小问3详解】 第5组人数为，第6组人数为， 被抽取的成绩在内的4人，分别记为，，，； 成绩在内的3人，分别记为，，；则从这7人中随机抽取2人的情况为： ， ，， 共21种； 其中被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：，，，，，共15种. 故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为. 18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案； （2）由可得，然后利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 得， 得， 因为，所以，即. 【小问2详解】 因为， 所以. 因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立）， 所以．故△ABC面积的最小值为. 19. 在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接. （1）证明：； （2）连接，求与底面所成角的正切值； （3）求二面角的平面角的正切值. 【答案】（1）因为底面，底面，所以. 因为底面为正方形，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为为的中点，，所以. 又因为，所以平面. 因为平面，所以. （2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）证明平面即可； （2）作于点，则是的中点，连接，则为与底面所成的角，即可求解； （3）作，垂足为，则为的中点，连接，则，所以为所求二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）略 （2）作于点，则是的中点，，且， 底面. 连接，则为与底面所成的角. 设，在中，，， 所以. （3）解：作，垂足为，则为的中点，连接，则，所以为所求二面角的平面角. 在中，，，所以. 【点睛】本题考查空间中直线与直线垂直的证明，考查线面角、面面角的求法，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第二学期期末测试数学试题 考试时长：120分钟;满分150分 一、选择题(本题共8个小题，每题5分，共计40分每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 3. 采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数： 107 956 181 935 271 832 612 458 329 683 331 257 393 027 556 498 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 5. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ） A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的75百分位数为79 C. 甲班的中位数为74 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值 6. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由8个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共计18分） 9. 一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ） A. 如果是不放回地抽取，那么“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B. 如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率 C. 如果是有放回地抽取，那么取出1个红球和1个白球的概率是 D. 如果是有放回地抽取，那么至少取出一个红球的概率是 10. 如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，] C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D. 若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是 11. 已知P是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则P是的重心 B. 若P与C不重合，，则P在的高线所在的直线上 C. 若，则P在的延长线上 D. 若且，则的面积是面积的 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 某校高一年级共有男生600人，女生400人，为纪念“建党100周年”，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出50人，组建一个合唱团，则男生应该抽取__________人． 13. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为60n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距________n mile． 14. 已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________． 四、解答题 15. 复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限． （1）求复数; （2）复数，所对应的向量为，已知，求的值. 16. 某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响. （1）求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率； （2）求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率. 17. 我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）从频率分布直方图中，估计第三四分位数是多少；（精确到0.1） （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 19. 在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接. （1）证明：； （2）连接，求与底面所成角的正切值； （3）求二面角的平面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $