第四章一次函数第二讲正比例函数和一次函数讲义2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第二讲 正比例函数和一次函数 【知识梳理】 知识点一 正比例函数定义 定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例函数系数。 注意：正比例函数的三个特征： 1 等式右边是关于自变量的整式 2 自变量的指数为1 3 比例系数k≠0 知识点二 一次函数定义 1、定义：一般地，形如y=kx+b（k是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 注意：一次函数的四个特征： 1 等式右边是关于自变量的整式 2 比例系数k≠0 3 自变量的指数为1 4 常数项b可以是任意实数（包括0） 2、一次函数与正比例函数的关系： 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数。 知识点三 正比例函数的图像与性质 1、正比例函数图像：正比例函数y=kx（k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）。 2、正比例函数图像与性质 知识点四 一次函数的图像与性质 1、一次函数图像：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，我们称它为直线y=kx+b（k≠0）。 2、一次函数图像与性质 注意：|k|越大，直线就越抖 知识拓展： 1 =，=,则两条直线重合 2 =，≠,则两条直线平行 3 .=-1则两条直线垂直 知识点五 一次函数解析式的确定 1、待定系数法 步骤：设：设函数表达式为y=kx+b(k≠0); 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式. 知识点六 一次函数图像的平移 1、一次函数y=kx+b向左平移m个单位后的解析式为y=k(x+m)+b; 2、一次函数y=kx+b向右平移m个单位后的解析式为y=k(x-m)+b; 3、一次函数y=kx+b向上平移m个单位后的解析式为y=kx+b+m; 4、一次函数y=kx+b向上平移m个单位后的解析式为y=kx+b-m. 口诀：左加右减，上加下减. 【例题精讲与精练】 知识点一 正比例函数定义 【例题1】下列函数，是正比例函数的是（ ） A、y=-8x B、y= C、y=8 D、y=8x-4 【例题精练】 1、已知关于x的函数y=（m-3）+n-2 （1） 当m、n为何值时，它是正比例函数？ 2、函数y＝（k+1）是正比例函数，则常数k的值为（ ） 【例题2】下列四个点中，在正比例函数的图象上的点是（ ） A. （2，5） B. （5，2） C. （2，－5） D. （5，―2） 【例题精练】 1、若是y关于x的正比例函数，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 2、在y=3x+a-2中，若是的正比例函数，则常数___________． 【例题3】已知正比例函数的图象经过点，则k的值为______． 【例题精练】 1、设正比例函数 的图象经过点，且y随x增大而减小，则m的值是（ ） A．－2或2 B．2 C．－2 D．－4 2、若正比例函数为y=3x，则此正比例函数过（m，6），则m的值为（　　　） A．﹣2 B．2 C． D． 知识点二 一次函数定义 【例题1】下列函数：①y=3Πx；②y=8x-6;③y=;④y=-8x;⑤y=5-4x+1,其中是一次函数的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 【例题精练】 1、下列函数： ①y=πx ②y=2x-1 ③y=;④y=2-3x ⑤y=-1其中是一次函数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2、下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） ①y=2+x+1;②y=2Πx；③y=；④y=x;⑤y=1-x;⑥y=2x A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 【例题2】若y＝（k﹣2）+1表示一次函数，则k等于（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0 【例题精练】 1、已知关于x的函数y=（m-3）+n-2 （1）当m、n为何值时，它是一次函数？ 知识点三 正比例函数的图像与性质 【例题1】正比例函数y=﹣2x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【例题精练】 1、正比例函数y=2x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 知识点四 一次函数的图像与性质 【例题1】（2023梅州）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则，的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【例题精练】 1、(2023佛山南海)关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象经过第二象限 C. 图象与轴交于点 D. 函数值随的增大而增大 2、关于一次函数y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　） A. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） B. 图象与x轴的交点坐标为（，0） C. y随x的增大而增大 D. 图象不经过第三象限 3、对于一次函数y＝﹣x﹣2的相关性质，下列描述错误的是（ ） A. 函数图像经过第二、三、四象限 B. 函数图像与x轴的交点坐标为（﹣1，0） C. y随x的增大而减小 D. 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为2 4、对于函数，下列结论正确的是　　 A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 5、下列四点在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 6、下列四个选项中，符合函数的性质的选项是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 随的增大而增大 C. 图象必经过点 D. 图象与轴交于点（0，1） 【例题2】（2023茂名高州） 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【例题精练】 1、若点（－4，y1），（2，y2）都在直线y= -3x+t上，则y1与y2的大小关系是 （ ） A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1<y2 D. 无法确定 2、 已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，点与点在此直线上，则a______b（填>、=或<）． 3、已知函数的图象经过点，则_____（填“”，“”，“”）． 【例题3】已知为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【例题精练】 1、正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝-kx+k2的图象大致是（ ） A. B. C. D. 2、已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3、若点在第二象限，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 4、已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于___． 【例题4】函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【例题精练】 1、直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（　　） A．B． C． D． 知识点五 一次函数图像的平移 【例题1】（2023揭阳惠来）将直线向上平移个单位后得到的直线表达式是（ ） A. B. C. D. 【例题精练】 1、（2023佛山南海） 将一次函数y=-2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 2、将直线l₁:y=ax-2(a≠0)向上平移1个单位后 得到直线l₂,将直线l₁向左平移1个单位后得到 直线l₃,若直线l₂和直线I₃恰好重合，则a的值为（ ） 【例题2】无论m为何实数．直线与的交点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【例题精练】 1、已知一次函数y＝kx+k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_____象限． 2、如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是_____． 知识点六 一次函数解析式的确定 【例题1】（2023河源）已知点在一次函数的图象上，则____________． 【例题精练】 1、（2023深圳龙华）小明在公共场馆担任志愿者期间，观察发现，由于进场闸口数量限制，随着人员的增加，排队等待进场的人数也在增加，经过一定时间后，排队人数不再增加．设排队等待进场人数y（人）随进场时间x（分钟）变化的函数关系图像如图所示，已知排队等待进场人数多于300人时，进场闸口处就会拥堵．根据图像，以下说法正确的是（ ） A. 点A的实际意义表示进场10分钟时，已进场人数为600人 B. 每分钟进场人数为60人 C. 拥堵时间持续8分钟 D. 总共有1350人进入该公共场馆 2、(2023佛山南海)在平面直角坐标系中，直线过点、，点在第二象限，点为坐标原点，连接、，的面积为90，则直线的函数表达式是_____________． 3、（2023梅州）一辆汽车在行驶过程中，路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，关于的函数解析式为，那么当时，关于的函数解析式为________． 4、已知直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 5、已知y-2与x成正比例关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）请在下面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 6、已知两个一次函数y＝kx+5和y＝2x+1的图象交于A（m，3），则一次函数y＝kx+5的图象所在的象限为（　　） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 7、如图，点、、的坐标分别是、、． （1）判断的形状，并说明理由； （2）点是轴上的一动点，求出使得的值最小时点的坐标． 8、如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，点B的坐标为．将沿AC折叠得到，点B落在点D的位置，交y轴于点E， （1）求点D的坐标． （2）求经过点A、D的直线的解析式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 正比例函数和一次函数 【知识梳理】 知识点一 正比例函数定义 定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例函数系数。 注意：正比例函数的三个特征： 1 等式右边是关于自变量的整式 2 自变量的指数为1 3 比例系数k≠0 知识点二 一次函数定义 1、定义：一般地，形如y=kx+b（k是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 注意：一次函数的四个特征： 1 等式右边是关于自变量的整式 2 比例系数k≠0 3 自变量的指数为1 4 常数项b可以是任意实数（包括0） 2、一次函数与正比例函数的关系： 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数。 知识点三 正比例函数的图像与性质 1、正比例函数图像：正比例函数y=kx（k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）。 2、正比例函数图像与性质 知识点四 一次函数的图像与性质 1、一次函数图像：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，我们称它为直线y=kx+b（k≠0）。 2、一次函数图像与性质 注意：|k|越大，直线就越抖 知识拓展： 1 =，=,则两条直线重合 2 =，≠,则两条直线平行 3 .=-1则两条直线垂直 知识点五 一次函数解析式的确定 1、待定系数法 步骤：设：设函数表达式为y=kx+b(k≠0); 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式. 知识点六 一次函数图像的平移 1、一次函数y=kx+b向左平移m个单位后的解析式为y=k(x+m)+b; 2、一次函数y=kx+b向右平移m个单位后的解析式为y=k(x-m)+b; 3、一次函数y=kx+b向上平移m个单位后的解析式为y=kx+b+m; 4、一次函数y=kx+b向上平移m个单位后的解析式为y=kx+b-m. 口诀：左加右减，上加下减. 【例题精讲与精练】 知识点一 正比例函数定义 【例题1】下列函数，是正比例函数的是（ ） A、y=-8x B、y= C、y=8 D、y=8x-4 答案：A 【例题精练】 1、已知关于x的函数y=（m-3）+n-2 （1） 当m、n为何值时，它是正比例函数？ 答案：∵y=（m-3）+n-2是正比例函数，∴m=±3；又∵m-3≠0； ∴m=-3.n-2=0,∴n=2 2、函数y＝（k+1）是正比例函数，则常数k的值为（ ） 答案：1 【例题2】下列四个点中，在正比例函数的图象上的点是（ ） A. （2，5） B. （5，2） C. （2，－5） D. （5，―2） 答案：D 【例题精练】 1、若是y关于x的正比例函数，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 答案：B 解析：解：∵根据正比例函数的定义，可得：，， ∴． 故选：B． 2、在y=3x+a-2中，若是的正比例函数，则常数___________． 答案：2 解析：解：∵一次函数y=3x+a-2是正比例函数， ∴a-2=0， 解得：a=2． 故答案为：2． 【例题3】已知正比例函数的图象经过点，则k的值为______． 答案：解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 故答案为：． 【例题精练】 1、设正比例函数 的图象经过点，且y随x增大而减小，则m的值是（ ） A．－2或2 B．2 C．－2 D．－4 答案：C 2、若正比例函数为y=3x，则此正比例函数过（m，6），则m的值为（　　　） A．﹣2 B．2 C． D． 答案：B 知识点二 一次函数定义 【例题1】下列函数：①y=3Πx；②y=8x-6;③y=;④y=-8x;⑤y=5-4x+1,其中是一次函数的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 答案：B 【例题精练】 1、下列函数： ①y=πx ②y=2x-1 ③y=;④y=2-3x ⑤y=-1其中是一次函数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 2、下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） ①y=2+x+1;②y=2Πx；③y=；④y=x;⑤y=1-x;⑥y=2x A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 答案：B 【例题2】已知关于x的函数y=（m-3）+n-2 （1）当m、n为何值时，它是一次函数？ 答案：m=-3,n为任意实数 【例题精练】 1、已知关于x的函数y=（m-3）+n-2 （1）当m、n为何值时，它是一次函数？ 答案：m=-3，n为任意实数 知识点三 正比例函数的图像与性质 【例题1】正比例函数y=﹣2x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 答案：C 【例题精练】 1、正比例函数y=2x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 答案：A 知识点四 一次函数的图像与性质 【例题1】（2023梅州）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则，的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：A 解析：解：一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限， ∴k＞0，b＜0 故选：A． 【例题精练】 1、(2023佛山南海)关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象经过第二象限 C. 图象与轴交于点 D. 函数值随的增大而增大 答案：一次函数图象经过第一、三、四象限，与轴交于点，函数值随的增大而增大，故BC错误，D正确， 当x=2时，，故A错误， 故选D． 2、关于一次函数y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　） A. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） B. 图象与x轴的交点坐标为（，0） C. y随x的增大而增大 D. 图象不经过第三象限 答案：C 3、对于一次函数y＝﹣x﹣2的相关性质，下列描述错误的是（ ） A. 函数图像经过第二、三、四象限 B. 函数图像与x轴的交点坐标为（﹣1，0） C. y随x的增大而减小 D. 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为2 答案：B 4、对于函数，下列结论正确的是　　 A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 答案：C 5、下列四点在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 答案：D 6、下列四个选项中，符合函数的性质的选项是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 随的增大而增大 C. 图象必经过点 D. 图象与轴交于点 答案：C 【例题2】（2023茂名高州） 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 答案：A 解析：解：， 随的增大而增大，又点，在一次函数的图象上，且，，故选：A． 【例题精练】 1、若点（－4，y1），（2，y2）都在直线y= -3x+t上，则y1与y2的大小关系是 （ ） A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1<y2 D. 无法确定 答案：A 解析：因为直线y=3x+t，k=-3＜0，所以，y的值随x的增大而减小，点（－4，y1），（2，y2）都在直线y=3x+t上，且－4＜2，所以y1＞ y2，故选A. 2、 已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，点与点在此直线上，则a______b（填>、=或<）． 答案： 解析：解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限， ∴随着的增加而减小， ∵，∴，故答案为：． 3、已知函数的图象经过点，则_____（填“”，“”，“”）． 答案：解：∵函数的图象经过点， K=2＞0，一次函数的函数值随的增大而增大 ∴． 故答案为：． 【例题3】已知为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：解：∵为第四象限内的点，∴k＞0，b＜0， ∴ ，∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A 【例题精练】 1、正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝-kx+k2的图象大致是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0，∴-k＞0，k2＞0， ∴一次函数y=-kx+k2的图象经过第一、二、三象限， 故选：A． 2、已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 答案：A 3、若点在第二象限，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 答案：解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 4、已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于___． 答案：解：∵点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上， ∴b=4a+3， ∴4a﹣b﹣2=4a﹣（4a+3）﹣2=﹣5， 故答案为：﹣5 知识点五 一次函数图像的平移 【例题1】（2023揭阳惠来）将直线向上平移个单位后得到的直线表达式是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：解：将直线向上平移个单位后， 可得． 故选：C． 【例题精练】 1、（2023佛山南海） 将一次函数y=-2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：解：将直线y=-2x沿y轴向下平移4个单位后的直线所对应的函数解析式是：y=-2x-4． 故选：D． 2、将直线l₁:y=ax-2(a≠0)向上平移1个单位后 得到直线l₂,将直线l₁向左平移1个单位后得到 直线l₃,若直线l₂和直线I₃恰好重合，则a的值为（ ） 答案：1 【例题2】无论m为何实数．直线与的交点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：解：∵一次函数y=-x+4中，k=-1<0，b=4＞0， ∴函数图象经过一二四象限， ∴无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在第三象限． 答案：C． 【例题精练】 1、已知一次函数y＝kx+k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_____象限． 答案：一、二、三 解析：解：∵一次函数y＝kx＋k，y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴一次函数y＝kx＋k的图象经过第一、二、三象限， 故答案为：一、二、三． 2、如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是_____． 答案：解：设点坐标为， 将代入中， ∴， ∴， 即点坐标为， ∴由图象可得关于的方程的解是， 故答案为：． 知识点六 一次函数解析式的确定 1、待定系数法求一次函数解析式 【例题1】（2023河源）已知点在一次函数的图象上，则____________． 答案：-1 解析：把代入得 ， 解得， 故答案为：-1． 【例题精练】 1、（2023深圳龙华）小明在公共场馆担任志愿者期间，观察发现，由于进场闸口数量限制，随着人员的增加，排队等待进场的人数也在增加，经过一定时间后，排队人数不再增加．设排队等待进场人数y（人）随进场时间x（分钟）变化的函数关系图像如图所示，已知排队等待进场人数多于300人时，进场闸口处就会拥堵．根据图像，以下说法正确的是（ ） A. 点A的实际意义表示进场10分钟时，已进场人数为600人 B. 每分钟进场人数为60人 C. 拥堵时间持续8分钟 D. 总共有1350人进入该公共场馆 答案：D 解：∵点坐标为，点坐标为， ∴直线的解析式为， 设直线解析式为≠，把和分别代入得 解得，，∴直线的解析式为， ∵点坐标为，∴点表示的实际意义是进场时间为分钟时，排队待进场人数为人，故A选项错误；由于所给的已知条件无法计算每分钟进场人数，所以B选项错误；当进场人数多于人时，进场拥堵，故把代入得， 把代入得， （分钟） ∴拥堵时间为分钟，故C选项错 令，则 ∴总共有人进入该公共场馆，故D正确 故选∶D. 2、(2023佛山南海)在平面直角坐标系中，直线过点、，点在第二象限，点为坐标原点，连接、，的面积为90，则直线的函数表达式是_____________． 答案： 解析：∵，点在第二象限， ∴， ∴在第一象限， 如图，作轴于点C，作轴于点D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、， 设线的函数表达式是y=kx+b，把、代入，得 ， 解得， ． 3、（2023梅州）一辆汽车在行驶过程中，路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，关于的函数解析式为，那么当时，关于的函数解析式为________． 答案： 解析：解：∵当时0≤x≤1，y关于x的函数解析式为y=60x， ∴当x=1时，y=60． 又∵当x=2时，y=160， 设当1＜x≤2时，y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（1，60），（2，160）分别代入解析式得， ，解得， 所以，当时，y关于x的函数解析式为y=100x-40． 故答案为：y=100x-40． 4、已知直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 答案：C 解析：解：当时，，即B（0，8） 当时，，即， 所以，即， 设，则，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， 又， 设直线的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线的解析式为． 故选：C． 5、已知y-2与x成正比例关系，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）请在下面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 答案： （1）解：与成正比例关系， 设， 并把，代入，得：， 解得：， 原解析式为，即． （2）解：由（1）可知， ∴当时，则， 解得：， 即直线与轴的交点坐标为； 当时，则， 即直线与轴的交点坐标为； 函数图象如图所示： 6、已知两个一次函数y＝kx+5和y＝2x+1的图象交于A（m，3），则一次函数y＝kx+5的图象所在的象限为（　　） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 答案：解：∵直线y=2x+1经过点A(m，3)， ∴3=2m+1， ∴m=1， ∴A(1，3)， 把点A代入y=kx+5得，3=k+5，解得k=-2， ∵k=-2＜0，b=5>0， ∴一次函数y=kx+5的图象经过一、二、四象限， 故选：B． 7、如图，点、、的坐标分别是、、． （1）判断的形状，并说明理由； （2）点是轴上的一动点，求出使得的值最小时点的坐标． 答案：解：（1）直角三角形，理由如下 如下图所示，用长方形DEOF将△ABC框住， ∵、、 ∴AF=1，DE=OF=3，DF=OE=BC=5，BE=1，OC=1 ∴AD=DF－AF=4，DB=DE－BE=2，FC=OF－OC=2 ∴AB²= AD²＋DB²=20，AC²= AF²＋FC²=5，BC²=25 ∴AB²＋AC²= BC² ∴△ABC为直角三角形； （2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如下图所示 由轴对称性质可得，BP=，点的坐标为（-5，-1） ∴此时 = =，根据两点之间线段最短，此时最小 设直线的解析式为y=kx＋b 将点A和点的坐标分别代入，得 解得： ∴直线的解析式为y=x＋4 将y=0代入y=x＋4中，得 x＋4=0 解得：x=-4 ∴点P的坐标为（-4，0）． 8、如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，点B的坐标为．将沿AC折叠得到，点B落在点D的位置，交y轴于点E， （1）求点D的坐标． （2）求经过点A、D的直线的解析式． 答案： （1）解：如图所示，过点D作DH⊥OC， ∵点B的坐标为， ∴，AB=3， ∵，将沿AC折叠得到， ∴，，∴∠ADE=∠AOE=90° 在和中， ∴（AAS）， ∴OE-DE， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， ∴，，∵DH⊥OC，∴CE×DE=CD×DE，∴DH= 在RT△CDH中，CH=，∴OH=-3-= ∵点D在第二象限内， ∴点D的坐标为； （2）解：∵轴，点B的坐标为， ∴点A的坐标为：， 设经过点A、D的直线的解析式为，将，代入，得 ，得k+k=-,k= 将代入①中，得， 即经过点A、D的直线的解析式为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$