4.4 一次函数应用 讲义 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第三讲 一次函数应用 一次函数与经济问题 【例题1】（2023茂名高州）如图所示，反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，反映了该种产品的销售成本与销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是．（ ） A. 当销售量为2吨时，销售成本是2000元 B. 销售成本是3000元时，该公司的该产品盈利 C. 当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元 D. 的函数表达式为 一次函数与最大利润问题 【例题1】商场销售甲种服装每件的利润为40元，乙种服装每件的利润为30元．计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，不超过75件．在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜10）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，则商场进货（ )件甲种服装能获得最大利润． A．65 B．70 C．75 D．100 【例题精练】 1、学校体育器材室拟购进甲、乙两种实心球．某公司给出这两种实心球的销售方法为：甲种实心球的销售y（单位：元）与销售量x（单位：个）的函数关系如图所示；乙种实心球20元/个． (1)求y与x之间的函数关系； (2)若学校体育器材室拟购买这两种实心球共100个，且每种均不少于45个，请设计最省钱的方案，并说明理由． 一次函数与方案问题 【例题1】为了优化环境，将对某一小区环境进行绿化，现有甲、乙两家绿化公司进行了投标，各自推出了绿化收费方案如下：甲公司绿化费用（元与绿化面积（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司：绿化面积不超过1000平方米时，统一收取费用5000元；绿化面积超过1000平方米时，超过部分每平方米收取3元． （1）求甲、乙公司绿化费用（元与绿化面积（平方米）的函数表达式； （2）如果该小区目前的绿化面积是1500平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的绿化费用较少？ 【例题精练】 1、甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用（元与绿化面积（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求如图所示的与的函数解析式：（不要求写出定义域）； （2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 一次函数与分段收费 【例题1】某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3元 超过12立方米 超过的部分每立方米4元 （1）若某户居民某月用水10立方米，应交水费 　　元；若用水15立方米，应交水费 　　元． （2）当用水量超过12立方米时，求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （3）若某户居民某月交水费41元，则该户居民用水多少立方米？ 一次函数与行程问题 【例题1】李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1） 直接写出工厂离目的地的路程； （2） 求s关于t的函数表达式； （3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？ 【例题精练】 1、一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整2h后提速行驶至乙地．设行驶时间为x（ h），货车的路程为y1（ km），小轿车的路程为y2（ km ），图中的线段OA与折线OBCD分别表示y1，y2与x之间的函数关系． （1）甲乙两地相距_____km，m=_____； （2）求线段CD所在直线的函数表达式； （3）小轿车停车休整后还要提速行驶多少小时，与货车之间相距20km？ 一次函数与三角形面积的综合应用 【例题1】（2023佛山南海） 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）． （1） 求的值． （2） 当△APC的面积为18时，求点的坐标． （3）若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN=90°时，求△BMN的面积． 【例题精练】 1、（揭阳惠来） 如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在直线OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式； （2）求△OAB的面积； （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAB的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 2、（2023揭阳榕城）如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B． （1）A、B两点坐标分别为________，________； （2）点M(3,0)在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当=时，求点P的坐标． 3、（2023广东梅州） 如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点，且两函数图像相交于点E． （1）求一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）坐标轴上是否存在一点P，使得,若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题2】如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【例题2】（2023佛山南海）如图1，分别以长方形的边，所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知点B的坐标为 （1）直接写出 =_________； =____________; （2）如图2，点E在线段上，以直线为轴，把翻折，点O的对应点D恰好落在线段上．直接写出的长，并求出点E的坐标； （3）P是x轴上的一动点，是否存在以A，P，E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题精练】 1、（2023佛山南海）如图①，，以为边作长方形． （1） 求线段的长度． （2）将对折；使得点A与点C重合，折痕交于点D，求的长度（图②）； （3）在平面内，是否存在点P（除点B外），使得与全等？若存在，请画出所有可能的；若不存在，请说明理由． 2、（2023佛山南海）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知， （1） 写出点B，点C的坐标和的面积． （2） 直线l经过AB两点，求直线AB的解析式； （3） 点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 3、如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于D点， ． （1）求直线的解析式； （2）点Q为直线上一动点，若有，请求出Q点坐标； （3）点M为直线上一动点，点N为y轴上一备用图动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 一次函数与勾股定理 【例题1】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C在上，且． （1）直接写出点C的坐标为___________； （2）P为x轴负半轴上一点，且，连接，设的面积为S，直接写出S与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，过点B作，交x轴于点D，若，求点D的坐标． 一次函数与一元一次方程的关系 【例题1】如图所示，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x=（　　） A．1 B．0 C．-4 D．-5 【例题精练】 1、若一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么关于的方程的解是______． 一次函数与二元一次方程的关系 【例题1】在平面直角坐标系xOy中，一次函数和y=-x+3的图象如图所示，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【例题精练】 1、（2023茂名高州）如图，函数y=kx+b与的图象交于点，那么关于，的方程组的解是______． 2、 已知直线：y＝x＋1与直线：y＝mx＋n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是______． 3、（2023深圳龙华）如图，已知直线y=ax+b和直线交于点，若二元一次方程组的解为、，则关于___． 【例题2】抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元． （1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？ （2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为（元），选择公路运输时，所需费用（元），请分别写出（元），（元）与x（千克）之间的关系式； （3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 一次函数应用 一次函数与经济问题 【例题1】（2023茂名高州）如图所示，反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，反映了该种产品的销售成本与销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是．（ ） A. 当销售量为2吨时，销售成本是2000元 B. 销售成本是3000元时，该公司的该产品盈利 C. 当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元 D. 的函数表达式为 答案：D 解析：解：A. 当销售量为2吨时，销售成本是3000元，故选项A说法错误，不符合题意； B. 销售成本是3000元时，销售利润是2000元，该公司的该产品亏损，故选项B说法错误，不符合题意； C. 当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利元，故选项C说法错误，不符合题意； D. 设的解析式为，由图象，得，解得：，故的解析式为：，所以，选项D正确，符合题意， 故选：D 一次函数与最大利润问题 【例题1】商场销售甲种服装每件的利润为40元，乙种服装每件的利润为30元．计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，不超过75件．在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜10）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，则商场进货（ )件甲种服装能获得最大利润． A．65 B．70 C．75 D．100 答案：解：设甲种服装购进x件，总利润为w元，根据题意得65≤x≤75， W=（40-a）x+30(100-x)=(10-a)x+3000,∵0＜a＜10，∴10-a＞0，w随x的增大而增大，∴x=75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件．故选：C． 【例题精练】 1、学校体育器材室拟购进甲、乙两种实心球．某公司给出这两种实心球的销售方法为：甲种实心球的销售y（单位：元）与销售量x（单位：个）的函数关系如图所示；乙种实心球20元/个． (1)求y与x之间的函数关系； (2)若学校体育器材室拟购买这两种实心球共100个，且每种均不少于45个，请设计最省钱的方案，并说明理由． 【答案】 (1)解：当时，设，把x=40，代入得： ，解得：， ∴当时，设， 当时，设，把x=40，和x=50，分别代入得： ，解得：， ∴当时，设， 综上分析可知，y与x之间的函数关系式为． (2)设购买甲种实心球m个，则乙种实心球个，需要花费w元，根据题意得： ∵每种均不少于45个，∴，解得：， ∵，∴w随m的增大而增大，当m取最小值45时，w取最小值，且最小值为： ， 即购买甲种实心球45个，乙种实心球55个时，花费最少． 一次函数与方案问题 【例题1】为了优化环境，将对某一小区环境进行绿化，现有甲、乙两家绿化公司进行了投标，各自推出了绿化收费方案如下：甲公司绿化费用（元与绿化面积（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司：绿化面积不超过1000平方米时，统一收取费用5000元；绿化面积超过1000平方米时，超过部分每平方米收取3元． （1）求甲、乙公司绿化费用（元与绿化面积（平方米）的函数表达式； （2）如果该小区目前的绿化面积是1500平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的绿化费用较少？ 答案：解：（1）设甲公司关于的函数表达式为y=kx+b,(k≠0)， 函数图象经过（0，500），（100，1000），∴k=5,b=500 即甲公司y关于x的函数表达式为； 由题意可得，0＜x＜1000时，，当x＞1000时，，由上可得，； （2）当x=1500时，，当x=1500时，， ∴8000＞6500，选择乙公司绿化费用较少． 【例题精练】 1、甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用（元与绿化面积（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求如图所示的与的函数解析式：（不要求写出定义域）； （2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 【答案】见详解 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断； 【详解】解：（1）设y=kx+b，解得，k=5,b=400，∴y=5x+400． （2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元， ∵6300＜6400，∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 一次函数与分段收费 【例题1】某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3元 超过12立方米 超过的部分每立方米4元 （1）若某户居民某月用水10立方米，应交水费 　　元；若用水15立方米，应交水费 　　元． （2）当用水量超过12立方米时，求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （3）若某户居民某月交水费41元，则该户居民用水多少立方米？ 答案(1)解：由题意可得， 某户居民某月用水10立方米，应交水费：（元）； 若用水15立方米，应交水费：（元）， 故答案为：30，48 (2)由题意可得，当时， 每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； (3)∵12×3=36＜41，∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米，则， 解得，答：该户居民用水立方米． 一次函数与行程问题 【例题1】李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）直接写出工厂离目的地的路程； （2）求s关于t的函数表达式； （3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？ 答案： （1）工厂离目的地的路程为880千米； （2）；（3）． 答案： （1）根据图象直接得出结论即可； （2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为 （3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围． 【详解】解：（1）由图象，得时，， 答：工厂离目的地的路程为880千米． （2）设，将和分别代入表达式， 得，解得， ∴s关于t的函数表达式为． （3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米）， ，解得（小时）． 当油箱中剩余油量为0升时，（千米）， ，解得t=（小时）． 随t的增大而减小， 的取值范围是． 【例题精练】 1、一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整2h后提速行驶至乙地．设行驶时间为x（ h），货车的路程为y1（ km），小轿车的路程为y2（ km ），图中的线段OA与折线OBCD分别表示y1，y2与x之间的函数关系． （1）甲乙两地相距_____km，m=_____； （2）求线段CD所在直线的函数表达式； （3）小轿车停车休整后还要提速行驶多少小时，与货车之间相距20km？ 【答案】 ①. 420 ②. 5； （2）y=100x﹣230；（3）休整后还要提速行驶或小时，与货车之间相距20km. 【解析】 【分析】（1）直接根据图象写出两地之间的距离和的值． （2）分别利用待定系数法确定函数的解析式即可． （3）分成两种情况进行讨论即可. 【详解】（1）观察图象可知：甲乙两地相距420km，m=5， 故答案为420，5； （2）设直线CD的解析式为y=kx+b，把 代入得到 解得 ∴直线CD的解析式为y=100x﹣230． （3）设线段OA所在的直线的解析式为 把点A（7，420）代入得到k′=60， ∴ 由题意： 解得 或解得 答：小轿车停车休整后还要提速行驶或小时，与货车之间相距20km。 一次函数与三角形面积的综合应用 【例题1】（2023佛山南海） 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）． （1）求的值． （2）当△APC的面积为18时，求点的坐标． （3）若直线MN在平面直角坐标系内运动，且MN始终与AB平行，直线MN交直线CD于点M，交y轴于点N，当∠BMN=90°时，求△BMN的面积． 答案：（1） （2）点坐标为或 （3） 解析 （1）解：将代入， ， ． （2）解：设直线解析式为y=kx+b， 将、代入得： ，解得：， 直线， 设， 把代入得：，解得：， 把代入得：， ∴，， ， ∴， ①如图1，时， ， ， 解得：， ， ②时，△APC的面积不可能为18， ③如图2，m＞6时， ， ， 解得：m=8． 综上，点坐标为或． （3）解：如图3，过作， 设，，， ，， ∵，， ，， ，，，， ，，， ，解：，，， ． 【例题精练】 1、（揭阳惠来） 如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在直线OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式； （2）求△OAB的面积； （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAB的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 答案：（1） （2）6 （3）（1，）或或或 解析： （1） 解：设直线的解析式为y=kx+b， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为； （2） 解：对于函数， 当时，，解得，即， A(4,2)， 的边上的高为2， 则的面积为； （3）解：设直线的解析式为y=ax， 将点A(4,2)代入得：，解得， 则直线的解析式为，， ，的面积是的面积的， 的面积是，由题意，分以下两种情况： ①当点在直线上时，设点的坐标为， 则，解得，所以此时点的坐标为或M(-1,- )； ②当点在射线上时，设点的坐标为， 则，解得，所以此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为(1, )或或或． 2、（2023揭阳榕城）如图，在直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A与y轴交于点B． （1）A、B两点坐标分别为________，________； （2）点M(3,0)在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当=时，求点P的坐标． 答案：（1），； （2）或 解析：（1）解：对于直线， 当时，y=3．∴， 当时，，∴x=2， ∴．故答案为：，； （2）解：∵，∴，∴． ∵，∴； ①当点P在x轴下方时， ，∴，∵点P在x轴下方， ∴，当时，代入得，， 解得．∴； ②当点P在x轴上方时， ，∴，∵点P在x轴上方，∴．当y=9时，代入得，，解得．∴，综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 3、（2023广东梅州） 如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点，且两函数图像相交于点E． （1）求一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）坐标轴上是否存在一点P，使得,若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：（1） （2） （3）存在，或或或(0,-5) 解析： （1）设，将，代入得 ，解得，∴； （2）过点E作EF垂直y轴于点F ∵，解得， ∴点E的坐标为， ∴点F的坐标为， 当时，，，∴点B的坐标为， ∴OB=4∵D（0，1）∴OD=1∴， ∴ （3）存在 由（2）知的面积为， ∴， 当点P在x轴上时，设P（a，0），则有 或 解得，或-5∴P的坐标为或 当点P在y轴上时，设点P（0，m）同理可得或-5 ∴P的坐标为或（0，-5）．综上，点P的坐标为或或，（0，-5） 【例题2】如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 答案：试题分析：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3，BC=5，∵∠CAB=90°，∴AC=4，∴点C的坐标为（1，4），当点C落在直线y=2x﹣6上时，∴令y=4，得到4=2x﹣6，解得x=5，∴平移的距离为5﹣1=4，∴线段BC扫过的面积为4×4=16，故选C． 【例题2】（2023佛山南海）如图1，分别以长方形的边，所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知点B的坐标为 （1）直接写出 =_________； =____________; （2）如图2，点E在线段上，以直线为轴，把翻折，点O的对应点D恰好落在线段上．直接写出的长，并求出点E的坐标； （3）P是x轴上的一动点，是否存在以A，P，E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： （1）解：如图1，由，，点B的坐标为， ∴ =10， =8，故答案为：10；8 （2）解：如图2，由折叠得：， 中，，∴， ∵，∴， 设，则，由勾股定理得：， ∴，解得：，∴； （3）解：①当时， ∵轴，，∴，∴； ②当时，由勾股定理得： ＝， ∴或，∴或； ③当时，设：则，由勾股定理得：，∴，解得 ∴，综上，点P的坐标为或或或． 【例题精练】 1、（2023佛山南海）如图①，，以为边作长方形． （1）求线段的长度． （2）将对折；使得点A与点C重合，折痕交于点D，求的长度（图②）； （3）在平面内，是否存在点P（除点B外），使得与全等？若存在，请画出所有可能的；若不存在，请说明理由． 答案： （1）解：∵，， ∴； （2）解：由折叠知：．设，则， ∵， ∴， 解得：． ∴； （3）解：①当点P与点O重合时，； ②当点P在第一象限时，如图②，． ③当点P在第二象限时，如图③，． ． 2、（2023佛山南海）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点C和点B，已知， （1）写出点B，点C的坐标和的面积． （2）直线l经过AB两点，求直线AB的解析式； （3）点D是在直线上的动点，是否存在动点D，使得?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 答案： 解：（1）当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：设直线的解析式为y=kx+b， ∴，∴，∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴，∴， ∴当时，，解得，即点D的坐标为； 当时，，解得，即点D的坐标为； 综上所述，存在点D的坐标为或使得； （4）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H，∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， 又∵∠OPB+∠OBP=90°，∴， 又∵，∴， ∴ ∴，即， 又∵，∴， ∴△AHQ是等腰直角三角形，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，∴； 3、如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于D点， ． （1）求直线的解析式； （2）点Q为直线上一动点，若有，请求出Q点坐标； （3）点M为直线上一动点，点N为y轴上一备用图动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）解：当时，，则； 当时，，解得，则， ∵，∴，则，∵，∴， 则，设直线的解析式为y=kx+b，则，解得∶， 则． (2)作交于点E，如图， 设，将代入得点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得或， 则或． (3)当时，如图， 作轴于点E，作于点F，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，∵∠CME=∠ECM=90°，， ∴，则，∴， 设，则，∴，解得或， 则或，当时，过点N作，作于点H，作于点G，如图， 由题意得，， ∵，， ∴，则， ∴，，设，，则，， ∴，，解得或或（此时，舍去），则或， 综上可知，点M的坐标为或或或． 一次函数与勾股定理 【例题1】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C在上，且． （1）直接写出点C的坐标为___________； （2）P为x轴负半轴上一点，且，连接，设的面积为S，直接写出S与m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，过点B作，交x轴于点D，若，求点D的坐标． 答案： （1）解：令，则， ，，， ，；故答案为； （2）解：令，则，∴B（0，4m） ∴BC=4m-4,∵OP=2BC，∴OP=8m-8，∴P（8-8m,0）,∴S=16m ²-8m 【小问3详解】 解：由（2）可知：， ∴， 设，∵BD+AD=PA ∴，， 在RT△BOD中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， 在Rt△BOP中，由勾股定理得：， ∴BD⊥OP， ， ， 即， 整理得：， ∵， ∴， ， ． 一次函数与一元一次方程的关系 【例题1】如图所示，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x=（　　） A．1 B．0 C．-4 D．-5 答案：D 【例题精练】 1、若一次函数的图象如图所示，那么关于的方程的解是______． 答案：x=2 【例题2】 一次函数与二元一次方程的关系 【例题1】在平面直角坐标系xOy中，一次函数和y=-x+3的图象如图所示，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：解：∵一次函数y=kx和y=-x+3的图象交于点（1，2）， ∴二元一次方程组的解为． 故选：A． 【例题精练】 1、（2023茂名高州）如图，函数y=kx+b与的图象交于点，那么关于，的方程组的解是______． 答案： 解析：解：∵函数y=kx+b与的图象交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 2、 已知直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是______． 答案：解：∵直线y=x+1经过点P（2，b）， ∴b=2+1， 解得b=3， ∴P（2，3）， ∴关于x的方程组的解为， 故答案为：． 3、（2023深圳龙华）如图，已知直线y=ax+b和直线交于点，若二元一次方程组的解为、，则关于___． 答案：3 解析：解：∵直线y=ax+b和直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， ∴． 故答案为：． 【例题2】抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元． （1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？ （2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为（元），选择公路运输时，所需费用（元），请分别写出（元），（元）与x（千克）之间的关系式； （3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？ 答案： (1)解：设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克 由题意可得： ，解得： 答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克． (2)解：由题意可得：y1=0.58x，y2=0.28x+600． (3)解：当y1=y2,时，0.58x=0.28x+600，解得x=2000 故当运输2000千克时，两种方式均可 当y1＜y2,时，0.58x＜0.28x+600，解得x＜2000 故当运输少于2000千克时，铁路划算 当y1＞y2,时，0.58x=0.28x+600，解得x＞2000 故当运输超过2000千克时，公路划算． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$